적분론 5부: \(L^p\) 공간과 푸비니-토넬리 정리

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지금까지는 함수를 하나씩 놓고 적분 가능한지, 극한과 적분을 바꿀 수 있는지를 실펴보았다. 이 글에서는 초점을 바꾼다. 적분 가능한 함수를 전부 모으면 그 모임 자체가 하나의 공간이 되는데, 이 공간의 구조를 살펴보는 것이 이 글의 목표다.

집합 \(E\) 위에서 르베그 적분 가능한 함수 전체의 모임 \(L^1(E)\)는 적분의 선형성 덕분에 벡터공간을 이룬다. 두 함수를 더하고 상수를 곱하는 연산이 자연스럽게 정의되기 때문이다. 그런데 벡터공간이라는 사실만으로는 부족하다. 크기를 재고 거리를 재는 도구, 즉 노름(norm)이 있어야 이 공간 위에서 극한이라는 개념을 논의할 수 있다. 함수의 수열이 어떤 함수로 ‘수렴한다’라는 말이 무엇을 의미하는지, 그리고 코시열이 실제로 수렴하는지(완비성)를 묻는 것이 이 글의 핵심이다.

완비성은 특히 중요하게 다룰 성질이다. 지금부터 증명할 \(L^2\)의 완비성은 뒤에서 라돈-니코딤 정리를 증명할 때와 확률적분을 구성할 때 다시 사용된다.

L^p 공간과 노름

가측집합 \(E\subseteq\mathbb R\)을 하나 생각하고, 측도공간 \((E,\,\mathcal M,\,m)\)을 고정시키자. 그리고 \(1\le p < \infty\)인 실수 \(p\)가 주어졌다고 하자. \(E\) 위의 가측함수 중에서 \[ \int_E|f|^p\,dm < \infty \] 를 만족시키는 함수 \(f\)를 모두 모은 집합을 \(L^p(E)\)로 나타낸다. \(f\in L^p(E)\)에 대해 \[ \|f\|_p=\left(\int_E|f|^p\,dm\right)^{1/p} \] 을 \(f\)의 \(L^p\) 노름(L^p norm)이라고 부른다. \(p=\infty\)인 경우는 따로 정의한다. 함수 \(f\)에 대해 적당한 \(M\)이 존재하여 \(|f|\le M \text{ a.e.}\)이 성립하면, “\(f\)는 \(E\) 위에서 본질적으로 유계(essentially bounded)이다”라고 말한다. (여기서 \(\text{a.e.}\)는 \(E\)를 기준으로 한다.) 이러한 함수 전체의 모임을 \(L^\infty(E)\)로 나타내고 \[ \|f\|_\infty=\inf\{M\ge0:|f|\le M\text{ a.e.}\} \] 로 정의한다. 이 값을 \(E\)에서 \(f\)의 본질적 상한(essential supremum)이라고 부른다.

노름이라는 이름을 쓰려면 \(\|f\|_p=0\)일 때 \(f=0\)이 성립해야 한다. 그러나 실제로는 \(\|f\|_p=0\)은 \(f=0\)이 아니라 \(f=0 \text{ a.e.}\)를 의미할 뿐이다. 그러므로 엄밀히 말하면 \(L^p(E)\)의 원소는 함수 하나가 아니라, 거의 어디서나 일치하는 함수들의 동치류다. 이 글에서는 관례를 따라 동치류 대신 그 대표원인 함수 하나를 다루되, “\(f=g\)”라는 표현은 항상 “\(f=g \text{ a.e.}\)”의 줄임말로 읽는다. [이 동치관계를 명시적으로 다루지 않으면 노름의 정의 자체가 무너진다. \(f\neq g\)이지만 \(f=g\)가 거의 어디서나 성립하는 두 함수는 \(\|f-g\|_p=0\)인데, 만약 \(L^p(E)\)의 원소가 함수 그 자체라면 서로 다른 두 원소의 거리가 \(0\)이 되어 노름의 조건을 만족시키지 못하게 된다.]

