구간에서 정의된 함수가 있을 때 미분은 구간의 특정한 점에서 함수의 변화율을 재고, 적분은 그 변화를 쌓아 넓이나 총량을 구한다. 이 모든 것의 바탕에는 극한이 있다. 극한을 사용할 수 있는 이유는 함수 \(f\)가 구간에서 정의되었기 때문이다. 여기서 구간은 수를 나타내는 점이 연속적으로 이어져 있는 선분이라고 생각할 수 있다. 그런데 우리가 실제로 …

📖 Intuitive Set Theory: From Finite Sets to the Transfinite (PDF) This book is an introduction to set theory that begins from the intuitive viewpoint most readers naturally bring to the subject and leads, by careful stages, to two of its deepest themes: Cantor’s theory of infinite size and the …

직각삼각형의 세 변 사이에는 피타고라스 정리가 성립한다. 즉 \(\angle C\)가 직각인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 대하여 \(a^2+b^2=c^2\)이 성립한다. 특히 직각삼각형 중에는 \(3^2+4^2=5^2\)이나 \(5^2+12^2=13^2\)처럼 세 변이 모두 자연수인 직각삼각형도 있다. 이러한 등식을 만족시키는 자연수 세 쌍 \((a,b,c)\)를 피타고라스 세 쌍(Pythagorean triple)이라 부른다. 피타고라스 세 쌍이 무수히 많다는 사실이 알려져 있다. 이제 자연스럽게 새로운 …

먼 미래의 이야기다. 사람들이 더는 제 무게를 짊어지지 않아도 될 정도로 먼 미래. 사람들은 흰 고리라고 불리는 도시에서 살았다. 고리는 어느 푸른 행성의 궤도를 천천히 돌았다. 그 안에서 중력은 옷 같은 것이었다. 입고 싶으면 입고, 벗고 싶으면 벗었다. 잠은 무게 없는 구역에서 잤다. 떠서 자는 잠은 어디도 배기지 않아서, 사람들은 …

📖 Abstract Algebra: From Symmetry to Galois Theory (PDF) This book develops abstract algebra from its most concrete beginnings to two of the subject’s most beautiful structural results. It is organized around a single, unifying conviction: the seemingly separate worlds of symmetry, arithmetic, linear structure, and polynomial equations are not …

풀밭의 두 사람도, 강가의 모녀도, 산의 노할미와 손녀도, 떠도는 사람도, 다 어디선가 계속 살고 있어. 우리가 안 보고 있을 뿐이지. 이야기 하나 더 해줄게. 짧은 이야기야. 옛날 사람 이야기는 아니고, 옛날 이야기 끝에 옛날 사람들이 서로한테 했던 말들 중에 손녀가 가장 좋아했다는 말 하나. 노할미가 손녀한테 마지막 겨울에 했던 말이래. …

세 자리가 한 자리라는 건 사실 옛날 사람들도 다 알지는 못했어. 풀밭 사람은 풀밭만 봤고, 강가 사람은 강가만 봤고, 산 사람은 산만 봤어. 자기 자리만 보면서 평생 살아도 사는 데 지장이 없으니까, 굳이 다른 자리를 안 봤어. 그런데 가끔, 아주 가끔, 세 자리가 한 자리라는 걸 알아본 사람이 있었어. 그런 …

산은 한 자리에 있었어. 풀밭처럼 넓지도 않고, 강처럼 흐르지도 않고, 그냥 한 자리에 있었어. 산이 한 자리에 있는 게 당연한 것 같지만, 사실 산도 움직여. 아주 천천히. 사람의 시간으로는 안 보이고, 산의 시간으로 보면 산도 움직여. 산은 한쪽으로 조금씩 기울어. 비가 오면 흙이 한쪽으로 쓸려 가고, 바람이 불면 잎이 한쪽으로 …

강은 이름이 없었어. 아니, 이름이 너무 많았다고 해야 맞을 거야. 강은 길었거든. 시작과 끝 사이에 마을이 여럿 있었고, 마을마다 자기네 앞을 흐르는 강을 자기네 식대로 불렀어. 윗마을에서는 푸른 강이라고 했고, 가운데 마을에서는 빠른 강이라고 했고, 아랫마을에서는 깊은 강이라고 했어. 같은 강인데 이름이 다 달랐어. 강은 어느 이름에도 대답하지 않았어. 강은 …

하늘이 지금보다 낮았던 시절이 있었어. 손이 닿을 정도는 아니지만, 새가 너무 높이 날면 부딪힐 만큼은 낮았대. 그때는 바람마다 다 다른 이름이 있었어. 봄에 풀을 한 번 휘젓고 가는 바람, 한여름 정오에 그늘 속까지 들어오는 바람, 누군가 죽기 직전에 마지막으로 머리카락을 헝클어 주는 바람까지. 그 이름을 다 외우고 있는 사람은 풀밭 …