November 2025

푸른 여름날의 노스탤지어, 청량하면서도 아련한 신스팝 사운드. 처음 뮤직비디오의 영상 색감과 분위기만 보았을 때는 당연히 일본 청춘 영화의 주제가나 J-Pop일 것이라고 짐작했다. 하지만 귓가에 들려온 것은 유려하고 감성적인 만도팝 보컬이었다. 대만의 일렉트로닉 혼성 듀오 아스트로 버니(原子邦妮, Astro Bunny)가 선사하는 찬란하고도 시린 청춘의 조각, 「明年夏天我們會不會還在一起(내년 여름에도 우리는 여전히 함께일까)」를 소개한다. 언어와 …

이전 글에서 살펴본 변분법의 기본 정리(직접법)는 공간이 반사적이거나 함수가 강압적일 때 최솟값이 존재한다는 것을 보장한다. 하지만 최솟값이 존재하지 않거나, 공간이 완비거리공간이지만 반사적이지 않은 경우에는 직접법을 사용할 수 없다. 이러한 상황에서 사용할 수 있는 도구가 에켈랜드 변분 원리이다. 이 원리는 비록 최솟값은 아닐지라도, 최솟값에 충분히 가까운 점이 최솟값과 유사한 성질을 가진다는 …

지난 글에서 “컴팩트 집합 위에서 정의된 하반연속 함수는 최솟값을 가진다”라는 일반화된 바이어슈트라스 정리를 살펴보았다. 그러나 무한차원 바나흐 공간에서는 유계이고 닫힌집합이 노름 위상에서 컴팩트가 아닐 수 있다. 따라서 기존의 방식으로는 최솟값의 존재를 보장할 수 없다. 이 난관을 돌파하는 열쇠는 바로 약위상(weak topology)이다. 힐베르트 공간이나 반사적 바나흐 공간에서 유계인 닫힌집합은 약컴팩트(weakly compact) …

미분방정식을 푼다는 것은 종종 어떤 에너지 범함수 \(J(u)\)를 최소화하는 함수 \(u\)를 찾는 문제(변분 문제)로 환원된다. 미적분학에서 미분가능한 함수의 극소점을 찾을 때 \(f'(x)=0\)을 살피듯이, 변분법에서도 먼저 범함수의 임계점 조건 \(J'(u)=0\)을 본다. 구체적인 적분형 범함수의 경우 이 조건은 오일러-라그랑주 방정식으로 나타난다. \(f\)가 미분 가능한 실함수일 때 \(f'(x)=0\)이라고 해서 반드시 \(f\)가 \(x\)에서 반드시 …