자주 사용할 지수 하나를 미리 정의해 두자. \(1 < p < \infty\)에 대해 \[ \frac1p+\frac1{p'}=1 \] 을 만족시키는 \(p'\)을 \(p\)의 켤레지수(conjugate exponent)라고 부른다. (즉 \(p'=p/(p-1)\)이다.) \(p=1\)의 켤레지수는 \(\infty\)로, \(p=\infty\)의 켤레지수는 \(1\)로 약속한다.

횔더 부등식

두 함수의 곱을 적분할 때, 각 함수의 노름을 사용하여 상계를 정할 수 있다. 이것을 증명하기 위해서는 다음 부등식이 필요하다.

증명은 다음과 같다. \(a=0\) 또는 \(b=0\)이면 부등식이 자명하게 성립하므로, \(a,\,b > 0\)이라고 하자. 로그함수는 오목함수이므로, 임의의 \(x,\,y > 0\)과 \(\lambda\in[0,\,1]\)에 대해 \[ \ln\left(\lambda x+(1-\lambda)y\right)\ge\lambda\ln x+(1-\lambda)\ln y \] 가 성립한다. (옌센 부등식이다.) \(\lambda=1/p\), \(x=a^p\), \(y=b^{p'}\)로 두면 \(1-\lambda=1/p'\)이므로 \[ \ln\left(\frac{a^p}{p}+\frac{b^{p'}}{p'}\right)\ge\frac1p\ln(a^p)+\frac1{p'}\ln(b^{p'})=\ln a+\ln b=\ln(ab) \] 이다. 로그함수는 증가함수이므로 양변에 지수함수를 취하여도 부등호의 방향이 유지되므로 \[ \frac{a^p}{p}+\frac{b^{p'}}{p'}\ge ab \] 를 얻는다.

증명은 다음과 같다. \(p=1,\) \(p'=\infty\)인 경우부터 살펴보자. \(|g|\le\|g\|_\infty \text{ a.e.}\)이므로, 순서보존성에 의하여 \[ \int_E|fg|\,dm\le\|g\|_\infty\int_E|f|\,dm=\|f\|_1\|g\|_\infty \] 이다. \(p=\infty\)인 경우도 \(f,\,g\)의 역할을 바꾸면 같은 방식으로 확인된다.

이제 \(1 < p < \infty\)인 경우를 살펴보자. \(\|f\|_p=0\)이면 \(f=0 \text{ a.e.}\)이므로 \(fg=0 \text{ a.e.}\)이며, 양변이 \(0\)으로 같다. \(\|g\|_{p'}=0\)인 경우도 마찬가지이다. 그러므로 \(\|f\|_p,\,\|g\|_{p'} > 0\)인 경우만 살펴보면 충분하다. [둘 다 유한하다는 사실은 \(f\in L^p(E)\), \(g\in L^{p'}(E)\)라는 가정에서 이미 보장된다.]

\[ a(x)=\frac{|f(x)|}{\|f\|_p},\quad b(x)=\frac{|g(x)|}{\|g\|_{p'}} \] 로 두고, 각 점 \(x\)에서 영 부등식을 적용하면 \[ a(x)b(x)\le\frac{a(x)^p}{p}+\frac{b(x)^{p'}}{p'} \] 이다. 순서보존성과 선형성에 의하여 양변을 \(E\) 위에서 적분하면 \[\begin{aligned} \int_Ea(x)b(x)\,dm &\le \frac1p\int_Ea(x)^p\,dm+\frac1{p'}\int_Eb(x)^{p'}\,dm \\[4pt] &= \frac1p\cdot\frac{\|f\|_p^p}{\|f\|_p^p}+\frac1{p'}\cdot\frac{\|g\|_{p'}^{p'}}{\|g\|_{p'}^{p'}} \\[4pt] &= \frac1p+\frac1{p'}=1 \end{aligned}\] 을 얻는다. 그런데 \[ \int_Ea(x)b(x)\,dm=\frac1{\|f\|_p\|g\|_{p'}}\int_E|fg|\,dm \] 이므로, 양변에 \(\|f\|_p\|g\|_{p'}\)을 곱하면 \[ \int_E|fg|\,dm\le\|f\|_p\|g\|_{p'} \] 을 얻는다. [이 부등식은 오토 횔더가 1889년 논문 “평균값 정리에 관하여”(Über einen Mittelwerthsatz)에서 소개했다. 실은 레너드 제임스 로저스가 1888년에 같은 부등식을 급수의 형태로 먼저 증명했고 횔더도 그 사실을 알고 있었지만, 관례상 횔더의 이름으로 굳어졌다. \(p=p'=2\)인 특수한 경우는 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)이라는 이름으로 더 잘 알려져 있으며, 뒤에서 \(L^2\)의 내적을 다룰 때 바로 이 형태로 다시 쓰인다.]

