적분론 4부: 르베그 적분

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측도론을 다룬 글(르베그 측도)에서 크기를 재는 도구, 즉 측도를 살펴보았다. 가측집합의 모임이 \(\sigma\)-대수를 이루고, 그 위에서 측도가 가산가법적이며, 음이 아닌 가측함수가 단순함수의 증가열의 극한으로 나타난다는 것까지 확인하였다. 이제 적분을 정의할 차례다.

적분을 구성하는 일 자체는 어렵지 않다. 단순함수의 적분은 함숫값과 함수가 그 값을 갖는 정의역의 점의 집합의 측도를 곱하여 더하면 된다. 음이 아닌 가측함수는 단순함수의 증가열로 근사되므로 그 적분의 극한(또는 상한)을 취하면 된다. 문제는 그 다음이다. 이렇게 정의한 적분이 쓸모가 있으려면, 극한과 적분의 순서를 바꾸는 일이 언제 허용되는지 알아야 한다. 리만 적분을 다룬 글(리만 적분)의 끝에서 마주쳤던 문제를 다시 살펴보자. 불연속점이 유한 개뿐인 함수의 수열 \(f_n\)이 있었다. 각 \(f_n\)은 리만 적분 가능하고 적분값은 한결같이 \(0\)이었다. 그런데 점별극한인 디리클레 함수는 애초에 리만 적분 가능하지 않아서, 극한과 적분을 바꾸는 질문 자체가 의미를 가질 수 없었다.

이 글의 목표는 두 가지다. 첫째, 앞서 구성한 측도 위에 르베그 적분을 정의한다. 둘째, 이 적분이 극한과 적분의 순서를 바꾸는 문제에 어떻게 답하는지 살펴보는 차원에서 단조수렴 정리, 파투 보조정리, 지배수렴 정리라는 세 수렴 정리를 증명한다. 마지막으로 앞서 다룬 문제가 어떻게 해소되는지, 그리고 리만 적분 가능성 자체가 어떤 조건에 의하여 결정되는지 확인한다.

르베그 적분의 구성

측도공간을 \((\mathbb R,\,\mathcal M,\,m)\)으로 나타내자. (여기서 \(\mathcal M\)은 앞서 구성한 가측집합의 모임이고, \(m\)은 르베그 측도이다.) 이 글에서 함수는 가측집합 \(E\subseteq\mathbb R\) 위에서 정의된 가측함수를 뜻한다. 적분은 세 단계로 구성한다.

첫 단계는 단순함수의 적분이다. 함수 \(\varphi=\sum_{i=1}^nc_i\mathbb 1_{E_i}\)가 \(E\) 위에서 정의된 음이 아닌 단순함수의 표준형이라면 (즉 집합 \(E_i\)가 쌍마다 서로소이고 합집합이 \(E\)라면), 다음과 같이 정의한다.

이 정의가 의미를 가지려면, 같은 단순함수를 서로 다른 방식으로 표현하여도 값이 같아야 한다. [표준형이 아니라 더 세분된 조각으로 나누어 표현하는 경우를 말한다.] 함수 \(\varphi\)가 \[ \varphi=\sum_{i=1}^nc_i\mathbb 1_{E_i}=\sum_{j=1}^md_j\mathbb 1_{F_j} \] 라는 두 가지 표현을 가진다고 하자. (각 표현에서 집합들은 쌍마다 서로소이고 합집합이 \(E\)이다.) \(G_{ij}=E_i\cap F_j\)로 두면, \(G_{ij}\neq\varnothing\)인 곳에서는 \(c_i=d_j\)이다. 가산가법성에 의하여 \[ m(E_i)=\sum_jm(G_{ij}),\quad m(F_j)=\sum_im(G_{ij}) \] 이므로 \[\begin{aligned} \sum_ic_im(E_i) &= \sum_i\sum_jc_im(G_{ij}) \\ &= \sum_{i,j}c_im(G_{ij})\\ &= \sum_{i,j}d_jm(G_{ij})=\sum_jd_jm(F_j) \end{aligned}\] 이다. [가운데 등식은 \(G_{ij}\neq\varnothing\)인 항만 실제로 기여하고, 그러한 항에서는 \(c_i=d_j\)이기 때문이다.] 그러므로 정의는 표현 방법과 무관하다.

같은 논증을 사용하면, 두 함수 \(\varphi,\,\psi\ge0\)이 단순함수일 때 \[ \int_E(\varphi+\psi)\,dm=\int_E\varphi\,dm+\int_E\psi\,dm \] 이고 \[ \int_E(c\varphi)\,dm=c\int_E\varphi\,dm\quad(c\ge0) \] 이 성립하며, \(0\le\varphi\le\psi\)이면 \(\int_E\varphi\,dm\le\int_E\psi\,dm\)이다. 이 결과는 모두 공통세련분할 위에서 각 조각의 값을 비교하면 얻는다.

다음 단계는 음이 아닌 가측함수의 적분이다. 함수 \(f:E\to[0,\,\infty]\)가 가측함수라면 다음과 같이 정의한다.

\(f\)가 이미 단순함수라면 두 정의는 일치한다. \(f\) 자신이 상한을 정의하는 후보 가운데 하나이므로, 음이 아닌 가측함수의 정의에 따른 적분값은 단순함수의 정의에 따른 적분값 이상이다. 또한 단순함수의 순서보존성에 의하여 \(f\) 이하의 모든 단순함수 \(\varphi\)에 대해 \(\int_E\varphi\,dm\)이 단순함수의 정의에 따른 \(f\)의 적분값 이하이므로, 좌변에서 상한을 취하여도 이 부등식이 유지되어 반대 방향의 부등식도 성립한다. 그러므로 두 정의는 같은 값을 준다.

