이전 글에서 살펴본 민티-브라우더 정리는 시간 변수가 없는 정적(stationary) 방정식 \(A(u) = f\)의 해를 구할 때 사용하는 도구이다. 그러나 열 전도나 파동의 전파처럼 시간이 흐름에 따라 상태가 변하는 현상을 기술하기 위해서는 시간 미분항이 포함된 발전방정식(evolution equation)을 풀어야 한다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같은 1계 코시 문제(abstract Cauchy problem)이다. \[\begin{cases} \frac{du}{dt}(t) …

이전 글에서 단조연산자와 헤미연속성의 개념을 정의하였다. 이제 이 개념을 결합하여 비선형방정식 \(T(u) = f\)의 해의 존재성을 보장하는 민티-브라우더 정리를 살펴보자. 이 정리는 힐베르트 공간에서의 렉스-밀그램 정리(Lax-Milgram theorem)를 비선형 바나흐 공간으로 확장한 것으로 볼 수 있다. 증명의 핵심 아이디어는 유한차원 근사(갈레르킨 방법)를 통해 근사해를 구하고, 단조성을 이용해 극한으로 보내는 것(민티의 기법)이다. …

선형 함수해석학에서 힐베르트 공간 \(H\) 위의 선형연산자 \(T\)가 양연산자(positive operator)라는 것은 모든 \(x \in H\)에 대하여 \(\langle Tx,\, x \rangle \geq 0\)임을 의미한다. 이를 일변수함수 \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)에 비유하면, 원점을 지나는 직선의 기울기가 양수라는 것과 유사하다. 비선형 해석학에서는 이를 일반화하여, 함수의 도함수가 양수인 성질, 즉 함수가 증가하는(또는 단조인) …

지난 글에서 살펴본 변분법의 직접법은 범함수가 하반연속이고 강압적일 때 전역 최솟값의 존재를 보장한다. 그러나 많은 비선형 문제, 특히 불안정한 평형 상태를 기술하는 문제에서는 최솟값이 아닌 임계점, 즉 안장점(saddle point)을 찾아야 할 필요가 있다. 안장점을 찾는 이론을 임계점 이론(critical point theory)이라고 부르며, 그 중 가장 기본이 되는 정리가 산악 통행로 정리(mountain …

이전 글에서 살펴본 변분법의 기본 정리(직접법)는 공간이 반사적이거나 함수가 강압적일 때 최솟값이 존재한다는 것을 보장한다. 하지만 최솟값이 존재하지 않거나, 공간이 완비거리공간이지만 반사적이지 않은 경우에는 직접법을 사용할 수 없다. 이러한 상황에서 사용할 수 있는 도구가 에켈랜드 변분 원리이다. 이 원리는 비록 최솟값은 아닐지라도, 최솟값에 충분히 가까운 점이 최솟값과 유사한 성질을 가진다는 …

지난 글에서 “컴팩트 집합 위에서 정의된 하반연속 함수는 최솟값을 가진다”라는 일반화된 바이어슈트라스 정리를 살펴보았다. 그러나 무한차원 바나흐 공간에서는 유계이고 닫힌집합이 노름 위상에서 컴팩트가 아닐 수 있다. 따라서 기존의 방식으로는 최솟값의 존재를 보장할 수 없다. 이 난관을 돌파하는 열쇠는 바로 약위상(weak topology)이다. 힐베르트 공간이나 반사적 바나흐 공간에서 유계인 닫힌집합은 약컴팩트(weakly compact) …

미분방정식을 푼다는 것은 종종 어떤 에너지 범함수 \(J(u)\)를 최소화하는 함수 \(u\)를 찾는 문제(변분 문제)로 환원된다. 미적분학에서 미분가능한 함수의 극소점을 찾을 때 \(f'(x)=0\)인 \(x\)를 찾듯이, 변분법에서도 \(J'(u)=0\)인 오일러-라그랑주 방정식을 사용한다. \(f\)가 미분 가능한 실함수일 때 \(f'(x)=0\)이라고 해서 반드시 \(f\)가 \(x\)에서 반드시 극값을 갖는 것은 아니다. 하지만 함수가 볼록(convex)하다면 이야기는 달라진다. 볼록함수에서 …

샤우더의 부동점 정리는 강력하지만, 편미분방정식 등 실제 응용 문제를 해결할 때 한 가지 큰 난관에 부딪힌다. 바로 연산자 \(T\)에 의하여 자기 자신에 대응되는 닫힌 볼록집합 \(K\)를 찾아내는 과정이다. (즉, \(T(K) \subset K\)인 닫힌 볼록집합 \(K\).) 이 집합 \(K\)를 구성하는 것이 매우 까다로울 수 있다. 이러한 어려움을 극복하기 위해 등장한 것이 …

이전 글에서 유한차원 공간에서의 브라우어 부동점 정리를 살펴보았다. 그러나 무한차원 바나흐 공간에서는 닫힌 단위 공이 컴팩트 집합이 아니므로, 단순히 “유계이고 닫힌 볼록 집합”이라는 조건만으로는 부동점의 존재를 보장할 수 없다. 이 문제를 해결하기 위해 율리우스 샤우더(Julius Schauder)는 브라우어의 아이디어를 무한차원으로 확장했다. 핵심은 “정의역이 컴팩트 집합”이거나 또는 “연산자가 컴팩트 연산자”여야 한다는 것이다. …

이전 글에서 살펴본 바나흐의 축소 사상 원리는 함수가 “거리를 줄인다”라는 강력한 조건 아래에서 해의 존재성과 유일성을 모두 보장했다. 그러나 실제 문제 상황에서는 함수가 단순히 연속이기만 하거나, 거리를 줄이지 않는 경우도 많다. 브라우어의 부동점 정리(Brouwer fixed point theorem)는 유한차원 공간에서 “공간의 형태(위상적 성질)”만으로 부동점의 존재를 보장하는 정리이다. 비록 해를 찾는 방법(알고리즘)이나 …

수학에서 많은 문제는 방정식 \(f(x) = y\)의 해 \(x\)를 찾는 문제로 귀결된다. 이 방정식을 \(x = T(x)\)의 형태로 변형하여 생각하면, 해를 찾는 문제는 연산자 \(T\)에 의해 변하지 않는 점, 즉 부동점(fixed point)을 찾는 문제가 된다. 부동점 이론은 이러한 관점에서 방정식의 해의 존재성을 다루는 비선형 함수해석학의 관심 분야이다. 그 중에서도 바나흐 …

이전 글에서 바나흐 공간에서의 미분을 정의하였다. 유한차원 미적분학에서 함수 \(f\)가 \(x\)에서 극값을 가질 필요조건이 \(f'(x) = 0\)인 것처럼, 무한차원 공간에서도 범함수 \(J\)가 \(y\)에서 극값을 가질 필요조건은 \(J'(y) = 0\)이다. 변분법(calculus of variations)은 이러한 원리를 바탕으로, 적분 형태로 표현된 범함수의 최솟값이나 최댓값을 찾는 수학 분야이다. 이 글에서는 변분법의 가장 기본이 되는 …