리만 적분을 살펴보며 미적분학의 기본정리를 증명하였다. 즉 함수 \(G\)가 미분 가능하고 \(G'=f\)를 만족시키며 \(f\)가 적분 가능하기만 하면 \(\int_a^bf=G(b)-G(a)\)라는 정리였다. 그런데 여기에는 조건이 하나 숨어 있다. \(f\)가 적분 가능해야 한다는 조건이다. 그렇다면 다음과 같은 질문을 던질 수 있다. \(G\)가 \([a,\,b]\)의 모든 점에서 미분 가능하기만 하면, \(G'\)이 적분 가능하고 \(\int_a^bG'=G(b)-G(a)\)가 성립하지 않을까? 즉 미분 가능성 하나만으로 충분하지 않을까?
리만 적분에서도 르베그 적분에서도 이 질문에 대한 답은 부정적이다. 반례를 하나 만들어 보자. \[ F(x)=\begin{cases}x^2\sin(1/x^2) & (x\neq0) \\[6pt] 0 & (x=0)\end{cases} \] 으로 정의하면, \(F\)는 \([0,\,1]\)의 모든 점에서 미분 가능하다. \(x\neq0\)에서는 \[ F'(x)=2x\sin(1/x^2)-\frac2x\cos(1/x^2) \] 이고, \(x=0\)에서는 \[ F'(0)=\lim_{h\to0}\frac{F(h)-F(0)}{h}=\lim_{h\to0}h\sin(1/h^2)=0 \] 이다. (\(|h\sin(1/h^2)|\le|h|\to0\)이기 때문이다.) 그런데 \(x\to0^+\)일 때 \(2x\sin(1/x^2)\)은 \(0\)으로 수렴하지만 \(-\frac2x\cos(1/x^2)\)은 진동의 진폭이 \(\left| 2/x \right| \to\infty\)로 커진다. 즉 \(F'\)은 \([0,\,1]\)에서 유계가 아니다. 유계가 아닌 함수는 리만 적분 가능하지 않으므로, 리만 적분으로는 애초에 \(\int_0^1F'\)이라는 값을 논할 수조차 없다.
르베그 적분이라면 가능하지 않을까? 그렇지 않다. \(\int_0^1|F'|\,dm\)이 유한해야 \(F'\)이 르베그 적분 가능한데, \(u=1/x^2\)로 치환하면 \(-\frac2x\cos(1/x^2)\) 항이 만드는 적분은 \[ \int^\infty\frac{|\cos u|}{u}\,du \] 꼴로 바뀌고, 이 적분은 발산한다. [\(|\cos u|/u\)를 \(u=n\pi\) 근방마다 나누어 보면, 각 구간 \([n\pi,\,(n+1)\pi]\)에서 \(|\cos u|/u\)의 적분은 대략 \(c/n\) (\(c\)는 \(n\)과 무관한 상수)만큼 영향을 미치는데, \(\sum_n1/n\)이 발산하므로 적분도 발산한다. 조화급수가 발산하는 것과 본질적으로 같은 이유다.] 그러므로 \(\int_0^1|F'|\,dm=\infty\)이고, \(F'\)은 르베그 적분 가능하지 않다.
미분 가능성만으로는 리만 적분 가능성과 르베그 적분 가능성 중 어느 쪽도 보장할 수 없다. 그런데도 \(F'\)의 적분이 \(F(1)-F(0)\)으로 수렴해야 한다는 직관은 여전히 남는다. \(-\frac2x\cos(1/x^2)\)이 만드는 큰 값들은 양수와 음수를 오가며 서로 상쇄되고 있을 뿐, 절댓값을 취하는 순간에만 문제가 생기기 때문이다. 이 상쇄를 실제로 활용하여 \(F'\)을 적분하는 이론을 만들 수 있을까? 이 질문에서 이 글이 시작된다. 그 답은 측도론을 전혀 사용하지 않고, 리만 합이라는 소박한 발상을 살짝 수정하는 것만으로 나온다.