위 정의로부터 곧바로 적분의 단조성을 얻는다. \(0\le f\le g\)이면, \(f\) 이하의 단순함수는 전부 \(g\) 이하이기도 하므로, \(\int_Ef\,dm\)을 정의하는 상한의 후보 집합이 \(\int_Eg\,dm\)을 정의하는 후보 집합의 부분집합이다. 그러므로 \(\int_Ef\,dm\le\int_Eg\,dm\)이다.

마지막 단계는 가측함수의 적분이다. 함수 \(f:E\to[-\infty,\,\infty]\)가 가측함수라면 \[ f^+=\max(f,0),\quad f^-=\max(-f,0) \] 으로 두자. \(f^+,\,f^-\ge0\)이고 \(f=f^+-f^-\), \(|f|=f^++f^-\)이며, 가측함수의 사칙계산과 상한에 대한 닫힘성에 의하여 \(f^+,\,f^-\)도 가측함수다.

두 값 가운데 하나만 유한이어도 뺄셈 \(\int_Ef^+\,dm-\int_Ef^-\,dm\)은 \(\pm\infty\)라는 값으로 의미를 가진다. 그러나 이 글에서 “적분 가능하다”라는 말은 항상 두 값이 모두 유한인 경우, 즉 적분값이 실수로 정해지는 경우만을 뜻한다. \(|f|=f^++f^-\)이므로, 다음 절에서 증명할 선형성을 사용하면 \(f\in L^1(E)\)이기 위한 필요충분조건이 \(\int_E|f|\,dm < \infty\)라는 사실도 확인된다.

기본 성질: 단조성과 선형성

적분이 순서를 보존한다는 사실은 이미 음이 아닌 함수에 대해 보였다. 이 성질은 일반적인 적분 가능한 함수로 쉽게 확장된다.

증명은 다음과 같다. \(f\le g\)이면 \(f^+\le g^+\)이고 \(f^-\ge g^-\)이다. [양의 부분은 커질 수 없고 음의 부분은 작아질 수 없다.] 음이 아닌 가측함수의 적분의 단조성에 의하여 \(\int f^+\le\int g^+\)이고 \(\int f^-\ge\int g^-\)이므로 \[ \int_Ef=\int_Ef^+-\int_Ef^-\le\int_Eg^+-\int_Eg^-=\int_Eg \] 이다.

선형성의 증명은 조금 더 복잡하다. 단순함수의 적분의 선형성은 이미 보였지만, 이 성질을 음이 아닌 일반적인 가측함수로 확장하려면 문제가 생긴다. 두 함수 \(f,\,g\ge0\)이 단순함수의 증가열 \(\varphi_n\uparrow f\), \(\psi_n\uparrow g\)로 근사된다고 하자. \(\int f=\sup_n\int\varphi_n\)과 \(\int g=\sup_n\int\psi_n\)을 안다고 해서 \[ \int(f+g)=\sup_n\int(\varphi_n+\psi_n) \] 이 \(\sup_n\int\varphi_n+\sup_n\int\psi_n\)과 같다는 사실이 곧바로 나오지는 않는다. 상한과 극한을 다루는 이 문제를 해결해 주는 도구가 다음 절의 단조수렴 정리다. 그러므로 다음 정리는 여기서 진술만 하고, 증명은 단조수렴 정리를 증명한 다음으로 미룬다.

단조수렴 정리

단조수렴 정리를 증명하기 전에, 측도 자체의 성질 하나를 먼저 확인해야 한다. 집합이 커지면 측도도 그만큼 커진다는 사실인데, 이 성질이 곧이어 나올 증명의 핵심 도구다.

증명은 다음과 같다. \(B_1=A_1\)로 두고, \(n\ge2\)일 때 \(B_n=A_n\setminus A_{n-1}\)로 두자. 그러면 \(\{B_n\}\)은 쌍마다 서로소이고 \[ \bigcup_{k=1}^nB_k=A_n,\quad \bigcup_{k=1}^\infty B_k=A \] 이다. 가산가법성에 의하여 \[ m(A)=\sum_{k=1}^\infty m(B_k)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nm(B_k)=\lim_{n\to\infty}m(A_n) \] 이다. [가운데 등식은 급수의 정의이고, 마지막 등식은 유한가법성에서 나온다.]

증명은 다음과 같다. \(f_n\le f_{n+1}\le f\)이므로 단조성에 의하여 수열 \(\{\int f_n\}\)은 증가하고 \(\int f_n\le\int f\)이다. 그러므로 \(\lim_n\int f_n\)은 \([0,\,\infty]\)에서 존재하고 \[ \lim_{n\to\infty}\int_Ef_n\,dm\le\int_Ef\,dm \] 이다. 반대 부등식을 보이는 것이 이 증명의 핵심이다.

함수 \(\varphi\)를 \(0\le\varphi\le f\)를 만족시키는 임의의 단순함수라고 하고, \(c\in(0,\,1)\)을 하나 고정하자. 집합 \[ A_n=\{x\in E:f_n(x)\ge c\varphi(x)\} \] 을 생각하자. \(f_n\)이 증가하므로 \(A_n\)도 증가한다. [\(f_n(x)\ge c\varphi(x)\)이면 \(f_{n+1}(x)\ge f_n(x)\ge c\varphi(x)\)이기 때문이다.] 또한 \(\bigcup_nA_n=E\)이다. \(\varphi(x)=0\)인 점에서는 모든 \(n\)에 대해 \(f_n(x)\ge0=c\varphi(x)\)이므로 \(x\in A_1\)이다. \(\varphi(x) > 0\)인 점에서는 \(c < 1\)이므로 \(c\varphi(x) < \varphi(x)\le f(x)\)인데, \(f_n(x)\to f(x)\)이므로 적당한 \(n\)에서 \(f_n(x) > c\varphi(x)\)가 되어 \(x\in A_n\)이다.