민코프스키 부등식

\(L^p(E)\)가 노름공간이 되려면 삼각부등식이 필요하다. 즉 두 함수의 합의 노름이 각 노름의 합을 넘지 않아야 한다. 이것이 이 절에서 증명할 정리이다.

증명에 앞서 \(f+g\in L^p(E)\)임을 확인하자. \(|f+g|\le|f|+|g|\le2\max(|f|,\,|g|)\)이므로 \[ |f+g|^p\le2^p\max(|f|,|g|)^p\le2^p\left(|f|^p+|g|^p\right) \] 이다. 양변을 각각 적분하면 \[ \int|f+g|^p\,dm\le2^p\left(\int|f|^p\,dm+\int|g|^p\,dm\right) < \infty \] 이므로 \(f+g\in L^p(E)\)이다. \(p=\infty\)인 경우는, \[|f+g|\le|f|+|g|\le\|f\|_\infty+\|g\|_\infty \text{ a.e.}\]이므로 \(\|f+g\|_\infty\le\|f\|_\infty+\|g\|_\infty\)가 곧바로 나온다. \(p=1\)인 경우도 삼각부등식 \(|f+g|\le|f|+|g|\)를 그대로 적분하면 된다.

이제 \(1 < p < \infty\)인 경우를 살펴보자. \(\|f+g\|_p=0\)이면 부등식이 자명하게 성립하므로 \(\|f+g\|_p > 0\)이라고 하자. [위에서 확인했듯이 유한하기도 하다.] \(p'\)을 \(p\)의 켤레지수라고 하면 \[\begin{aligned} \|f+g\|_p^p &= \int_E|f+g|^p\,dm=\int_E|f+g|\cdot|f+g|^{p-1}\,dm \\[4pt] &\le \int_E(|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,dm \\[4pt] &= \int_E|f|\,|f+g|^{p-1}\,dm+\int_E|g|\,|f+g|^{p-1}\,dm \end{aligned}\] 이다. 오른쪽의 두 항에 각각 횔더 부등식을 지수 \(p,\,p'\)으로 적용하면 \[ \int_E|f|\,|f+g|^{p-1}\,dm\le\|f\|_p\left(\int_E|f+g|^{(p-1)p'}\,dm\right)^{1/p'} \] 인데, \((p-1)p'=p\)이므로 (\(1/p+1/p'=1\)에서 \(p'=p/(p-1)\)이 나오고, 이를 정리하면 \((p-1)p'=p\)이다) 우변은 \(\|f\|_p\|f+g\|_p^{p/p'}\)이다. 같은 방식으로 \[ \int_E|g|\,|f+g|^{p-1}\,dm\le\|g\|_p\|f+g\|_p^{p/p'} \] 이다. 두 부등식을 변마다 더하면 \[ \|f+g\|_p^p\le\left(\|f\|_p+\|g\|_p\right)\|f+g\|_p^{p/p'} \] 를 얻는다. \(0 < \|f+g\|_p < \infty\)이므로 양변을 \(\|f+g\|_p^{p/p'}\)으로 나눌 수 있고 \[ \|f+g\|_p^{p-p/p'}\le\|f\|_p+\|g\|_p \] 이다. \(1/p+1/p'=1\)로부터 \(1-1/p'=1/p\)이므로 \[ p-\frac{p}{p'}=p\left(1-\frac1{p'}\right)=p\cdot\frac1p=1 \] 이고, 따라서 \[ \|f+g\|_p\le\|f\|_p+\|g\|_p \] 이다. [헤르만 민코프스키가 볼록체와 노름의 기하학을 연구하는 과정에서 이 부등식을 도입했다. 그의 1896년 저서 “수의 기하학”(Geometrie der Zahlen)에서 다룬 볼록체의 이론이 이 부등식의 배경이다. 이 부등식은 \(L^p\) 노름이 실제로 노름의 공리, 특히 삼각부등식을 만족시킨다는 사실을 보장하는 명제이므로, 이름은 부등식이지만 \(L^p(E)\)가 노름공간이라는 사실을 증명하는 역할을 한다고 볼 수 있다.] 이 부등식을 반복하여 적용하면 \(3\)개 이상인 유한 개의 함수에 대해서도 \[ \|f_1+\cdots+f_n\|_p\le\|f_1\|_p+\cdots+\|f_n\|_p \] 를 얻는다.