이 문제는 사실 아주 오래되었다. 아르노 당주아가 1912년에 이미 이런 함수를 적분하려는 목적으로 초한귀납법을 이용한 적분(당주아 적분)을 구성했고, 오스카어 페론이 1914년에 상함수와 하함수를 사용하여 동치인 구성(페론 적분)을 내놓았다. 두 구성 모두 옳았지만 다루기가 매우 번거로웠다. 야로슬라프 쿠르츠바일이 1957년에, 그리고 쿠르츠바일의 작업을 전혀 모른 채로 랠프 헨스톡이 1961년에 각각 독립적으로, 리만 합의 형태를 거의 그대로 유지하면서 당주아-페론 적분과 동치인 훨씬 간단한 정의를 찾아냈다. 이 글에서 다룰 것이 바로 이 헨스톡-쿠르츠바일 적분이다.
게이지와 δ-세분 분할
리만 합을 다시 떠올려 보자. 리만 적분을 정의할 때, 분할 \[ P:\,a=x_0 < \cdots < x_n=b \] 와 각 소구간의 표본점 \(t_k\in[x_{k-1},\,x_k]\)를 선택하여 \(\sum_kf(t_k)(x_k-x_{k-1})\)을 계산하였다. 리만 적분 가능성은 이 합이 분할의 폭(mesh, 가장 긴 소구간의 길이)이 \(0\)으로 갈 때 수렴한다는 뜻이었다. 헨스톡과 쿠르츠바일의 착상은 이 ‘폭’을 재는 기준을 바꾸는 것이다. 모든 곳에서 똑같이 가늘어지라고 요구하는 대신, 점마다 얼마나 가늘어져야 하는지를 따로 지정하는 것이다.
게이지와 δ-세분 분할의 정의.
함수 \(\delta:[a,\,b]\to(0,\,\infty)\)를 \([a,\,b]\) 위의 게이지(gauge)라고 부른다. \([a,\,b]\)의 꼬리표 분할(tagged partition)이란 \[ a=x_0 < \cdots < x_n=b \] 와 각 소구간에 대응하는 꼬리표(tag) \(t_k\in[x_{k-1},\,x_k]\)의 모임 \[ P=\{([x_{k-1},x_k],t_k)\}_{k=1}^n \] 을 말한다. 게이지 \(\delta\)가 주어졌을 때, 꼬리표 분할 \(P\)가 모든 \(k\)에서 \[ [x_{k-1},x_k]\subseteq\left(t_k-\delta(t_k),\,t_k+\delta(t_k)\right) \] 를 만족시키면, \(P\)를 \(\delta\)-세분(\(\delta\)-fine)이라고 부른다.
게이지는 상수함수일 수도 있지만 (그러면 리만의 mesh 조건과 같아진다), 점마다 전혀 다른 값을 가져도 된다. \(F'\)이 요동치는 점 근처에서는 \(\delta\)를 작게 잡고, \(F'\)의 변화가 심하지 않은 점 근처에서는 \(\delta\)를 크게 잡을 수 있다는 뜻이다. 그런데 이렇게 자유로운 게이지를 허용하면, 애초에 \(\delta\)-세분 분할이 존재하는지부터 확인해야 한다. 상수 게이지라면 자명하지만, 점마다 값이 변하는 게이지라면 자명하지 않다.
쿠쟁의 보조정리 (Cousin's lemma)
\([a,\,b]\) 위의 임의의 게이지 \(\delta\)에 대해, \([a,\,b]\)의 \(\delta\)-세분 꼬리표 분할이 존재한다.
증명은 다음과 같다. 결론이 거짓이라고 가정하자. 즉 적당한 게이지 \(\delta\)에 대해 \([a,\,b]\)의 \(\delta\)-세분 분할이 존재하지 않는다고 가정하자. \([a,\,b]\)를 이등분하여 \[ \left[a,\,\frac{a+b}2\right],\quad \left[\frac{a+b}2,\,b\right] \] 로 나누면, 두 조각 모두 \(\delta\)-세분 분할을 가질 수는 없다. (둘 다 가진다면 그 둘을 합쳐 \([a,\,b]\)의 \(\delta\)-세분 분할을 만들 수 있기 때문이다.) 그러므로 적어도 한 조각은 \(\delta\)-세분 분할을 갖지 않는다. 그 조각을 \(I_1\)이라고 하자. 같은 논증을 \(I_1\)에 반복하면 \(\delta\)-세분 분할을 갖지 않는 \(I_1\)의 절반 \(I_2\)를 얻는다. 이 과정을 계속하면 \(\delta\)-세분 분할을 갖지 않는 구간의 감소열 \[ I_0=[a,b]\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots \] 를 얻는데, \(I_n\)의 길이는 \((b-a)/2^n\to0\)이다.