\(A_n\)에서 \(f_n\ge c\varphi\)이므로 순서보존성에 의하여 \[ \int_Ef_n\,dm\ge\int_{A_n}f_n\,dm\ge c\int_{A_n}\varphi\,dm \] 이다. \(\varphi\)의 표준형을 \(\varphi=\sum_ic_i\mathbb 1_{F_i}\)로 쓰면 \[ \int_{A_n}\varphi\,dm=\sum_ic_im(F_i\cap A_n) \] 인데, \(A_n\uparrow E\)이므로 \(F_i\cap A_n\uparrow F_i\)이고, 측도의 아래로부터의 연속성에 의하여 \(m(F_i\cap A_n)\to m(F_i)\)이다. \(\varphi\)가 유한 개의 값만 가지므로 이 극한을 항마다 취하여 더할 수 있고, 따라서 \[ \int_{A_n}\varphi\,dm=\sum_ic_im(F_i\cap A_n)\ \longrightarrow\ \sum_ic_im(F_i)=\int_E\varphi\,dm \] 이다. 그러므로 \[ \lim_{n\to\infty}\int_Ef_n\,dm\ge c\lim_{n\to\infty}\int_{A_n}\varphi\,dm=c\int_E\varphi\,dm \] 을 얻는다. \(c\in(0,\,1)\)이 임의의 값이었으므로 \(c\to1^-\)로 보내면 \[ \lim_{n\to\infty}\int_Ef_n\,dm\ge\int_E\varphi\,dm \] 이다. 이 부등식은 \(0\le\varphi\le f\)인 임의의 단순함수 \(\varphi\)에 대해 성립하므로, 양변에서 그와 같은 함수 \(\varphi\)에 대한 상한을 취하면 \[ \lim_{n\to\infty}\int_Ef_n\,dm\ge\sup_{0\le\varphi\le f}\int_E\varphi\,dm=\int_Ef\,dm \] 을 얻는다. 이 결과를 앞서 보인 부등식과 결합하면 \(\lim_n\int_Ef_n\,dm=\int_Ef\,dm\)이다.

이제 미뤄 두었던 선형성의 증명을 완성하자. 먼저 \(f,\,g\ge0\)인 경우를 보이자. 단순함수 근사 정리에 의하여 단순함수의 증가열 \(\varphi_n\uparrow f,\) \(\psi_n\uparrow g\)가 존재한다. \(\varphi_n+\psi_n\)도 단순함수의 증가열이고 \(\varphi_n+\psi_n\uparrow f+g\)이므로, 단조수렴 정리에 의하여 \[\begin{aligned} \int_E(f+g)\,dm &= \lim_{n\to\infty}\int_E(\varphi_n+\psi_n)\,dm \\[4pt] &= \lim_{n\to\infty}\left[\int_E\varphi_n\,dm+\int_E\psi_n\,dm\right] \\[4pt] &= \int_Ef\,dm+\int_Eg\,dm \end{aligned}\] 이다. [둘째 등식은 단순함수의 선형성이고, 셋째 등식은 단조수렴 정리를 \(\varphi_n\)과 \(\psi_n\)에 각각 적용한 것이다.] \(c\ge 0\)일 때 상수배 성질 \(\int(cf)=c\int f\)도 \(c\varphi_n\uparrow cf\)에 단조수렴 정리를 적용하면 같은 방식으로 증명된다.

선형성을 일반적인(부호가 있는) 적분 가능한 함수 \(f,\,g\)로 확장하는 일은 함수를 양의 부분과 음의 부분의 합으로 나타낸 뒤 계산하면 된다. \(h=f+g\)라고 하면 \[ h^+-h^-=f^+-f^-+g^+-g^- \] 즉 \[ h^++f^-+g^-=h^-+f^++g^+ \] 이다. 양변이 전부 음이 아닌 가측함수이므로, 방금 보인 음이 아닌 함수의 가법성을 양변에 적용하면 \[ \int h^++\int f^-+\int g^-=\int h^-+\int f^++\int g^+ \] 을 얻는다. 모든 항이 유한하므로(적분 가능성의 정의에 의하여) 이항하면 \[ \int h^+-\int h^-=\left(\int f^+-\int f^-\right)+\left(\int g^+-\int g^-\right) \] 즉 \(\int(f+g)=\int f+\int g\)이다. \(h=f+g\)가 적분 가능하다는 사실도, \(\int h^+\)와 \(\int h^-\)가 이 식의 유한한 항으로 이루어지므로 유한하다는 데서 나온다. 상수배는, \(\alpha\ge0\)이면 \((\alpha f)^\pm=\alpha f^\pm\)에서, \(\alpha < 0\)이면 \((\alpha f)^+=|\alpha|f^-\), \((\alpha f)^-=|\alpha|f^+\)에서 바로 나온다. 두 결과를 결합하면 임의의 \(\alpha,\,\beta\)에 대해 \(\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g\)이다.

파투 보조정리

단조수렴 정리는 증가열만 다룬다. 증가한다는 조건 없이 단순히 수렴하는(또는 수렴조차 하지 않는) 함수열이라면 어떻게 될까? 완전한 등식은 기대할 수 없지만, 부등식 하나는 항상 성립한다.

증명은 다음과 같다. \(g_n=\inf_{k\ge n}f_k\)로 두자. 가측함수가 하한에 대하여 닫혀 있으므로 \(g_n\)은 가측함수이고, 하한을 취하는 범위 \(\{k\ge n\}\)이 \(n\)이 커질수록 줄어들므로 \(g_n\)은 증가한다. [즉 \(g_n\le g_{n+1}\)이다.] 정의에 의하여 \(\lim_ng_n=\liminf_nf_n\)이다. \(\{g_n\}\)은 음이 아닌 증가열이므로 단조수렴 정리에 의하여 \[ \int_Eg_n\,dm\ \longrightarrow\ \int_E\left(\liminf_{n\to\infty}f_n\right)dm \] 이다.