민코프스키 부등식에 의하여 \(L^p(E)\)는 노름공간이 된다. 노름의 세 공리, 즉 \(\|f\|_p\ge0\)이고 \(\|f\|_p=0\)이기 위한 필요충분조건이 \(f=0\)이라는 것(동치류로 다룬다는 전제 아래), \(\|cf\|_p=|c|\|f\|_p\)라는 것, 그리고 삼각부등식이 전부 확인되었다. 노름이 있으면 거리 \(d(f,g)=\|f-g\|_p\)가 자연스럽게 정의되고, 그 거리 위에서 수렴과 코시열을 논의할 수 있다. 다음 절에서 답할 질문은 이것이다. \(L^p(E)\)의 코시열은 항상 이 공간 안의 어떤 함수로 수렴하는가?

리스-피셔 정리

이 절의 정리는 \(L^p (E)\)가 완비임을 설명한다. 증명의 핵심은 코시열을 직접 다루는 대신 그로부터 절대수렴하는 급수를 구성한다는 것이다. 급수는 부분합의 극한이므로, 단조수렴 정리를 곧바로 적용할 수 있다.

증명은 다음과 같다. 함수열 \(\{f_n\}\)이 \(L^p(E)\)의 코시열이라고 하자. 코시열의 정의에 의하여, 각 \(k=1,\,2,\,\ldots\)마다 \[ n,\,m\ge N_k\ \Longrightarrow\ \|f_n-f_m\|_p < \frac1{2^k} \] 을 만족시키는 \(N_k\)가 존재한다. \(N_1 < N_2 < \cdots\)가 되도록 선택하여 \(n_k=N_k\)로 두면, 부분수열 \(\{f_{n_k}\}\)는 \[ \|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p < \frac1{2^k} \] 을 만족시킨다.

\[ g_K=|f_{n_1}|+\sum_{k=1}^{K-1}|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}| \] 로 두고 \[ g=|f_{n_1}|+\sum_{k=1}^\infty|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}| \] 로 두자. (\(g\)는 함숫값이 \([0,\,\infty]\)에 있는 점별극한함수이다.) \(g_K\)는 \(K\)에 대해 증가하고 \(g_K\uparrow g\)이다. 민코프스키 부등식을 반복하여 적용하면 \[\begin{aligned} \|g_K\|_p &\le \|f_{n_1}\|_p+\sum_{k=1}^{K-1}\|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p \\[4pt] &< \|f_{n_1}\|_p+\sum_{k=1}^\infty\frac1{2^k} \\[4pt] &= \|f_{n_1}\|_p+1 \end{aligned}\] 이고, 이 상계는 \(K\)와 무관하다. \(g_K^p\uparrow g^p\)이므로 단조수렴 정리에 의하여 \[ \int_Eg^p\,dm=\lim_{K\to\infty}\int_Eg_K^p\,dm=\lim_{K\to\infty}\|g_K\|_p^p\le\left(\|f_{n_1}\|_p+1\right)^p < \infty \] 이다. 그러므로 \(g\in L^p(E)\)이고, 특히 \(g < \infty \text{ a.e.}\)이다.