구간들이 닫혀 있고 길이가 \(0\)으로 줄어들므로 \(\bigcap_nI_n=\{x^*\}\)인 점 \(x^*\)가 유일하게 존재한다. \(\delta(x^*) > 0\)이므로, \(n\)이 충분히 크면 \(I_n\)의 길이가 \(\delta(x^*)\)보다 작아진다. \(x^*\in I_n\)이므로 \[ I_n\subseteq\left(x^*-\delta(x^*),\,x^*+\delta(x^*)\right) \] 이다. 그런데 이것은 정확히 한 조각짜리 꼬리표 분할 \(\{(I_n,x^*)\}\)이 \(\delta\)-세분이라는 뜻이므로, \(I_n\)이 \(\delta\)-세분 분할을 갖지 않는다는 가정과 모순된다. 그러므로 처음의 가정이 틀렸고, \([a,\,b]\)는 언제나 \(\delta\)-세분 분할을 갖는다.
헨스톡-쿠르츠바일 적분의 정의
이제 게이지로 리만 합의 수렴을 통제하는 적분을 정의하자. 꼬리표 분할 \(P=\{([x_{k-1},x_k],t_k)\}\)에 대해 리만 합 \[ S(f,P)=\sum_kf(t_k)(x_k-x_{k-1}) \] 은 이전과 똑같이 정의된다.
헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능성의 정의
함수 \(f:[a,b]\to\mathbb R\)에 대해 실수 \(I\)가 존재하여, 임의의 \(\varepsilon > 0\)마다 게이지 \(\delta\)가 존재해서 \([a,\,b]\)의 모든 \(\delta\)-세분 분할 \(P\)가 \[ |S(f,P)-I| < \varepsilon \] 을 만족시키면, “\(f\)는 헨스톡-쿠르츠바일 적분 가능(Henstock-Kurzweil integrable, HK 적분 가능)하다”라고 말하고 \(I=\int_a^bf\)로 나타낸다.
위 정의가 리만이 애초에 제안했던 리만 적분의 정의와 유사하다는 점에 주목할 만하다. 리만의 정의는 ‘분할의 폭이 \(0\)으로 간다’라는 조건 아래에서 임의의 표본점 선택에 대해 리만 합이 수렴한다는 것이었는데, 그 조건이 이제 ‘게이지 \(\delta\)에 대해 \(\delta\)-세분이다’라는 조건으로 바뀐 것뿐이다. 이와 같은 작은 변화가 적분을 훨씬 강력하게 만든다.
HS 적분의 정의에서 \(I\)가 유일함을 확인하자. \(I,\,I'\)이 둘 다 정의를 만족시킨다고 하고 \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어지면, \(|S(f,P)-I| < \varepsilon\)인 \(\delta\)-세분 분할을 보장하는 게이지 \(\delta\)와, \(|S(f,P')-I'| < \varepsilon\)인 \(\delta'\)-세분 분할을 보장하는 게이지 \(\delta'\)이 각각 존재한다. \(\delta''=\min(\delta,\delta')\)로 두면 (점마다 두 값의 최솟값을 취한 것도 게이지다) 쿠쟁의 보조정리에 의하여 \(\delta''\)-세분 분할 \(P''\)이 존재한다. \(\delta''\le\delta,\,\delta'\)이므로 \(P''\)은 \(\delta\)-세분이면서 동시에 \(\delta'\)-세분이다. 그러므로 \[ |I-I'|\le|I-S(f,P'')|+|S(f,P'')-I'| < \varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon \] 이고, \(\varepsilon\)이 임의의 양수이므로 \(I=I'\)이다.