한편 \(k\ge n\)인 모든 \(k\)에 대해 \(g_n=\inf_{j\ge n}f_j\le f_k\)이므로, 순서보존성에 의하여 \(k\ge n\)인 모든 \(k\)에 대하여 \(\int_Eg_n\,dm\le\int_Ef_k\,dm\)이 성립한다. 따라서 \[ \int_Eg_n\,dm\le\inf_{k\ge n}\int_Ef_k\,dm \] 이다. \(n\to\infty\)인 극한을 취하면 좌변은 \(\int_E(\liminf_nf_n)\,dm\)으로 수렴하고, 우변은 정의에 의하여 \(\liminf_n\int_Ef_n\,dm\)으로 수렴하므로 \[ \int_E\left(\liminf_{n\to\infty}f_n\right)dm\le\liminf_{n\to\infty}\int_Ef_n\,dm \] 을 얻는다.

파투 보조정리의 부등식은 일반적으로 등호가 성립하지 않는다. [\(E=[0,\,\infty)\)이고 \(f_n=\mathbb 1_{[n,\,n+1]}\)이라고 하면, 고정된 임의의 \(x\)에 대해 \(n > x\)이기만 하면 \(f_n(x)=0\)이다. 그러므로 \(f_n(x)\to0\)이 \(E\)의 모든 점에서 성립하여 \(\liminf_nf_n=0\)이고 \(\int_E(\liminf_nf_n)\,dm=0\)이다. 그런데 모든 \(n\)에서 \(\int_Ef_n\,dm=m([n,\,n+1])=1\)이므로 \(\liminf_n\int_Ef_n\,dm=1\)이다. \(0 < 1\)이므로 이 예에서는 등식이 성립하지 않는다.] 좌변이 우변을 넘지 못한다는 방향만 항상 보장된다.

“거의 어디서나”와 영집합

다음 절의 지배수렴 정리를 정확히 진술하려면 개념이 하나 더 필요하다. 점별수렴이라는 조건이 반드시 모든 점에서 성립해야 하는지, 아니면 측도가 \(0\)인 예외를 허용해도 되는지 하는 문제다. 답은 후자다.

예를 들어 “\(f=g\) 거의 어디서나”, “\(f_n\to f\) a.e.”처럼 사용한다. 이 개념이 유용한 이유는, 영집합 위에서 함수가 어떤 값을 갖든 적분에 전혀 영향을 주지 않기 때문이다.

증명은 다음과 같다. 우선 (\(\Leftarrow\)) 방향을 보이자. \(N=\{x\in E:h(x)\neq0\}\)이라고 하면 \(m(N)=0\)이다. 함수 \(\varphi\)를 \(0\le\varphi\le h\)를 만족시키는 임의의 단순함수라고 하자. \(h(x)=0\)인 점에서는 \(\varphi(x)\le h(x)=0\)이고 \(\varphi(x)\ge0\)이므로 \(\varphi(x)=0\)이다. 즉 \(\varphi\)가 양수 \(c_i > 0\)의 값을 갖는 조각 \(E_i\)는 전부 \(E_i\subseteq N\)을 만족시키고, 단조성에 의하여 \(m(E_i)\le m(N)=0\)이다. 그러므로 \[ \int_E\varphi\,dm=\sum_ic_im(E_i)=0 \] 이다. 이것은 \(h\) 이하의 모든 단순함수에 대해 성립하므로, 상한을 취하면 \(\int_Eh\,dm=0\)이다.

이제 반대로 (\(\Rightarrow\)) 방향을 보이자. \(\int_Eh\,dm=0\)이라고 하자. \[ \{h > 0\}=\bigcup_{n=1}^\infty\left\{h > \frac1n\right\} \] 이다. [\(h(x) > 0\)이면 \(h(x) > 1/n\)인 \(n\)이 존재하기 때문이다.] 그러므로 각 \(\{h > 1/n\}\)의 측도가 \(0\)임을 보이면, 가산준가법성에 의하여 \(m(\{h > 0\})=0\)을 얻는다. 적당한 \(n\)에서 \(m(\{h > 1/n\}) > 0\)이라고 가정하자. 단순함수 \(\varphi=\frac1n\mathbb 1_{\{h>1/n\}}\)은 \(0\le\varphi\le h\)를 만족시킨다. [\(\{h > 1/n\}\) 위에서는 \(h > 1/n=\varphi\)이고, 그 바깥에서는 \(\varphi=0\le h\)이기 때문이다.] 그러므로 \[ \int_Eh\,dm\ge\int_E\varphi\,dm=\frac1n\,m\left(\left\{h>\frac1n\right\}\right) > 0 \] 이 되어 \(\int_Eh\,dm=0\)이라는 가정에 모순된다. 그러므로 모든 \(n\)에서 \(m(\{h > 1/n\})=0\)이고, 따라서 \(m(\{h > 0\})=0\)이다. 즉 \(h=0\)이 거의 어디서나 성립한다.

이 정리를 사용하면, 두 함수가 거의 어디서나 일치하면 적분값도 같다는 사실이 바로 따라 나온다. \(f=g \text{ a.e.}\)라고 하고 \(N=\{f\neq g\}\)로 두면 \(m(N)=0\)이다. \(f-g\)는 \(N\) 위에서만 \(0\)이 아닐 수 있으므로 \(f-g=0 \text{ a.e.}\)이고, 부등식 \(|f-g|\ge 0\)에 대해서도 \(|f-g|=0 \text{ a.e.}\)이므로 방금 증명한 정리를 적용하면 \(\int_E|f-g|\,dm=0\)이다. 삼각부등식과 순서보존성에 의하여 \[ \left|\int_Ef\,dm-\int_Eg\,dm\right|\le\int_E|f-g|\,dm=0 \] 이므로 \(\int_Ef\,dm=\int_Eg\,dm\)이다. [부등식 \(\left|\int(f-g)\right|\le\int|f-g|\)는 리만 적분의 삼각부등식과 같은 방식, 즉 \(-|f-g|\le f-g\le|f-g|\)에 순서보존성을 적용하는 방식으로 확인된다.] 이것이 “거의 어디서나”라는 개념이 적분과 함께 쓰이는 이유이다. 영집합 위에서 함수를 어떻게 수정하더라도, 심지어 정의하지 않더라도, 적분값은 달라지지 않는다.