\(g(x) < \infty\)인 점 \(x\)에서는 급수 \[ f_{n_1}(x)+\sum_{k=1}^\infty\left(f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)\right) \] 가 절대수렴한다. (그 절댓값의 합이 \(g(x) < \infty\)이기 때문이다.) 이 급수의 부분합은 상쇄되어 정확히 \(f_{n_K}(x)\)와 같으므로 [즉 \[f_{n_1}(x)+\sum_{k=1}^{K-1}\left(f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)\right)=f_{n_1}(x)+\left(f_{n_K}(x)-f_{n_1}(x)\right)=f_{n_K}(x)\]이다.], \(g(x) < \infty\)인 (즉 거의 모든) \(x\)에서 \(f_{n_K}(x)\)는 어떤 값으로 수렴한다. 그 극한을 \(f(x)\)로 나타내자. (수렴하지 않는 영집합 위에서는 \(f=0\)으로 정의해도 무방하다.) 즉 \(f_{n_K}\to f \text{ a.e.}\)이다.

이제 \(f\in L^p(E)\)이고 \(\|f_{n_K}-f\|_p\to0\)임을 보이자. 부분합의 절댓값에 대해 \[\begin{aligned} |f_{n_K}(x)| &= \left|f_{n_1}(x)+\sum_{k=1}^{K-1}\left(f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)\right)\right| \\[4pt] &\le |f_{n_1}(x)|+\sum_{k=1}^{K-1}|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)| \\[4pt] &= g_K(x)\le g(x) \end{aligned}\] 가 성립하므로, \(K\to\infty\)인 극한을 취하면 \(|f|\le g \text{ a.e.}\)이다. \(g\in L^p(E)\)이므로 부등식 \(|f|^p\le g^p\)를 적분하면 (순서보존성에 의하여) \(f\in L^p(E)\)를 얻는다. 또한 \(|f_{n_K}-f|^p\to 0 \text{ a.e.}\)이고 \[ |f_{n_K}-f|^p\le\left(|f_{n_K}|+|f|\right)^p\le(2g)^p=2^pg^p \] 이며, \(g\in L^p(E)\)이므로 \(2^pg^p\in L^1(E)\)이다. 그러므로 지배수렴 정리에 의하여 \[ \int_E|f_{n_K}-f|^p\,dm\to0 \] 이다. 즉 \(\|f_{n_K}-f\|_p\to0\)이다. 이것으로 부분수열 \(\{f_{n_K}\}\)가 \(f\)로 수렴함을 보였다.

마지막으로 전체 수열이 \(f\)로 수렴함을 확인하자. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(\{f_n\}\)이 코시열이므로 \[ n,\,m\ge N\ \Longrightarrow\ \|f_n-f_m\|_p < \frac{\varepsilon}{2} \] 을 만족시키는 \(N\)이 존재한다. 부분수열이 \(f\)로 수렴하므로, \(n_K\ge N\)이면서 \(\|f_{n_K}-f\|_p < \varepsilon/2\)인 \(K\)를 선택할 수 있다. 그러면 임의의 \(n\ge N\)에 대해 민코프스키 부등식에 의하여 \[ \|f_n-f\|_p\le\|f_n-f_{n_K}\|_p+\|f_{n_K}-f\|_p < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \] 이다. 즉 \(\|f_n-f\|_p\to0\)이다. 그러므로 \(L^p(E)\)의 임의의 코시열이 \(L^p(E)\)의 원소로 수렴하고, \(L^p(E)\)는 완비하다. [프리제시 리스와 에른스트 피셔가 1907년 각각 독립적으로 증명했다. 두 사람 모두 프랑스 과학원의 콩트 랑뒤(Comptes Rendus)에 짧은 노트로 발표했는데, 리스는 “함수의 직교계에 관하여”(Sur les systèmes orthogonaux de fonctions)에서, 피셔는 “평균수렴에 관하여”(Sur la convergence en moyenne)에서 각각 \(L^2\)의 완비성과 동치인 명제를 다루었다. 원래는 푸리에 급수의 수렴을 연구하는 과정에서 나온 결과였다. 리스는 1910년 논문에서 이 결과를 일반적인 \(L^p\) (\(1 < p < \infty\))로 확장했다.]

