August 2026

지금까지 리만 적분, 리만-스틸체스 적분, 르베그 적분, 헨스톡-쿠르츠바일 적분, 다니엘 적분, 이토 적분을 살펴보았다. 그 과정에서 “크기를 재는 방법을 어떻게 정하고, 그 방법으로 무엇을 적분할 수 있는가”라는 질문을 공유하고, 각각의 적분으로 그 질문에 답하였다. 그런데 수학에는 이 질문과는 전혀 다른 이유로 ‘적분’이라는 이름을 사용하는 이론이 있고, 또 한편으로는 이 질문과 …

지금까지 다룬 모든 적분은, 겉모습이 아무리 달라도 한 가지 공통점을 가지고 있었다. 적분하는 대상(피적분함수)은 무작위일 수 있어도, 적분하는 기준(적분 영역을 측정하는 자)은 언제나 고정되고 결정론적이었다. 리만 적분의 구간 길이, 르베그 적분의 측도, 심지어 확률변수를 적분할 때 사용한 확률측도 \(P\)까지, 이 기준은 적분이 진행되는 동안 흔들리지 않는 배경이었다. 만약 기준 그 …

르베그 적분을 정의한 과정을 되짚어 보자. 먼저 측도를 정의하고, 그 측도 위에 적분을 구성하였으며, 그 적분이 이루는 공간을 살피고, 측도 자체를 추상화하였다. 즉 측도가 먼저 정의되고 적분은 그 위에 얹히는 개념이었다. 이 순서를 거꾸로 뒤집을 수 있을까? 측도를 전혀 언급하지 않은 채로 몇 개의 공리를 사용하여 적분이라는 연산 자체를 규정하고, …

리만 적분을 살펴보며 미적분학의 기본정리를 증명하였다. 즉 함수 \(G\)가 미분 가능하고 \(G’=f\)를 만족시키며 \(f\)가 적분 가능하기만 하면 \(\int_a^bf=G(b)-G(a)\)라는 정리였다. 그런데 여기에는 조건이 하나 숨어 있다. \(f\)가 적분 가능해야 한다는 조건이다. 그렇다면 다음과 같은 질문을 던질 수 있다. \(G\)가 \([a,\,b]\)의 모든 점에서 미분 가능하기만 하면, \(G’\)이 적분 가능하고 \(\int_a^bG’=G(b)-G(a)\)가 성립하지 않을까? …

동전을 무한 번 던진다고 하자. 앞면이 무한히 자주 나올 확률은 얼마인가? 고전적인 확률론으로는 이 질문에 답할 수 없다. 라플라스적 확률, 즉 “전체 경우의 수 가운데 유리한 경우의 수가 차지하는 비율”이라는 정의는 애초에 경우의 수가 유한할 때만 의미를 가진다. 기하학적 확률(길이나 넓이의 비율)로 확장하더라도 여전히 앞의 질문에 답할 수 없다. 동전을 …

르베그 측도를 구성할 때 가장 처음 시작한 건 구간의 길이를 정의하는 일이었다. 그런데 그 구성을 다시 들여다보면, 구간의 길이를 정의하는 일이 정말로 필요했던 곳은 외측도를 처음 정의하기 시작할 때뿐이었다. 카라테오도리의 조건, 가측집합이 \(\sigma\)-대수를 이룬다는 정리, 가산가법성은 모두 ‘구간의 길이’라는 구체적인 내용과 무관하게, 순전히 그 값이 갖는 성질(단조성, 가산준가법성)만으로 성립하였다. 그렇다면 …

지금까지는 함수를 하나씩 놓고 적분 가능한지, 극한과 적분을 바꿀 수 있는지를 실펴보았다. 이 글에서는 초점을 바꾼다. 적분 가능한 함수를 전부 모으면 그 모임 자체가 하나의 공간이 되는데, 이 공간의 구조를 살펴보는 것이 이 글의 목표다. 집합 \(E\) 위에서 르베그 적분 가능한 함수 전체의 모임 \(L^1(E)\)는 적분의 선형성 덕분에 벡터공간을 이룬다. …