지배수렴 정리

파투 보조정리의 결론은 부등식이다. 그런데 조건을 하나 더 추가하면, 즉 적분 가능한 하나의 함수를 함수열 전체의 상계로 사용할 수 있다면, 결론으로서 등식을 얻을 수 있다. 이 절의 정리는 세 수렴 정리 가운데 가장 널리 쓰이는 지배수렴 정리다.

증명은 다음과 같다. 각 \(n\)에 대해 \(|f_n|\le g\)가 성립하지 않는 집합과 \(f_n\to f\)가 성립하지 않는 집합은 전부 영집합이다. 가산 개의 영집합의 합집합도 영집합이므로(가산준가법성에 의하여), 이 예외를 모두 제외한 하나의 영집합 \(N\) 바깥에서는 모든 \(n\)에 대해 \(|f_n|\le g\)이면서 동시에 \(f_n\to f\)라고 가정해도 좋다. 영집합 위에서 함수를 어떻게 바꾸어도 적분에 영향이 없다는 사실을 앞 절에서 확인하였으므로, 이제부터는 이 성질이 \(E\) 전체에서 성립한다고 가정해도 무방하다.

\(n\to\infty\)일 때 부등식 \(|f_n|\le g\)의 양변에서 극한을 취하면 \(|f|\le g\)이다. 순서보존성에 의하여 \(\int_E|f|\,dm\le\int_Eg\,dm < \infty\)이므로 \(f\in L^1(E)\)이다.

이제 \(h_n=|f_n-f|\)로 두자. \(h_n\ge0\)이고, 삼각부등식에 의하여 \(h_n\le|f_n|+|f|\le2g\)이며, \(f_n\to f\)이므로 \(h_n\to0\)이다. 방금 보인 \(h_n\le2g\)로부터 \(2g-h_n\ge0\)이므로, 함수열 \(\{2g-h_n\}\)에 파투 보조정리를 적용할 수 있다. \(h_n\to 0\)이므로 \(\limsup_nh_n=0\)이고, 따라서 \[ \liminf_n(2g-h_n)=2g-\limsup_nh_n=2g \] 이다. 그러므로 \[\begin{aligned} \int_E2g\,dm &= \int_E\left(\liminf_{n\to\infty}(2g-h_n)\right)dm \\[4pt] &\le \liminf_{n\to\infty}\int_E(2g-h_n)\,dm \\[4pt] &= \int_E2g\,dm-\limsup_{n\to\infty}\int_Eh_n\,dm \end{aligned}\] 을 얻는다. [마지막 등식은 \(\liminf_n(c-a_n)=c-\limsup_na_n\)이라는 극한의 일반적인 성질과 선형성에서 나온다.] \(g\in L^1(E)\)이므로 \(\int_E2g\,dm\)이 유한하다. 양변에서 이 값을 빼면 \[ 0\le-\limsup_{n\to\infty}\int_Eh_n\,dm \] 즉 \(\limsup_n\int_Eh_n\,dm\le0\)이다. 그런데 \(h_n\ge0\)이므로 \(\int_Eh_n\,dm\ge0\)이고, 따라서 \(\liminf_n\int_Eh_n\,dm\ge0\)이기도 하다. \[ 0\le\liminf_{n\to\infty}\int_Eh_n\,dm\le\limsup_{n\to\infty}\int_Eh_n\,dm\le0 \] 이므로 극한 \(\lim_n\int_Eh_n\,dm\)이 존재하고 그 값은 \(0\)이다. 즉 \[ \lim_{n\to\infty}\int_E|f_n-f|\,dm=0 \] 이다.

마지막으로 \(\int f_n\to\int f\)를 확인하자. 삼각부등식에 의하여 \[ \left|\int_Ef_n\,dm-\int_Ef\,dm\right|=\left|\int_E(f_n-f)\,dm\right|\le\int_E|f_n-f|\,dm\ \longrightarrow\ 0 \] 이므로 \(\int_Ef_n\,dm\to\int_Ef\,dm\)이다.

리만 적분의 문제점의 해소

이제 세 수렴 정리를 갖추었으니, 리만 적분을 다룬 글의 끝에서 남겨 둔 두 문제점을 살펴볼 차례이다.

첫째는 디리클레 함수 \(D=\mathbb 1_{\mathbb Q\cap[0,1]}\)이었다. 이 함수는 \([0,\,1]\)의 모든 점에서 불연속이어서 리만 적분이 불가능했다. 그런데 르베그 적분에서는 이 함수를 적분할 수 있다. \(\mathbb Q\cap[0,\,1]\)은 가산집합이므로 측도가 \(0\)이고, 따라서 \([0,\,1]\)에서 \(D=0 \text{ a.e.}\)가 성립한다. [\(D\)가 \(0\)이 아닌 점, 즉 \(D=1\)인 점의 집합이 정확히 \(\mathbb Q\cap[0,\,1]\)이기 때문이다.] 앞 절에서 증명한 “영집합과 적분” 정리에 의하여 \[ \int_0^1D\,dm=0 \] 이다. 리만 적분에서는 정의되지 않았던 값이, 르베그 적분에서는 \(0\)으로 정해진다.