HK 적분의 정의를 사용하여 주어진 함수의 적분 가능성을 확인하려면 적분값 \(I\)를 알아야 하는데, 실제로는 그 값을 모르는 채로 적분 가능성부터 판정하고 싶을 때가 많다. 리만 판정법에 대응하는 코시 판정 조건이 그 역할을 한다.
HK 적분 가능성에 대한 코시 판정 조건
함수 \(f:[a,\,b]\to\mathbb R\)이 HK 적분 가능하기 위한 필요충분조건은, 임의의 \(\varepsilon > 0\)마다 게이지 \(\delta\)가 존재하여 \([a,\,b]\)의 임의의 두 \(\delta\)-세분 분할 \(P,\,P'\)이 \[ |S(f,P)-S(f,P')| < \varepsilon \] 을 만족시키는 것이다.
증명은 다음과 같다. 우선 (⇒) 방향을 살펴보자. \(f\)가 HK 적분 가능하고 그 적분값이 \(I\)라고 하자. \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(|S(f,P)-I| < \varepsilon/2\)인 \(\delta\)-세분 분할을 보장하는 게이지 \(\delta\)를 선택하자. 임의의 두 \(\delta\)-세분 분할 \(P,\,P'\)에 대해 \[ |S(f,P)-S(f,P')|\le|S(f,P)-I|+|I-S(f,P')| < \varepsilon \] 이다.
이제 반대로 (⇐) 방향을 살펴보자. 각 자연수 \(n\)마다, 가정에 의하여 임의의 두 \(\delta_n\)-세분 분할의 리만 합의 차가 \(1/n\)보다 작아지는 게이지 \(\delta_n\)이 존재한다. \(\delta_n\)을 \(\min(\delta_1,\ldots,\delta_n)\)으로 바꾸어도 조건은 그대로 유지되므로 (더 엄격한 게이지에 대한 세분 분할은 원래 게이지에 대해서도 세분이기 때문이다), 처음부터 \(\delta_1\ge\delta_2\ge\cdots\)라고 가정해도 좋다. 쿠쟁의 보조정리를 사용하여 각 \(n\)마다 \(\delta_n\)-세분 분할 \(P_n\)을 선택하면, \(n,\,m\ge N\)일 때 \(P_n,\,P_m\)이 둘 다 \(\delta_N\)-세분이므로 (\(\delta_n,\,\delta_m\le\delta_N\)이기 때문이다) \(|S(f,P_n)-S(f,P_m)| < 1/N\)이다. 즉 \(\{S(f,P_n)\}\)은 코시열이므로, \(\mathbb R\)의 완비성에 의하여 적당한 \(I\)로 수렴한다.
이제 이 \(I\)가 정의의 조건을 만족시킴을 보이자. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하고 \[ \frac1N < \frac\varepsilon2,\quad |S(f,P_N)-I| < \frac\varepsilon2 \] 인 \(N\)을 선택하자. 임의의 \(\delta_N\)-세분 분할 \(P\)에 대해 (\(P_N\)도 \(\delta_N\)-세분이므로) \[ |S(f,P)-S(f,P_N)| < \frac1N < \frac\varepsilon2 \] 이고, 따라서 \[ |S(f,P)-I|\le|S(f,P)-S(f,P_N)|+|S(f,P_N)-I| < \frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon \] 이다. 게이지 \(\delta_N\)이 정의의 조건을 만족시키므로 \(f\)는 HK 적분 가능하고, 적분값은 \(I\)이다.
선형성
HK 적분이 ‘적분’이라는 이름에 걸맞으려면 선형성을 갖추어야 한다. 증명은 게이지 두 개를 하나로 결합하는 익숙한 방법을 그대로 사용한다.
HK 적분의 선형성
두 함수 \(f,\,g\)가 \([a,\,b]\)에서 HK 적분 가능하고 \(\alpha,\,\beta\in\mathbb R\)이면, \(\alpha f+\beta g\)도 HK 적분 가능하고 \[ \int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^bf+\beta\int_a^bg \] 이다.
