ROSÉ

이전 글에서 살펴본 바나흐의 축소 사상 원리는 함수가 “거리를 줄인다”라는 강력한 조건 아래에서 해의 존재성과 유일성을 모두 보장했다. 그러나 실제 문제 상황에서는 함수가 단순히 연속이기만 하거나, 거리를 줄이지 않는 경우도 많다. 브라우어의 부동점 정리(Brouwer fixed point theorem)는 유한차원 공간에서 “공간의 형태(위상적 성질)”만으로 부동점의 존재를 보장하는 정리이다. 비록 해를 찾는 방법(알고리즘)이나 …

수학에서 많은 문제는 방정식 \(f(x) = y\)의 해 \(x\)를 찾는 문제로 귀결된다. 이 방정식을 \(x = T(x)\)의 형태로 변형하여 생각하면, 해를 찾는 문제는 연산자 \(T\)에 의해 변하지 않는 점, 즉 부동점(fixed point)을 찾는 문제가 된다. 부동점 이론은 이러한 관점에서 방정식의 해의 존재성을 다루는 비선형 함수해석학의 관심 분야이다. 그 중에서도 바나흐 …

이전 글에서 바나흐 공간에서의 미분을 정의하였다. 유한차원 미적분학에서 함수 \(f\)가 \(x\)에서 극값을 가질 필요조건이 \(f'(x) = 0\)인 것처럼, 무한차원 공간에서도 범함수 \(J\)가 \(y\)에서 극값을 가질 필요조건은 \(J'(y) = 0\)이다. 변분법(calculus of variations)은 이러한 원리를 바탕으로, 적분 형태로 표현된 범함수의 최솟값이나 최댓값을 찾는 수학 분야이다. 이 글에서는 변분법의 가장 기본이 되는 …

지난 글에서 우리는 바나흐 공간에서의 미분(프레셰 미분)을 정의하고, 이를 통해 비선형 함수를 국소적으로 선형 함수로 근사하는 방법을 살펴보았다. 이 글에서는 비선형 방정식의 해의 존재성과 유일성을 다루는 두 가지 중요한 정리인 역함수 정리(Inverse Function Theorem)와 음함수 정리(Implicit Function Theorem)를 증명할 것이다. 이 글에서 \(X,\, Y,\, Z\)는 바나흐 공간을 나타내며, \(U\)는 \(X\)의 …

일변수 미적분학에서 함수의 도함수 \(f’\)가 다시 미분가능하면 이계도함수 \(f”\)을 정의할 수 있다. 이와 마찬가지로, 바나흐 공간 사이의 함수 \(F : X \rightarrow Y\)에 대해서도 프레셰 도함수 \(F’ : X \rightarrow B(X, Y)\)가 다시 미분가능하다면 이계도함수를 정의할 수 있다. 이 글에서는 고계도함수의 정의를 살펴보고, 이것을 바탕으로 무한차원 공간에서의 테일러 정리(Taylor’s Theorem)를 …

지금까지 우리는 선형연산자 \(T : X \rightarrow Y\)를 주로 다루었다. 선형연산자는 공간의 구조를 보존하는 가장 기본적인 도구이다. 그러나 자연계의 많은 현상은 비선형 방정식으로 기술된다. 비선형 함수해석학(nonlinear functional analysis)은 이러한 비선형 문제를 해결하기 위한 방법을 연구한다. 미분적분학에서 곡선을 접선으로 근사하듯이, 무한차원 공간에서도 비선형 함수 \(F : X \rightarrow Y\)를 국소적으로(locally) 선형연산자로 …

연속형 자료를 일정한 폭으로 구간화하여 도수를 집계하고, 각 구간의 계급값(구간의 중앙값)을 대푯값으로 삼아 평균과 분산을 계산하는 방법은 도수분포표를 사용하여 평균과 분산을 구하는 잘 알려진 방법이다. 그러나 자료가 평균 부근에 집중되는 경우(예를 들어 정규분포) 구간의 가장자리에서는 조건부 평균(계급에 속한 자료의 평균)이 계급값보다 전체 평균 쪽으로 치우치게 되고, 이로 인해 분산이 과대추정된다. …

An Attempt (and Failure) at Defining Fractional Calculus via Matrix Fractional Powers. Fractional calculus, traditionally defined via analytic methods such as the Riemann–Liouville and Caputo definitions, extends the concept of differentiation and integration beyond integer orders to arbitrary real orders: \[ D^\alpha f(x) = \frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{d^n}{dx^n}\int_0^x (x-t)^{n-\alpha-1}f(t)\,dt,\quad (n=\lfloor\alpha\rfloor+1). \] Given this …

카테고리 이론은 수학적 대상 자체가 아닌 ‘관계’와 ‘변환’을 다루는 수학의 분야이다. 1945년 아일렌베르그(Samuel Eilenberg)와 맥레인(Saunders Mac Lane)이 대수적 위상수학의 문제를 해결하기 위해 카테고리 이론을 도입하였다. 오늘날 카테고리 개념은 수학의 여러 분야를 통합하는 언어가 되었다. 전통적인 집합론이 원소의 모임에 관심을 가지는 것과는 달리, 카테고리 이론은 대상 사이의 관계에 초점을 맞춘다. 이것은 …

“함수해석학 맛보기”는 제가 함수해석학을 공부하면서 정리한 글입니다. 학부 수준에서 볼 만한 내용을 다루고 있습니다. 단순한 개념 요약이 아니라 핵심 내용을 체계적으로 정리하고자 노력했으며, 선형대수학 지식을 바탕으로 직관적으로 이해하는 데 초점을 맞추어 작성했습니다. 총 44편의 글로 이루어져 있으며, 주로 선형대수학과 미적분학에서 다루었던 개념을 차원이 무한인 경우로 확장한 내용을 정리하였습니다. 함수해석학을 공부하기 …

이 글에서는 복소힐베르트 공간에서 정의된 자기수반 컴팩트 연산자의 스펙트럼을 살펴보자. 자기수반 컴팩트 연산자의 경우 일반적인 컴팩트 연산자보다 스펙트럼에 관련된 더 좋은 결론을 끌어낼 수 있다. 왜냐하면 자기수반이라는 조건이 추가되었을 때 그 연산자에 대한 불변공간을 다룰 수 있기 때문이다. 정의 1. (불변부분공간) \(X\)가 벡터공간이고 \(S \in L(X)\)라고 하자. 부분벡터공간 \(W \subset …

유한차원 힐베르트공간에서 선형연산자 \(T\)의 스펙트럼 \(\sigma(T)\)는 대수적 중복도를 포함하여 유한 개의 고윳값으로 이루어져 있다. 무한차원 힐베르트공간에서 정의된 선형연산자의 스펙트럼은 그 형태가 매우 다를 수 있다. 그러나 컴팩트연산자의 스펙트럼은 유한차원 선형대수학에서 나타나는 성질과 유사한 구조를 가진다. 즉 무한차원 힐베르트공간에서 정의된 컴팩트연산자 \(T\)의 스펙트럼 \(\sigma(T)\)는 중복도가 유한인 \(0\)이 아닌 고윳값들로 이루어지며, 이러한 …