측도론을 다룬 글(르베그 측도)에서 크기를 재는 도구, 즉 측도를 살펴보았다. 가측집합의 모임이 \(\sigma\)-대수를 이루고, 그 위에서 측도가 가산가법적이며, 음이 아닌 가측함수가 단순함수의 증가열의 극한으로 나타난다는 것까지 확인하였다. 이제 적분을 정의할 차례다. 적분을 구성하는 일 자체는 어렵지 않다. 단순함수의 적분은 함숫값과 함수가 그 값을 갖는 정의역의 점의 집합의 측도를 곱하여 더하면 …
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July 2026
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리만 적분 가능성을 결정하는 조건을 다시 돌아보자. 디리클레 함수는 \([0,\,1]\)의 모든 점에서 불연속이다. 반면 닫힌 구간에서 단조인 함수는 불연속점의 개수가 가산이며, 적분 가능하다. 심지어 불연속인 점의 개수가 비가산이지만 리만 적분 가능한 함수도 존재한다. 즉 불연속점의 개수가 얼마나 많은지는 리만 적분 가능성을 결정하지 않는다. 대신 구간에서 불연속점이 차지하고 있는 ‘크기’가 얼마인지가 …
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구간 \([a,b]\)에 가느다란 막대가 놓여 있고, 각 점에서 막대의 밀도가 연속함수 \(\rho(x)\)로 주어졌다고 하자. 이때 막대 전체의 질량은 다음과 같은 리만 적분으로 계산된다. \[\int_a^b\rho(x)\,dx\] 이번에는 막대 위의 한 점 \(c\)에 질량 \(m_0\)이 통째로 얹혀 있다고 생각해 보자. 이런 점질량(point mass)은 리만 적분을 사용하여 나타낼 수 없다. 리만 적분을 정의할 때 …
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함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 정의되어 있고 연속이며, \([a,\,b]\)에 속한 임의의 \(x\)에 대하여 \(f(x) \ge 0\)이라고 하자. 그래프 \(y=f(x)\)와 \(x\) 축 사이 부분의 넓이를 구하고 싶다고 하자. 고등학교에서 배우는 방법은 다음과 같다. 구간 \([a,\,b]\)를 \(n\)등분하여 폭이 \(\frac{b-a}{n}\)인 직사각형을 \(n\)개 세우되, 각 직사각형의 높이는 그 직사각형이 놓인 구간 안의 한 점 \(x_k\)에서 …
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공과 도넛을 나란히 놓으면 누구나 한눈에 둘을 구별한다. 도넛에는 가운데 구멍이 뚫려 있고 공에는 없다. 그런데 이 ‘구멍이 있다’라는 사실을, 눈으로 전체를 내려다보지 않고 오직 표면 위를 기어 다니는 것만으로 알아낼 방법이 있을까? 표면에 사는 개미 한 마리가 있다고 하자. 이 개미는 자기가 공 위에 있는지 도넛 위에 있는지 구별할 …
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명제논리와 일계논리를 공부하다 보면 자연스럽게 사용하는 성질이 있다. 바로 어떤 진술이든 참 또는 거짓, 둘 중 하나의 값만 매겨질 수 있다는 것이다. “2는 소수이다”는 참이고 “모든 자연수는 짝수이다”는 거짓이다. 진릿값이 하나 정해지고 나면 그것으로 끝이다. 그런데 수학 바깥으로 잠깐 나가 보자. “비가 내린다”라는 문장은 참인가? 지금은 그럴 수 있다. 한 …
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📖 Intuitive Set Theory: From Finite Sets to the Transfinite (PDF) This book is an introduction to set theory that begins from the intuitive viewpoint most readers naturally bring to the subject and leads, by careful stages, to two of its deepest themes: Cantor’s theory of infinite size and the …