증명은 다음과 같다. \[ I=\int_a^bf,\quad J=\int_a^bg \] 라고 나타내자. \(\alpha=\beta=0\)인 경우는 자명하므로 \(|\alpha|+|\beta| > 0\)이라고 하자. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어지면, \[ |S(f,P)-I| < \frac{\varepsilon}{2(|\alpha|+|\beta|)} \] 인 \(\delta_f\)-세분 분할을 보장하는 게이지 \(\delta_f\)와, 같은 방식으로 \(g\)에 대한 게이지 \(\delta_g\)를 선택하자. \(\delta=\min(\delta_f,\delta_g)\)로 두면, 임의의 \(\delta\)-세분 분할 \(P\)는 \(\delta_f\)-세분이면서 동시에 \(\delta_g\)-세분이다.
같은 꼬리표 분할 \(P\)에 대해 리만 합은 그 정의로부터 바로 선형이다. \[ S(\alpha f+\beta g,P)=\sum_k(\alpha f+\beta g)(t_k)(x_k-x_{k-1})=\alpha S(f,P)+\beta S(g,P) \] 이기 때문이다. 그러므로 \[\begin{aligned} \left|S(\alpha f+\beta g,P)-(\alpha I+\beta J)\right| &\le |\alpha|\,|S(f,P)-I|+|\beta|\,|S(g,P)-J| \\[4pt] &< |\alpha|\cdot\frac{\varepsilon}{2(|\alpha|+|\beta|)}+|\beta|\cdot\frac{\varepsilon}{2(|\alpha|+|\beta|)} \\[4pt] &= \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon \end{aligned}\] 이다. 이것이 임의의 \(\delta\)-세분 분할 \(P\)에서 성립하므로, \(\alpha f+\beta g\)는 \(\alpha I+\beta J\)로 HK 적분 가능하다.
스트래들 보조정리와 완전한 미적분학 기본정리
이제 이 글의 핵심 내용을 살펴보자. 게이지라는 도구가 강력한 이유는, 미분 가능성이라는 국소적인 정보를 그 자리에서 곧바로 게이지의 값으로 바꾸어 쓸 수 있기 때문이다. 그것을 증명하기 위해 필요한 것이 다음 보조정리다.
스트래들 보조정리 (straddle lemma)
함수 \(F\)가 점 \(c\)에서 미분 가능하다고 하자. 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(\eta > 0\)이 존재하여, \(u\le c\le v\)이고 \([u,\,v]\subseteq(c-\eta,\,c+\eta)\)를 만족시키는 임의의 \(u,\,v\)에 대해 \[ \left|F(v)-F(u)-F'(c)(v-u)\right|\le\varepsilon(v-u) \] 가 성립한다.
이름의 유래는 \(u\le c\le v\)라는 조건에 있다. 구간 \([u,\,v]\)가 점 \(c\)를 (양 끝점으로라도) 걸터앉듯(straddle) 포함한다는 뜻이다.
증명은 다음과 같다. \(F\)가 \(c\)에서 미분 가능하므로, 미분의 정의에 의하여 적당한 \(\eta > 0\)이 존재하여 \(|x-c| < \eta\)이면 \[ \left|F(x)-F(c)-F'(c)(x-c)\right|\le\frac{\varepsilon}{2}|x-c| \] 이다. 이제 \(u\le c\le v\)이고 \([u,\,v]\subseteq(c-\eta,\,c+\eta)\)라고 하자. 항등식 \[\begin{aligned} F(v) - & F(u)-F'(c)(v-u) \\[6pt] &=\left[F(v)-F(c)-F'(c)(v-c)\right]-\left[F(u)-F(c)-F'(c)(u-c)\right] \end{aligned}\] 를 확인할 수 있다. (우변을 전개하면 \(F(c)\)와 \(F'(c)c\) 항이 모두 상쇄되어 좌변과 정확히 같아진다.) 삼각부등식과 위의 미분 가능성 부등식(\(x=v\)와 \(x=u\)에 각각 적용)을 사용하면 \[\begin{aligned} \left|F(v)-F(u)-F'(c)(v-u)\right| &\le \frac{\varepsilon}{2}|v-c|+\frac{\varepsilon}{2}|u-c| \\[4pt] &= \frac{\varepsilon}{2}(v-c)+\frac{\varepsilon}{2}(c-u) \\[4pt] &= \frac{\varepsilon}{2}(v-u)\le\varepsilon(v-u) \end{aligned}\] 를 얻는다. (\(v\ge c\ge u\)이므로 절댓값을 그대로 풀었다.)
