ROSÉ

📖 Abstract Algebra: From Symmetry to Galois Theory (PDF) This book develops abstract algebra from its most concrete beginnings to two of the subject’s most beautiful structural results. It is organized around a single, unifying conviction: the seemingly separate worlds of symmetry, arithmetic, linear structure, and polynomial equations are not …

This book presents a guided first pass through the core of linear and nonlinear functional analysis. It is organized around a single, concrete guiding question: How much of linear algebra survives in infinite dimensions, what fails, and which new geometric and compactness principles replace the missing finite-dimensional miracles? The exposition …

📖 Discrete Calculus (PDF) This book presents a unified treatment of discrete calculus, beginning with the classical calculus of finite differences and culminating in the discrete Hodge decomposition theorem on simplicial complexes. The Hodge decomposition asserts that every discrete differential form on a finite simplicial complex decomposes uniquely and orthogonally …

📖 Canonical Spaces and Hybrid Operator Algebras in Fractional Calculus (PDF) This book grew out of the research program documented in the papers AD01 through AD12. Those twelve papers, written over a concentrated period, address a single organizing question: on which spaces do fractional differential and integral operators acquire a …

Abstract. Let \(d\in\mathbb{N}\). We show that multidimensional Weyl fractional operators admit a natural spectral realization on the algebraic span of exponential characters. More precisely, if \(\Lambda\subset (\mathbb{C}_+)^d\) and \[ e_\lambda(x):=e^{\langle \lambda,x\rangle}, \qquad \lambda\in\Lambda,\ x\in\mathbb{R}^d, \] where \(\mathbb{C}_+:=\{z\in\mathbb{C}:\Re z>0\}\), then the algebraic direct sum \[ \mathcal{E}_{\Lambda}^{\mathrm{alg}} := \bigoplus_{\lambda\in\Lambda}\mathbb{C}e_\lambda \] carries a …

Abstract. Let \(d\in\mathbb{N}\) and let \(\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in(0,1)^d\). We prove that the algebraic direct sum \[ \mathcal{G}_{\boldsymbol{\alpha}}^{\mathrm{alg}} := \bigoplus_{\mathbf{k}\in\mathbb{N}_0^d}\mathbb{C}e_{\mathbf{k}}, \quad e_{\mathbf{k}}(x) := \prod_{j=1}^d \frac{x_j^{k_j\alpha_j}}{\Gamma(k_j\alpha_j+1)}, \] is the canonical multi-graded monomial space on which the partial Riemann–Liouville integrals \( J_j:={}_0 I_{x_j}^{\alpha_j} \text{ for } 1\le j\le d \) and the partial Caputo derivatives …

Abstract. Let \(0 < \alpha < 1\), and define \(e_n(x):=x^{n\alpha}/\Gamma(n\alpha+1)\) for \(n\ge 0\). We prove that the algebraic direct sum \(\mathcal{G}_{\alpha}^{\mathrm{alg}}:=\bigoplus_{n=0}^{\infty}\mathbb{C}e_n\) is the distinguished \(\alpha\)-graded monomial space on which the order-\(\alpha\) Riemann–Liouville integral \(J_\alpha:={}_0 I_x^\alpha\) and the order-\(\alpha\) Caputo derivative \(C_\alpha:={}_0^{\mathrm{C}}D_x^\alpha\) act as a unilateral shift pair, namely \(J_\alpha e_n=e_{n+1}\) ...

Abstract. We prove that the ordinary differentiation operator on the finite-dimensional polynomial space \( P_n := \{p(x)\in \mathbb{C}[x] : \deg p \le n\} \) cannot serve as an internal model for classical fractional calculus. Here, by an internal model we mean a family of linear endomorphisms acting on the same …

이전 글에서 살펴본 민티-브라우더 정리는 시간 변수가 없는 정적(stationary) 방정식 \(A(u) = f\)의 해를 구할 때 사용하는 도구이다. 그러나 열 전도나 파동의 전파처럼 시간이 흐름에 따라 상태가 변하는 현상을 기술하기 위해서는 시간 미분항이 포함된 발전방정식(evolution equation)을 풀어야 한다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같은 1계 코시 문제(abstract Cauchy problem)이다. \[\begin{cases} \frac{du}{dt}(t) …

이전 글에서 단조연산자와 헤미연속성의 개념을 정의하였다. 이제 이 개념을 결합하여 비선형방정식 \(T(u) = f\)의 해의 존재성을 보장하는 민티-브라우더 정리를 살펴보자. 이 정리는 힐베르트 공간에서의 렉스-밀그램 정리(Lax-Milgram theorem)를 비선형 바나흐 공간으로 확장한 것으로 볼 수 있다. 증명의 핵심 아이디어는 유한차원 근사(갈레르킨 방법)를 통해 근사해를 구하고, 단조성을 이용해 극한으로 보내는 것(민티의 기법)이다. …

선형 함수해석학에서 힐베르트 공간 \(H\) 위의 선형연산자 \(T\)가 양연산자(positive operator)라는 것은 모든 \(x \in H\)에 대하여 \(\langle Tx,\, x \rangle \geq 0\)임을 의미한다. 이를 일변수함수 \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)에 비유하면, 원점을 지나는 직선의 기울기가 양수라는 것과 유사하다. 비선형 해석학에서는 이를 일반화하여, 함수의 도함수가 양수인 성질, 즉 함수가 증가하는(또는 단조인) …

지난 글에서 살펴본 변분법의 직접법은, 반사적 바나흐 공간 위에서 정의된 범함수가 볼록하고 하반연속이며 강압적일 때 전역 최솟값의 존재를 보장한다. 그러나 많은 비선형 문제, 특히 불안정한 평형 상태를 기술하는 문제에서는 최솟값이 아닌 임계점, 즉 안장점(saddle point)을 찾아야 할 필요가 있다. 안장점을 찾는 이론을 임계점 이론(critical point theory)이라고 부르며, 그 중 가장 …