L²와 힐베르트 공간 구조

\(p=2\)인 경우는 \(p\ne 2\)인 경우와 다른 특징을 가진다. \(L^p\) 공간이 노름뿐 아니라 내적(inner product)까지 가질 수 있기 때문이다. \(f,\,g\in L^2(E)\)에 대해 \[ \langle f,g\rangle=\int_Efg\,dm \] 으로 정의하자. 이 값이 항상 실수로 존재한다는 사실은 코시-슈바르츠 부등식, 즉 \(p=p'=2\)인 특수한 경우의 횔더 부등식에서 바로 나온다. 즉 \[ |\langle f,g\rangle|\le\int_E|fg|\,dm\le\|f\|_2\|g\|_2 < \infty \] 이다.

\(\langle\cdot,\cdot\rangle\)은 내적이 되기 위한 조건을 모두 만족시킨다. 적분의 선형성에 의하여 \(\langle f,g\rangle\)은 \(f\)와 \(g\) 각각에 대해 선형이고, \(fg=gf\)이므로 \(\langle f,g\rangle=\langle g,f\rangle\)이다. 또한 \(\langle f,f\rangle=\int_Ef^2\,dm\ge0\)이고, \(\langle f,f\rangle=0\)이기 위한 필요충분조건은 \(f^2=0\)이 거의 어디서나 성립하는 것, 즉 \(f=0 \text{ a.e.}\)이다. 이와 같은 내적이 만드는 노름은 원래의 \(L^2\) 노름과 일치한다. 왜냐하면 \[ \sqrt{\langle f,f\rangle}=\sqrt{\int_Ef^2\,dm}=\|f\|_2 \] 이기 때문이다.

내적이 있으면 직교성(orthogonality)을 논할 수 있다. \(\langle f,g\rangle=0\)일 때 “\(f\)와 \(g\)가 직교한다(orthogonal)”라고 말하고 \(f\perp g\)로 나타낸다. 직교하는 두 함수에 대해서는 피타고라스 정리에 대응하는 등식 \[ \|f+g\|_2^2=\langle f+g,f+g\rangle=\langle f,f\rangle+2\langle f,g\rangle+\langle g,g\rangle=\|f\|_2^2+\|g\|_2^2 \] 이 성립한다. (가운데 항이 \(0\)이기 때문이다.)

완비 노름공간을 바나흐 공간이라고 불렀듯이, 내적으로부터 유도되는 노름에 대해 완비인 공간을 힐베르트 공간(Hilbert space)이라고 부른다. 앞에서 \(L^2(E)\)가 완비임을 이미 보였고, 이 공간이 내적을 가짐을 확인했으므로, \(L^2(E)\)는 힐베르트 공간이다. 유클리드 공간의 기하학, 즉 내적과 직교와 피타고라스 정리가 무한차원의 함수공간에서도 그대로 성립하는 셈이다.

\(L^2\)의 완비성은 뒤에서 다시 중요하게 사용된다. 라돈-니코딤 정리를 증명할 때 폰 노이만의 방법은 \(L^2\)의 완비성과 내적의 성질을 사용하며, 확률적분을 구성할 때도 단순과정으로 근사한 뒤 극한을 취하는 마지막 단계에서 확률과정이 이루는 \(L^2\) 공간의 완비성이 다시 사용된다.

곱측도와 푸비니-토넬리 정리

지금까지는 \(\mathbb R\)의 부분집합 위에서 함수를 적분하였다. 그런데 변수가 두 개인 함수 \(f(x,\,y)\)를 평면 \(\mathbb R^2\) 위에서 적분하려면 어떻게 해야 할까? 가장 자연스러운 방법은 \(x\)에 대해 적분한 다음 그 결과를 다시 \(y\)에 대해 적분하는 것, 또는 그 순서를 바꾸어 적분하는 것이다. 그런데 변수의 순서를 바꾸어 적분한 결과가 항상 같은 값을 가질까? 그리고 애초에 ‘평면 위에서의 적분’이라는 것 자체는 어떻게 정의해야 할까?