스트래들 보조정리가 하는 일은 다음과 같다. 미분 가능성은 원래 점 \(c\) 하나에 국한된 정보(그 점에서의 극한)인데, 이 보조정리는 그 정보를 \(c\) 주변의 폭이 \(\eta(c)\)인 구간 전체에 대한 부등식으로 바꾸어 준다. 그리고 이 \(\eta(c)\)는 \(c\)마다 정해지는 양수 함수, 즉 게이지 그 자체다. 이제 이 게이지를 직접 사용하여 완전한 미적분학 기본정리를 증명하자.
완전한 미적분학의 기본정리
함수 \(F:[a,\,b]\to\mathbb R\)가 \([a,\,b]\)의 모든 점에서 미분 가능하면, \(F'\)은 \([a,\,b]\)에서 HK 적분 가능하고 \[ \int_a^bF'=F(b)-F(a) \] 이다.
증명은 다음과 같다. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \([a,\,b]\)의 각 점 \(c\)에서 \(F\)가 미분 가능하므로, 스트래들 보조정리를 \(\varepsilon/(b-a)\)에 대해 적용하면, 각 \(c\)마다 적당한 \(\eta(c) > 0\)이 존재하여 \(u\le c\le v\)이고 \([u,\,v]\subseteq(c-\eta(c),\,c+\eta(c))\)이면 \[ \left|F(v)-F(u)-F'(c)(v-u)\right|\le\frac{\varepsilon}{b-a}(v-u) \] 이다. \(\delta(c):=\eta(c)\)로 두면, \(\delta\)는 \([a,\,b]\) 위의 게이지다.
이제 \(P=\{([x_{k-1},x_k],t_k)\}_{k=1}^n\)을 임의의 \(\delta\)-세분 분할이라고 하자. \(\delta\)-세분의 정의에 의하여 \[ [x_{k-1},x_k]\subseteq\left(t_k-\delta(t_k),\,t_k+\delta(t_k)\right) \] 이고, \(t_k\in[x_{k-1},\,x_k]\)이므로 \(x_{k-1}\le t_k\le x_k\)이다. 즉 각 소구간마다 \(u=x_{k-1}\), \(v=x_k\), \(c=t_k\)로 스트래들 보조정리의 조건이 정확히 성립하여 \[ \left|F(x_k)-F(x_{k-1})-F'(t_k)(x_k-x_{k-1})\right|\le\frac{\varepsilon}{b-a}(x_k-x_{k-1}) \] 을 얻는다. 이 부등식을 \(k=1,\,\ldots,\,n\)에 대해 더하고 삼각부등식을 사용하면 \[\begin{aligned} \left|\sum_{k=1}^n\left[F(x_k)-F(x_{k-1})\right]-\sum_{k=1}^nF'(t_k)(x_k-x_{k-1})\right| &\le \sum_{k=1}^n\frac{\varepsilon}{b-a}(x_k-x_{k-1}) \\[4pt] &= \frac{\varepsilon}{b-a}(b-a)=\varepsilon \end{aligned}\] 이다. 그런데 왼쪽 합에서 첫째 항은 인접한 항끼리 상쇄되어 \(F(b)-F(a)\)이고, 둘째 항은 정확히 리만 합 \(S(F',P)\)이다. 그러므로 \[ \left|F(b)-F(a)-S(F',P)\right|\le\varepsilon \] 을 얻는다. 이 부등식은 게이지 \(\delta\)에 대한 임의의 \(\delta\)-세분 분할 \(P\)에서 성립하므로, 이것이 정확히 \(F'\)이 \(F(b)-F(a)\)로 HK 적분 가능하다는 정의의 조건이다.
증명의 구조를 다시 살펴보자. 다른 적분론이었다면 “\(F'\)이 적분 가능한가”라는 질문과 “그 적분값이 \(F(b)-F(a)\)인가”라는 질문을 따로 다루어야 했다. 여기서는 스트래들 보조정리를 사용하여 \(\eta(c)\)를 곧바로 게이지로 채택하는 것만으로 두 질문이 동시에 해결된다. \(F'\)이 심하게 진동하거나 유계가 아니더라도 (이 글 서두에서 살펴본 \(x^2\sin(1/x^2)\)의 도함수처럼), \(F\)가 미분 가능하다는 사실 하나가 게이지를 통해 그 진동을 상쇄시키는 방식으로 리만 합을 통제한다.
