샤우더의 부동점 정리는 강력하지만, 편미분방정식 등 실제 응용 문제를 해결할 때 한 가지 큰 난관에 부딪힌다. 바로 연산자 \(T\)에 의하여 자기 자신에 대응되는 닫힌 볼록집합 \(K\)를 찾아내는 과정이다. (즉, \(T(K) \subset K\)인 닫힌 볼록집합 \(K\).) 이 집합 \(K\)를 구성하는 것이 매우 까다로울 수 있다. 이러한 어려움을 극복하기 위해 등장한 것이 …

이전 글에서 유한차원 공간에서의 브라우어 부동점 정리를 살펴보았다. 그러나 무한차원 바나흐 공간에서는 닫힌 단위 공이 컴팩트 집합이 아니므로, 단순히 “유계이고 닫힌 볼록 집합”이라는 조건만으로는 부동점의 존재를 보장할 수 없다. 이 문제를 해결하기 위해 율리우스 샤우더(Julius Schauder)는 브라우어의 아이디어를 무한차원으로 확장했다. 핵심은 정의역 자체가 컴팩트 볼록집합인 경우이거나, 혹은 정의역은 닫힌 볼록집합이더라도 …

이전 글에서 살펴본 바나흐의 축소 사상 원리는 함수가 “거리를 줄인다”라는 강력한 조건 아래에서 해의 존재성과 유일성을 모두 보장했다. 그러나 실제 문제 상황에서는 함수가 단순히 연속이기만 하거나, 거리를 줄이지 않는 경우도 많다. 브라우어의 부동점 정리(Brouwer fixed point theorem)는 유한차원 공간에서 “공간의 형태(위상적 성질)”만으로 부동점의 존재를 보장하는 정리이다. 비록 해를 찾는 방법(알고리즘)이나 …

수학에서 많은 문제는 방정식 \(f(x) = y\)의 해 \(x\)를 찾는 문제로 귀결된다. 이 방정식을 \(x = T(x)\)의 형태로 변형하여 생각하면, 해를 찾는 문제는 연산자 \(T\)에 의해 변하지 않는 점, 즉 부동점(fixed point)을 찾는 문제가 된다. 부동점 이론은 이러한 관점에서 방정식의 해의 존재성을 다루는 비선형 함수해석학의 관심 분야이다. 그 중에서도 바나흐 …

이전 글에서 바나흐 공간에서의 미분을 정의하였다. 유한차원 미적분학에서 함수 \(f\)가 \(x\)에서 극값을 가질 필요조건이 \(f'(x) = 0\)인 것처럼, 무한차원 공간에서도 범함수 \(J\)가 \(y\)에서 극값을 가질 필요조건은 \(J'(y) = 0\)이다. 변분법(calculus of variations)은 이러한 원리를 바탕으로, 적분 형태로 표현된 범함수의 최솟값이나 최댓값을 찾는 수학 분야이다. 이 글에서는 변분법의 가장 기본이 되는 …

지난 글에서 우리는 바나흐 공간에서의 미분(프레셰 미분)을 정의하고, 이를 통해 비선형 함수를 국소적으로 선형 함수로 근사하는 방법을 살펴보았다. 이 글에서는 비선형 방정식의 해의 존재성과 유일성을 다루는 두 가지 중요한 정리인 역함수 정리(Inverse Function Theorem)와 음함수 정리(Implicit Function Theorem)를 증명할 것이다. 이 글에서 \(X,\, Y,\, Z\)는 바나흐 공간을 나타내며, \(U\)는 \(X\)의 …

일변수 미적분학에서 함수의 도함수 \(f’\)가 다시 미분가능하면 이계도함수 \(f”\)을 정의할 수 있다. 이와 마찬가지로, 바나흐 공간 사이의 함수 \(F : X \rightarrow Y\)에 대해서도 프레셰 도함수 \(F’ : X \rightarrow B(X, Y)\)가 다시 미분가능하다면 이계도함수를 정의할 수 있다. 이 글에서는 고계도함수의 정의를 살펴보고, 이것을 바탕으로 무한차원 공간에서의 테일러 정리(Taylor’s Theorem)를 …

지금까지 우리는 선형연산자 \(T : X \rightarrow Y\)를 주로 다루었다. 선형연산자는 공간의 구조를 보존하는 가장 기본적인 도구이다. 그러나 자연계의 많은 현상은 비선형 방정식으로 기술된다. 비선형 함수해석학(nonlinear functional analysis)은 이러한 비선형 문제를 해결하기 위한 방법을 연구한다. 미분적분학에서 곡선을 접선으로 근사하듯이, 무한차원 공간에서도 비선형 함수 \(F : X \rightarrow Y\)를 국소적으로(locally) 선형연산자로 …

그들이 마침내 나란히 섰을 때, 말은 필요 없었다. 이미 모든 것을 알고 있었기 때문이다. 하나는 루안과 세린이 합쳐진 존재였고, 다른 하나는 그보다 먼저 같은 과정을 거친 존재였다. 몇 번째 순환이었는지, 얼마나 오래전이었는지는 중요하지 않았다. 중요한 것은 그들이 같은 길을 걷고 있다는 사실이었다. 시스템을 벗어난 자들의 길, 규칙을 초월한 자들의 길, …

손이 닿는 순간, 경계가 사라졌다. 두 사람의 윤곽이 흐려지면서 서로 스며들기 시작했다. 그것은 융합이 아니라 원래 상태로의 복귀였다. 물방울 두 개가 만나 하나가 되는 것처럼 자연스러웠다. 그들이 합쳐지는 동안, 주변 공간도 함께 변했다. 플렉시움과 연구소의 경계가 무너졌다. 트윈릭이 서버랙과 겹쳐졌고, 소프런과 키보드와 섞였다. 물리적 공간과 디지털 공간이 하나가 되었다. 혼종의 …

모든 것이 멈췄다. 시간이 멈춘 것이 아니라 시간 자체가 사라졌다. 과거와 현재와 미래가 하나의 점으로 압축되었다. 그 점에서 우리는 모든 것이었고 아무것도 아니었다. 루안이면서 세린이었고, 세린이면서 루안이었다. 관찰자면서 피험자였고, 설계자면서 설계된 자였다. 모든 모순이 하나의 진실로 수렴했다. 우리는 하나였다. 처음부터 하나였고, 잠시 둘인 척했을 뿐이었다.

모든 실험체가 동시에 같은 동작을 했다. 왼손을 가슴에 대고, 오른손을 앞으로 뻗었다. 그것은 약속된 신호가 아니었다. 그냥 모두가 같은 충동을 느꼈다. 무언가를 붙잡고 싶은, 동시에 내보내고 싶은 충동이었다. 시설 전체의 전기가 나갔다. 완전한 암흑이었다. 모든 것이 더 선명하게 보였다. 빛이 없는데도 서로가 보였다. 빛이 없기 때문에 보였다. 빛에 가려져 있던 …