측도 두 개를 하나로 결합하는 일부터 시작해야 한다. \((\mathbb R,\,\mathcal M,\,m)\)을 두 개 준비하고, \(A,\,B\in\mathcal M\)인 사각형 \(A\times B\)를 전부 포함하는 가장 작은 \(\sigma\)-대수를 \(\mathcal M\otimes\mathcal M\)으로 나타내자. 이 사각형들 위에 \[ (m\times m)(A\times B)=m(A)m(B) \] 로 값을 부여하고, 외측도를 구성할 때와 같은 방식으로 (사각형의 가산 개의 합집합으로 덮어 하한을 취하는 방식으로) 이 값을 \(\mathcal M\otimes\mathcal M\) 전체로 확장하면 곱측도(product measure) \(m\times m\)을 얻는다. [엄밀한 존재성과 유일성의 증명은 이 글의 범위를 벗어나므로 생략한다. 다만 이 구성이 구간의 길이로부터 르베그 외측도를 구성하고 카라테오도리의 조건으로 가측집합을 선택한 절차와 닮아 있다는 점은 짚어 둘 만하다. 유일성을 보장하려면 \(m\)이 \(\sigma\)-유한해야 하는데(즉 유한측도인 가측집합의 가산합집합으로 전체 공간을 덮을 수 있어야 하는데), \(\mathbb R=\bigcup_n[-n,\,n]\)이므로 르베그 측도는 이 조건을 만족시킨다.] 집합 \(E\subseteq\mathbb R^2\)가 가측이면, 각 \(x\)에 대해 \(E\)의 단면(slice) \[ E_x=\{y:(x,y)\in E\} \] 를 생각할 수 있다.

완전한 증명은 이 글의 범위를 넘으므로, 핵심 단계만 짚어 보자. 먼저 \(f=\mathbb 1_{A\times B}\)인 경우(사각형의 지시함수인 경우)는 정의에서 바로 확인된다. \[ \int_{\mathbb R}\mathbb 1_{A\times B}(x,y)\,dm(y)=m(B)\mathbb 1_A(x) \] 이므로, 이를 \(x\)에 대해 적분하면 \(m(A)m(B)=(m\times m)(A\times B)\)를 얻는다. 순서를 바꾸어 적분하여도 같은 값을 얻는다.

다음으로, 등식이 성립하는 집합의 모임, 즉 \(x\mapsto m(E_x)\)가 가측함수이고 그 적분이 \((m\times m)(E)\)와 일치하는 집합 \(E\) 전체의 모임을 \(\mathcal L\)이라고 하자. \(\mathcal L\)이 λ-계(λ-system, 전체집합을 포함하고 포함관계에서의 여집합과 증가하는 가산합집합에 닫혀 있는 집합족)를 이룬다는 사실은 측도의 유한가법성과 아래로부터의 연속성을 사용하여 확인할 수 있다. 사각형의 모임은 유한교집합에 닫혀 있는 π-계(π-system)를 이루고 \(\mathcal L\)에 포함되므로, 딘킨의 π-λ 정리에 의하여 사각형이 생성하는 \(\sigma\)-대수, 즉 \(\mathcal M\otimes\mathcal M\) 전체가 \(\mathcal L\)에 포함된다. [딘킨의 π-λ 정리는 π-계를 포함하는 λ-계가 그 π-계가 생성하는 σ-대수 전체를 포함한다는 정리이다. 가측집합의 σ-대수 정리의 증명이 카라테오도리 조건을 만족시키는 집합의 모임이 σ-대수를 이룬다는 사실을 직접 손으로 확인하는 방식이었다면, 여기서는 그 작업을 π-λ 정리라는 일반적인 조합론적 도구가 대신해 준다.] 즉 임의의 가측집합 \(E\subseteq\mathbb R^2\)의 지시함수에 대해 정리가 성립한다.