르베그 적분과의 관계
측도를 전혀 사용하지 않고 정의한 이 적분이, 측도론 전체를 동원하여 구성한 르베그 적분과 어떤 관계에 있는지 확인할 차례다.
르베그 적분과 HK 적분의 관계
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 (르베그 측도에 대해) 르베그 적분 가능하면, \(f\)는 HK 적분 가능하고 두 적분값은 같다.
완전한 증명은 상당한 지면을 요구하므로, 핵심 착상만 살펴보자. \(f\ge0\)인 경우로 충분하다. (일반적인 경우는 \(f^+,\,f^-\)로 쪼개고 앞 절의 선형성을 사용하면 된다.) \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 치역을 \[ E_n=\{x:n\le f(x) < n+1\}\quad(n=0,\,1,\,2,\,\ldots) \] 로 층층이 쪼개면, \(\sum_nn\cdot m(E_n)\)이 \(\int_a^bf\,dm\)에 가까운 값을 가진다는 것이 단순함수 근사 정리였다. 각 \(E_n\)은 가측집합이므로, 외측도의 정의(가산 개의 열린구간으로 덮어 하한을 취하는 정의)에 의하여 \(E_n\)을 살짝 웃도는 열린집합 \(U_n\supseteq E_n\)을 \[ m(U_n) < m(E_n)+\frac{\varepsilon}{2^n(n+1)} \] 이 되도록 선택할 수 있다.
이제 게이지를 다음과 같이 구성한다. \(x\in E_n\)인 점에서는, \(U_n\)이 열린집합이고 \(x\)를 포함하므로 \(x\) 중심의 작은 구간이 \(U_n\) 안에 완전히 들어가도록 \(\delta(x)\)를 충분히 작게 선택한다. \(\delta\)-세분 분할을 잡으면, 꼬리표가 \(E_n\)에 속하는 소구간은 전부 \(U_n\) 안에 갇히고, 그 소구간들은 서로 겹치지 않으므로 길이의 합이 \(m(U_n)\)을 넘지 않는다. 그 소구간이 리만 합에 영향을 미치는 값은 많아야 \((n+1)\)(꼬리표에서 \(f\)의 값의 상한)에 그 길이의 합을 곱한 것이므로 \[ (n+1)\left(m(E_n)+\frac{\varepsilon}{2^n(n+1)}\right) \] 을 넘지 않는다. 이 값을 모든 층 \(n\)에 대해 더하면, 리만 합 전체가 \(\sum_n(n+1)m(E_n)\) 근방에 존재하며(이 값은 \(\int f\,dm\)과 \(m([a,b])\) 정도의 차이 안에 있다), 오차는 \(\sum_n\varepsilon/2^n=\varepsilon\)을 넘지 않는다. [엄밀한 증명은 이 스케치의 각 단계, 특히 \((n+1)\)을 사용하여 상계를 잡는 부분과 층을 합산할 때 발생하는 \(o(1)\) 오차를 세심하게 다루어야 한다. 여기서는 게이지가 르베그 외측도의 정의(열린구간으로 덮어 초과분을 임의로 작게 만드는 정의)를 그대로 흉내낸다는 발상만 살펴보았다.] \(\varepsilon\)이 임의로 작을 수 있으므로, 이 발상을 정밀하게 다듬으면 \(f\)가 HK 적분 가능하고 그 값이 \(\int_a^bf\,dm\)이라는 결론에 이른다.
다음 정리는 HK 적분이 르베그 적분보다 실제로 더 넓은 범위의 함수를 적분할 수 있음을 설명한다.
절대적분 가능성과 르베그 적분
함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 르베그 적분 가능하기 위한 필요충분조건은, \(f\)와 \(|f|\)가 둘 다 HK 적분 가능한 것이다.