둘째는 극한과 적분이 교환되지 않는 예였다. \([0,\,1]\)의 유리수를 \(q_1,\,q_2,\,q_3,\,\ldots\)로 빠짐없이 나열하고 \[ f_n(x)=\begin{cases}1 & (x\in\{q_1,\ldots,q_n\}) \\[6pt] 0 & (\text{otherwise})\end{cases} \] 이라고 하면, 앞서 확인했듯 각 \(f_n\)은 리만 적분 가능하고 \(\int_0^1f_n=0\)이다. 그런데 \(f_n\)은 점마다 \(D\)로 수렴하고, \(D\)는 리만 적분 불가능하다. 그러므로 \(\lim_n\int_0^1f_n\)은 \(0\)으로 의미를 갖지만 \(\int_0^1\lim_nf_n\)은 애초에 정의되지 않아서, 극한과 적분을 바꾸는 질문 자체를 리만 적분의 언어로는 던질 수조차 없었다.

르베그 적분에서는 이 문제가 해소된다. 우선 \(D\)가 르베그 적분 가능하므로 \[\int_0^1\lim_nf_n\,dm=\int_0^1D\,dm=0\]이 의미를 갖는 값으로 존재한다. 더 나아가 지배수렴 정리의 가정이 성립한다는 점이 이 예의 특징이다. \(f_n(x)\in\{0,\,1\}\)이므로 모든 \(n\)과 모든 \(x\)에서 \(|f_n(x)|\le1\)이고, 상수함수 \(g\equiv1\)은 \([0,\,1]\)에서 \[\int_0^1g\,dm=m([0,\,1])=1 < \infty\]를 만족시키므로 적분 가능하다. 즉 함수열 \(\{f_n\}\)은 적분 가능한 함수 \(g=1\)를 상계로 갖고, \(f_n\to D\)는 \([0,\,1]\)의 모든 점에서 성립한다. 지배수렴 정리에 의하여 \[ \lim_{n\to\infty}\int_0^1f_n\,dm=\int_0^1D\,dm \] 이 성립한다. 실제로 등식의 양변 모두 값이 \(0\)이므로 일치한다. 리만 적분에서는 극한과 적분의 순서를 바꿀 수 없다는 것이 문제였다면, 르베그 적분에서는 그 순서를 바꾸어도 된다. 리만 적분의 단점을 보여주었던 예가 르베그 적분에서는 지배수렴 정리가 적용되는 예가 된다.

르베그 적분과 리만 적분의 관계

디리클레 함수는 리만 적분 불가능하지만 르베그 적분 가능하다. 그렇다면 리만 적분 가능한 함수는 전부 르베그 적분 가능할까? 그렇다. 그리고 두 적분값은 같다.

증명은 다음과 같다. \(f\)는 리만 적분 가능하므로 유계이다. \(|f|\le B\)라고 하자. 리만 판정법에 의하여, 각 \(n\)마다 \[ U(f,Q_n)-L(f,Q_n) < \frac1n \] 인 분할 \(Q_n\)이 존재한다. \(P_n=Q_1\cup\cdots\cup Q_n\)으로 두면, \(\{P_n\}\)은 세련되는(즉 \(P_n\subseteq P_{n+1}\)인) 분할열이다. 세련분할 보조정리에 의하여 \[ U(f,P_n)-L(f,P_n)\le U(f,Q_n)-L(f,Q_n) < \frac1n\ \longrightarrow\ 0 \] 이다.

\[ P_n:\,a=x_0^{(n)} < \cdots < x_{k_n}^{(n)}=b \] 라고 쓰고, \(P_n\)의 각 소구간 위에서 \(f\)의 상한과 하한값을 갖는 계단함수 \[ u_n=\sum_kM_k^{(n)}\mathbb 1_{I_k^{(n)}},\quad l_n=\sum_km_k^{(n)}\mathbb 1_{I_k^{(n)}} \] 을 만들자. [여기서 \(I_k^{(n)}\)은 \(P_n\)의 소구간이고, \(M_k^{(n)},\,m_k^{(n)}\)은 그 위에서 \(f\)의 상한과 하한이다.] \(u_n,\,l_n\)은 유한 개의 값만 가지므로 단순함수이고 \[\begin{aligned} \int_{[a,b]}u_n\,dm &= \sum_kM_k^{(n)}\cdot m\left(I_k^{(n)}\right)=U(f,P_n), \\ \int_{[a,b]}l_n\,dm &= L(f,P_n) \end{aligned}\] 이다. [구간의 르베그 측도가 그 길이와 같다는 사실을 사용하였다.]

\(P_n\)이 세련되는 분할열이므로 \(u_n\)은 (점마다) 감소하고 \(l_n\)은 (점마다) 증가한다. 세련된 분할에서는 각 점을 포함하는 소구간이 더 작아지므로, 그 위에서 \(f\)의 상한은 커질 수 없고 하한은 작아질 수 없기 때문이다. 감소하고 아래쪽으로 유계인 수열은 항상 수렴하므로, \[ U(x):=\inf_nu_n(x) \] 로 두면 모든 \(x\)에 대하여 \(u_n(x)\to U(x)\)가 성립한다. 같은 이유로 \[ L(x):=\sup_nl_n(x) \] 로 두면 \(l_n(x)\to L(x)\)이다. 모든 \(x\)와 \(n\)에서 \(l_n\le f\le u_n\)이 성립하므로 [소구간 위에서 함숫값이 그 소구간의 하한과 상한 사이에 있는 것은 당연하다], 극한을 취하면 \([a,\,b]\)의 모든 점에서 \(L\le f\le U\)가 성립한다. \(U,\,L\)은 단순함수의 점별극한이므로, 가측함수의 극한에 대한 닫힘성에 의하여 가측함수다.

