맞닿은 등 제1부 — 신발의 작은 얼룩 북쪽의 한 도시에 소녀가 있었다. 도시의 이름은 잊혔고 지도에도 더는 남아 있지 않지만, 사람들은 그곳을 눈의 도시라 불렀다. 일 년의 절반은 눈이 내렸고, 나머지 절반은 눈이 녹았다. 강은 좁고 깊었다. 다리는 다섯이었다. 거리에는 자작나무가 늘어섰고, 그 사이로 흰 새들이 낮게 날았다. 소녀의 이름은 …

넷플릭스를 켰다. 발레리나를 봤다. 주인공이 연습실에서 넘어지고 다시 일어나는 장면. 발목이 꺾일 것 같아도 표정이 거의 변하지 않는다. 나는 이불을 무릎까지 덮고 있었다. 몸은 따뜻했는데 손끝은 차가웠다. 강한 사람이 될 수 있을까, 하는 생각이 들었다. 몸으로 말하는 강함은 아닐 것이다. 나는 운동을 꾸준히 하는 편도 아니다. 조금만 무거운 걸 들어도 …

📖 Discrete Calculus (PDF) This book presents a unified treatment of discrete calculus, beginning with the classical calculus of finite differences and culminating in the discrete Hodge decomposition theorem on simplicial complexes. The Hodge decomposition asserts that every discrete differential form on a finite simplicial complex decomposes uniquely and orthogonally …

📖 Canonical Spaces and Hybrid Operator Algebras in Fractional Calculus (PDF) This book grew out of the research program documented in the papers AD01 through AD12. Those twelve papers, written over a concentrated period, address a single organizing question: on which spaces do fractional differential and integral operators acquire a …

Abstract. Let \(d\in\mathbb{N}\). We show that multidimensional Weyl fractional operators admit a natural spectral realization on the algebraic span of exponential characters. More precisely, if \(\Lambda\subset (\mathbb{C}_+)^d\) and \[ e_\lambda(x):=e^{\langle \lambda,x\rangle}, \qquad \lambda\in\Lambda,\ x\in\mathbb{R}^d, \] where \(\mathbb{C}_+:=\{z\in\mathbb{C}:\Re z>0\}\), then the algebraic direct sum \[ \mathcal{E}_{\Lambda}^{\mathrm{alg}} := \bigoplus_{\lambda\in\Lambda}\mathbb{C}e_\lambda \] carries a …

Abstract. Let \(d\in\mathbb{N}\) and let \(\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in(0,1)^d\). We prove that the algebraic direct sum \[ \mathcal{G}_{\boldsymbol{\alpha}}^{\mathrm{alg}} := \bigoplus_{\mathbf{k}\in\mathbb{N}_0^d}\mathbb{C}e_{\mathbf{k}}, \quad e_{\mathbf{k}}(x) := \prod_{j=1}^d \frac{x_j^{k_j\alpha_j}}{\Gamma(k_j\alpha_j+1)}, \] is the canonical multi-graded monomial space on which the partial Riemann–Liouville integrals \( J_j:={}_0 I_{x_j}^{\alpha_j} \text{ for } 1\le j\le d \) and the partial Caputo derivatives …

하나, 원 조금만 더 있다 가라고 널 붙잡고 싶어 물론 넌 도망치듯 떠날 애도 아니지만 하나, 원 마지막으로 한 마디만 더 나누자고 조르고 싶어 그 말이 내 피부에 진득하게 늘어붙길 바라면서 새해 첫 날 아침, 영화 ‘베티 블루’를 틀어놓고 침대 위에 웅크린 채 누워있어 기분이 최악이지만, 난 우울함에 꽤 소질이 …

Abstract. Let \(0 < \alpha < 1\), and define \(e_n(x):=x^{n\alpha}/\Gamma(n\alpha+1)\) for \(n\ge 0\). We prove that the algebraic direct sum \(\mathcal{G}_{\alpha}^{\mathrm{alg}}:=\bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathbb{C}e_n\) is the distinguished \(\alpha\)-graded monomial space on which the order-\(\alpha\) Riemann–Liouville integral \(J_\alpha:={}_0 I_x^\alpha\) and the order-\(\alpha\) Caputo derivative \(C_\alpha:={}_0^{\mathrm{C}}D_x^\alpha\) act as a unilateral shift pair, namely \(J_\alpha e_n=e_{n+1}\) ...

Abstract. We prove that the ordinary differentiation operator on the finite-dimensional polynomial space \( P_n := \{p(x)\in \mathbb{C}[x] : \deg p \le n\} \) cannot serve as an internal model for classical fractional calculus. Here, by an internal model we mean a family of linear endomorphisms acting on the same …

이전 글에서 살펴본 민티-브라우더 정리는 시간 변수가 없는 정적(stationary) 방정식 \(A(u) = f\)의 해를 구할 때 사용하는 도구이다. 그러나 열 전도나 파동의 전파처럼 시간이 흐름에 따라 상태가 변하는 현상을 기술하기 위해서는 시간 미분항이 포함된 발전방정식(evolution equation)을 풀어야 한다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같은 1계 코시 문제(abstract Cauchy problem)이다. \[\begin{cases} \frac{du}{dt}(t) …

이전 글에서 단조연산자와 헤미연속성의 개념을 정의하였다. 이제 이 개념을 결합하여 비선형방정식 \(T(u) = f\)의 해의 존재성을 보장하는 민티-브라우더 정리를 살펴보자. 이 정리는 힐베르트 공간에서의 렉스-밀그램 정리(Lax-Milgram theorem)를 비선형 바나흐 공간으로 확장한 것으로 볼 수 있다. 증명의 핵심 아이디어는 유한차원 근사(갈레르킨 방법)를 통해 근사해를 구하고, 단조성을 이용해 극한으로 보내는 것(민티의 기법)이다. …

선형 함수해석학에서 힐베르트 공간 \(H\) 위의 선형연산자 \(T\)가 양연산자(positive operator)라는 것은 모든 \(x \in H\)에 대하여 \(\langle Tx,\, x \rangle \geq 0\)임을 의미한다. 이를 일변수함수 \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)에 비유하면, 원점을 지나는 직선의 기울기가 양수라는 것과 유사하다. 비선형 해석학에서는 이를 일반화하여, 함수의 도함수가 양수인 성질, 즉 함수가 증가하는(또는 단조인) …