이 글에서는 이 정리도 증명 없이 받아들이도록 하자. [이 정리는 HK 적분을 ‘절댓값을 취해도 적분 가능해야 하는’ 절대적분(absolute integral)과 ‘절댓값 없이도 상쇄를 통해 적분 가능할 수 있는’ 비절대적분(non-absolute integral)으로 가르는 경계선이다. 르베그 적분(그리고 리만 적분)은 전자에 속하고, HK 적분은 후자를 포함하는 더 넓은 이론이다.] 이 정리가 알려 주는 바는 명확하다. HK 적분 가능하지만 절댓값은 HK 적분 가능하지 않은 함수가 있다면, 그 함수는 르베그 적분 가능할 수 없다. 그런 함수가 실제로 존재한다는 것을 이 글 서두의 예로 확인하였다. 즉 \(x\ne 0\)일 때 \[ F(x)=x^2\sin(1/x^2) \] 이고, \(F(0)=0\)으로 두면, \(F\)는 \([0,\,1]\)의 모든 점에서 미분 가능하므로 완전한 미적분학 기본정리에 의하여 \(F'\)은 HK 적분 가능하다. (적분값은 \(F(1)-F(0)=\sin 1\)이다.) 그런데 이 글 서두에서 이미 확인했듯이 \(\int_0^1|F'|\,dm=\infty\)이므로 \(F'\)은 르베그 적분 가능하지 않고, 방금 본 정리의 대우에 의하여 \(|F'|\)도 HK 적분 가능하지 않다. \(F'\)은 HK 적분 가능하지만 \(|F'|\)은 그렇지 않은, 즉 HK 적분이 르베그 적분보다 진짜로 넓다는 것을 보여 주는 구체적인 예다.
측도 없이 얻은 것과 남은 한계
이 글에서는 측도론 없이 적분을 정의하였다. 게이지라는 도구 하나로, 리만 합의 형태를 거의 그대로 유지하면서 르베그 적분보다 넓은 이론을 구성하였다. 쿠쟁의 보조정리를 사용하여 게이지가 항상 세분 분할을 가진다는 것을 확인하고, 코시 판정 조건을 사용하여 실용적인 적분 가능성 판정법을 얻었으며, 선형성을 증명하였다. 그리고 스트래들 보조정리를 사용하여 미분 가능하기만 하면 도함수가 항상 HK 적분 가능하고 그 적분이 정확히 원시함수가 된다는 완전한 미적분학 기본정리를 얻었다. 마지막으로 르베그 적분 가능한 함수는 모두 HK 적분 가능하되 그 역은 성립하지 않는다는 사실을 구체적인 예를 통해 확인하였다.
카라테오도리의 외측도 구성, 르베그 적분과 관련된 수렴정리, 라돈-니코딤 정리처럼 앞서 공들여 쌓은 개념 없이도, 리만이 애초에 던졌던 ‘쪼개서 더한다’라는 발상을 조금 수정하는 것만으로 르베그 적분보다 넓은 적분에 이르렀다는 점이 주목할 만하다. 그런데 이 접근에는 한계도 있다. HK 적분은 실직선 위의 함수 하나를 다룰 때는 유용하지만, 곱측도나 확률론에서처럼 여러 변수를 동시에 다루거나 두 적분을 곱하고 순서를 바꾸는 상황에서는 게이지의 기하학적 구성이 훨씬 복잡해져 측도론적 접근을 따라가기 어렵다. [다차원 게이지 적분 이론(예를 들어 헨스톡의 구간 함수를 이용한 구성)이 존재하기는 하지만, 곱측도처럼 두 이론을 깔끔하게 결합하는 일반적인 틀은 측도론 쪽이 여전히 유리하다.] 도구마다 잘 맞는 상황이 다른 셈이다.
지금까지 살펴본 리만 적분, 르베그 적분, HK 적분은 저마다 ‘쪼개서 더하고 극한을 취한다’라는 구성적인 절차로 정의되었다. 그런데 적분이라는 개념을 아예 다른 방식으로, 즉 구성이 아니라 몇 개의 공리로 정의할 수는 없을까? 어떤 성질을 만족시키는 선형범함수라면 무엇이든 ‘적분’이라고 부를 수 있지 않을까? 이 질문의 답을 다음 글(다니엘 적분)에서 살펴보자.
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