\(|u_n|,\,|l_n|\le B\)이므로, 유한측도 구간 \([a,\,b]\) 위에서 적분 가능한 상수함수 \(B\)가 \(u_n,\,l_n\)의 공통상계이다. 지배수렴 정리에 의하여 \[\begin{aligned} \int_{[a,b]}u_n\,dm &\to\int_{[a,b]}U\,dm,\\ \int_{[a,b]}l_n\,dm &\to\int_{[a,b]}L\,dm \end{aligned}\] 이다. 그런데 \(U(f,P_n)=\int u_n\,dm\)과 \(L(f,P_n)=\int l_n\,dm\)은 둘 다 리만 적분값 \(\int_a^bf\,dx\)로 수렴한다. [다르부 이론에서 \[L(f,P_n)\le\int_a^bf\,dx\le U(f,P_n)\]이 성립하고 그 차가 \(0\)으로 수렴하기 때문이다.] 그러므로 \[ \int_{[a,b]}U\,dm=\int_{[a,b]}L\,dm=\int_a^bf\,dx \] 이다.

\(U-L\ge0\)이고, \(U,\,L\)이 둘 다 유계함수로서 적분 가능하므로 선형성에 의하여 \[ \int(U-L)\,dm=\int U\,dm-\int L\,dm=0 \] 이다. “영집합과 적분” 정리에 의하여 \(U=L \text{ a.e.}\)이고, 이 결과를 \(L\le f\le U\)와 결합하면 \(f=U=L \text{ a.e.}\)이 성립한다.

이제 \(f\)가 가측함수임을 확인하자. \(N=\{f\neq U\}\)라고 하면 \(m(N)=0\)이다. 임의의 \(a\in\mathbb R\)에 대해 \[ \{f > a\}=\left(\{U > a\}\cap N^c\right)\cup\left(\{f > a\}\cap N\right) \] 이다. 앞 조각은 가측집합의 교집합이므로 가측이다. 뒤 조각은 \(N\)의 부분집합인데, 측도가 \(0\)인 집합의 모든 부분집합은 항상 가측이므로 이 조각도 가측이다. 그러므로 \(\{f > a\}\)는 가측집합이고, 이것이 모든 \(a\)에 대해 성립하므로 \(f\)는 가측함수다.

\(f\)는 \(|f|\le B\)로서 유계이고 \([a,\,b]\)는 유한측도이므로 \(f\)는 르베그 적분 가능하다. \(f=U \text{ a.e.}\)이므로, “영집합과 적분” 정리의 따름정리에 의하여 \[ \int_{[a,b]}f\,dm=\int_{[a,b]}U\,dm=\int_a^bf\,dx \] 이다.

이 정리는 역이 성립하지 않는다. 즉 디리클레 함수처럼 르베그 적분 가능하지만 리만 적분은 불가능한 함수가 존재한다. 그렇다면 어떤 함수가 정확히 리만 적분 가능한지, 그 경계를 완전히 그릴 수 있을까? 리만 적분을 다룬 글의 마지막 절에서 제기한 추측, 즉 문제는 불연속점의 크기라는 추측에 이제 정확한 답을 줄 수 있다.

도구가 하나 필요하다. 리만 적분을 다룬 글에서 다루었던 진동량(oscillation)을 점마다 정의하는 값으로 정의하자. 유계함수 \(f\)와 점 \(x\)에 대해 \[ \omega_f(x)=\lim_{\delta\to0^+}\left[\sup_{(x-\delta,x+\delta)}f-\inf_{(x-\delta,x+\delta)}f\right] \] 로 정의한다. [괄호 안의 값은 \(\delta\)가 작아질수록 감소하므로 이 극한은 항상 존재한다.] \(f\)가 \(x\)에서 연속이기 위한 필요충분조건이 \(\omega_f(x)=0\)이라는 사실은 실해석학의 표준적인 결과이므로 증명 없이 사용한다. \[ D_f=\{x\in[a,b]:f\text{ is not continuous at }x\}=\{x:\omega_f(x) > 0\} \] 이라고 쓰면 \[ D_f=\bigcup_{n=1}^\infty D_f^{1/n},\quad D_f^\varepsilon:=\{x\in[a,b]:\omega_f(x)\ge\varepsilon\} \] 이다. [\(\omega_f(x) > 0\)이면 \(\omega_f(x)\ge1/n\)인 \(n\)이 존재하기 때문이다.] 각 \(D_f^\varepsilon\)은 닫힌집합이다. [여집합이 열려 있음을 보이면 충분하다. \(\omega_f(x_0) < \varepsilon\)이면 적당한 \(\delta\)에서 \((x_0-\delta,\,x_0+\delta)\) 위의 진동량이 \(\varepsilon\)보다 작다. 이 구간에 완전히 포함되는 더 작은 구간을 잡으면 그 구간의 진동량도 마찬가지로 \(\varepsilon\)보다 작으므로, \(x_0\) 근방의 모든 점에서 \(\omega_f < \varepsilon\)이다. 즉 \(\{\omega_f < \varepsilon\}\)이 열려 있고, 그 여집합 \(D_f^\varepsilon\)이 닫혀 있다.] \(D_f^\varepsilon\)은 \([a,\,b]\) 안에 있으므로 콤팩트하고, 따라서 가측이다.

