August 2026

동전을 무한 번 던진다고 하자. 앞면이 무한히 자주 나올 확률은 얼마인가? 고전적인 확률론으로는 이 질문에 답할 수 없다. 라플라스적 확률, 즉 “전체 경우의 수 가운데 유리한 경우의 수가 차지하는 비율”이라는 정의는 애초에 경우의 수가 유한할 때만 의미를 가진다. 기하학적 확률(길이나 넓이의 비율)로 확장하더라도 여전히 앞의 질문에 답할 수 없다. 동전을 …

르베그 측도를 구성할 때 가장 처음 시작한 건 구간의 길이를 정의하는 일이었다. 그런데 그 구성을 다시 들여다보면, 구간의 길이를 정의하는 일이 정말로 필요했던 곳은 외측도를 처음 정의하기 시작할 때뿐이었다. 카라테오도리의 조건, 가측집합이 \(\sigma\)-대수를 이룬다는 정리, 가산가법성은 모두 ‘구간의 길이’라는 구체적인 내용과 무관하게, 순전히 그 값이 갖는 성질(단조성, 가산준가법성)만으로 성립하였다. 그렇다면 …

지금까지는 함수를 하나씩 놓고 적분 가능한지, 극한과 적분을 바꿀 수 있는지를 실펴보았다. 이 글에서는 초점을 바꾼다. 적분 가능한 함수를 전부 모으면 그 모임 자체가 하나의 공간이 되는데, 이 공간의 구조를 살펴보는 것이 이 글의 목표다. 집합 \(E\) 위에서 르베그 적분 가능한 함수 전체의 모임 \(L^1(E)\)는 적분의 선형성 덕분에 벡터공간을 이룬다. …