먼저 (\(\Leftarrow\)) 방향, 즉 \(m(D_f)=0\)이면 리만 적분 가능하다는 것을 보이자. \(|f|\le B\)라고 하고, \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \[ \varepsilon'=\frac{\varepsilon}{4(b-a)} \] 으로 두면 \(D_f^{\varepsilon'}\subseteq D_f\)이므로 \(m(D_f^{\varepsilon'})=0\)이다. \(D_f^{\varepsilon'}\)은 콤팩트하고 측도가 \(0\)이므로, 총 길이가 \(\varepsilon/(4B)\)보다 작은 유한 개의 열린구간으로 덮을 수 있다. [외측도의 정의로부터 총 길이가 \(\varepsilon/(4B)\)보다 작은 가산 개의 열린구간 덮개를 먼저 얻고, 하이네-보렐 정리로 유한 부분덮개로 줄인다. 이것은 불연속점이 유한 개인 함수의 적분 가능성을 증명할 때 사용한 방법을 콤팩트한 집합 일반으로 확장한 것과 같다.] 이 열린구간을 \([a,\,b]\)에서 빼낸 나머지 \[ K=[a,b]\setminus(\text{open intervals}) \] 은 유한 개의 닫힌구간의 합집합이고, \(K\)의 각 점에서는 \(\omega_f < \varepsilon'\)이다. \(K\)의 각 조각은 콤팩트하므로, 균등연속에 준하는 논증으로(각 점에서 진동량이 \(\varepsilon'\)보다 작다는 사실과 조각이 유한 개라는 사실에 콤팩트성을 사용하여) 그 조각을 충분히 잘게 나누면 각 소구간에서 \(f\)의 진동량이 \(\varepsilon'\)보다 작아지도록 만들 수 있다. 이렇게 얻은 소구간과 처음에 뺀 열린구간의 끝점을 모아 \([a,\,b]\)의 분할 \(P\)를 만들면, 불연속점이 유한 개인 함수를 다룰 때와 같은 방식으로 \[\begin{aligned} U(f,P)-L(f,P) &= \sum_{\text{good subinterval}}(M_k-m_k)(x_k-x_{k-1}) \\[4pt] &\qquad +\sum_{\text{bad subinterval}}(M_k-m_k)(x_k-x_{k-1}) \\[4pt] &< \varepsilon'\cdot(b-a)+2B\cdot\frac{\varepsilon}{4B} \\[4pt] &= \frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon \end{aligned}\] 을 얻는다. [좋은 소구간(good subinterval)은 \(K\)를 잘게 나눈 것이고, 나쁜 소구간(bad subinterval)은 처음에 뺀 열린구간 안에 있는 것이다.] 리만 판정법에 의하여 \(f\)는 적분 가능하다.

이제 반대로 (\(\Rightarrow\)) 방향, 즉 \(f\)가 리만 적분 가능하면 \(m(D_f)=0\)임을 보이자. \(D_f=\bigcup_nD_f^{1/n}\)이므로, 각 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(m(D_f^\varepsilon)=0\)임을 보이면 가산준가법성에 의하여 \(m(D_f)=0\)을 얻는다. \(\varepsilon > 0\)과 \(\eta > 0\)을 고정하자. 리만 판정법에 의하여 \[ U(f,P)-L(f,P) < \eta \] 인 분할 \(P:\,a=x_0 < \cdots < x_k=b\)가 존재한다. \(D_f^\varepsilon\)의 점을 내부에 포함하는 소구간에서는 그 소구간 위에서 \(f\)의 진동량이 \(\varepsilon\) 이상이므로 \(M_j-m_j\ge\varepsilon\)이다. 그러므로 \[\begin{aligned} \eta & > U(f,P)-L(f,P)\\ & \ge\sum_{j:\,D_f^\varepsilon\text{의 점을 내부에 포함}}(M_j-m_j)(x_j-x_{j-1})\\ & \ge\varepsilon\sum_j(x_j-x_{j-1}) \end{aligned}\] 이다. 마지막 합은 그러한 소구간의 길이의 합이므로, 이 길이의 합은 \(\eta/\varepsilon\)보다 작다. 이 소구간들은 \(D_f^\varepsilon\)의 점 가운데 분할의 끝점이 아닌 것을 전부 덮는다. 그러므로 \(D_f^\varepsilon\)은 (유한 개인 분할의 끝점을 제외하면) 총 길이가 \(\eta/\varepsilon\)보다 작은 유한 개의 구간으로 덮이고, 유한집합은 측도가 \(0\)이므로 그 길이를 임의로 작게 덮을 수 있다. 따라서 \[ m^*(D_f^\varepsilon)\le\frac{\eta}{\varepsilon}+(\text{임의로 작은 양수}) \] 이다. \(\varepsilon\)을 고정시킨 채 \(\eta > 0\)을 임의로 작게 보내면 \(m^*(D_f^\varepsilon)=0\)이다. 이것이 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여 성립하므로 \(m(D_f)=0\)이다.

함수에서 함수공간으로

지금까지 단순함수의 적분에서 시작하여 음이 아닌 가측함수, 그리고 일반 가측함수로 적분의 정의를 확장하였다. 또한 적분의 단조성과 선형성을 확인하였다. 단조수렴 정리, 파투 보조정리, 지배수렴 정리를 차례로 증명하였으며, 이 도구로 리만 적분의 문제가 해결되었음을 확인하였다. 또한 리만 적분 가능하면 르베그 적분 가능하다는 사실과, 그 역이 성립하는 조건(불연속점의 측도가 \(0\))까지 확인하였다.

그런데 지금까지 다룬 것은 늘 함수 하나, 또는 함수의 수열이었다. 시선을 넓혀 보자. \(E\) 위에서 적분 가능한 함수 전체의 모임 \(L^1(E)\)는 선형성 덕분에 벡터공간을 이룬다. 두 함수를 더하고 상수를 곱하는 연산이 자연스럽게 정의되고, \(|f|\)를 적분한 값 \(\int|f|\,dm\)은 이 공간에 크기를 부여하는 후보가 된다. 그렇다면 이 공간 자체는 어떤 구조를 가질까? 코시열은 항상 수렴할까? 함수를 비교하는 다른 방식, 예를 들어 제곱을 적분한 값으로 크기를 재면 무슨 일이 일어날까? 함수 하나하나가 아니라 함수들이 모인 공간 전체를 조사하는 일이 다음 글(L^p 공간과 푸비니-토넬리 정리)의 주제다.

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