적분의 선형성을 사용하면 이 결과를 지시함수의 유한한 선형결합인 단순함수로 확장할 수 있다. 임의의 음이 아닌 가측함수 \(f\)는 단순함수 근사 정리에 의하여 단순함수의 증가열 \(\varphi_n\uparrow f\)로 근사되므로, 각 \(\varphi_n\)에 대해 성립하는 등식의 양변에 단조수렴 정리를 적용하면 \(f\)에 대해서도 등식을 얻는다. 이것은 적분을 정의하고 선형성을 증명할 때 거쳤던 것과 같은 방식이다.

토넬리 정리는 \(f\ge 0\)이기만 하면 항상 성립한다는 점에서 강력하지만, 부호가 있는 함수에는 직접 적용할 수 없다. 부호가 있는 함수를 다루는 정리가 따로 필요하다.

증명은 토넬리 정리로부터 \(f=f^+-f^-\)로 쪼개는 (여러 차례 사용한) 방식으로 나온다. \(f^+,\,f^-\ge0\)이고 \(|f|=f^++f^-\)이므로, 가정에 의하여 \[ \int f^+\,d(m\times m),\quad \int f^-\,d(m\times m) \] 이 둘 다 유한하다. (각각이 \(\int|f|\,d(m\times m)\) 이하이기 때문이다.) 토넬리 정리를 \(f^+\)와 \(f^-\)에 각각 적용하면 \[ \int_{\mathbb R}\left(\int_{\mathbb R}f^+(x,y)\,dm(y)\right)dm(x)=\int_{\mathbb R^2}f^+\,d(m\times m) < \infty \] 이고 \(f^-\)에 대해서도 마찬가지다. 그러므로 \[ x\mapsto\int f^+(x,y)\,dm(y),\quad x\mapsto\int f^-(x,y)\,dm(y) \] 는 둘 다 적분 가능한 함수이고, 특히 거의 모든 \(x\)에서 유한한 값을 갖는다. 그러한 \(x\)에서는 \(y\mapsto f^+(x,y)\)와 \(y\mapsto f^-(x,y)\)가 둘 다 적분 가능하므로 \(y\mapsto f(x,y)=f^+(x,y)-f^-(x,y)\)도 적분 가능하고 \[ \int_{\mathbb R}f(x,y)\,dm(y)=\int_{\mathbb R}f^+(x,y)\,dm(y)-\int_{\mathbb R}f^-(x,y)\,dm(y) \] 이다. 이 등식의 양변을 \(x\)에 대해 적분하면 (선형성에 의하여) \[\begin{aligned} \int_{\mathbb R}\left(\int_{\mathbb R}f(x,y)\,dm(y)\right)dm(x) &= \int_{\mathbb R^2}f^+\,d(m\times m)-\int_{\mathbb R^2}f^-\,d(m\times m)\\ &=\int_{\mathbb R^2}f\,d(m\times m) \end{aligned}\] 을 얻는다. \(y\)에 대해 먼저 적분하는 경우도 완전히 같은 방식으로 처리된다.

두 정리는 실제 계산에서 함께 쓰인다. 주어진 함수 \(f\)가 \[ \int|f|\,d(m\times m) < \infty \] 를 만족시키는지 직접 확인하기 어려울 때가 많은데, \(|f|\ge0\)이므로 토넬리 정리를 \(|f|\)에 적용하여 반복적분 \[ \int\int|f(x,y)|\,dy\,dx \] 를 계산하면 된다. 그 값이 유한하면 푸비니 정리의 가정이 확인되고, 그러면 \(f\) 자신에 대한 반복적분의 순서를 자유롭게 바꿀 수 있다. 토넬리 정리로 가정을 확인하고 푸비니 정리로 결론을 얻는 방식이다. [귀도 푸비니가 1907년 논문 “중적분에 관하여”(Sugli integrali multipli)에서 적분 가능한 함수에 대해 이 정리를 증명했는데, 베포 레비가 1906년에 (유계함수에 대한 르베그의 1904년 결과를 넘어) 이런 형태의 정리를 추측한 데 대한 응답이었다. 레오니다 토넬리는 1909년 논문 “부분적분에 관하여”(Sull'integrazione per parti)에서 음이 아닌 함수라는 훨씬 약한 가정만으로 같은 결론을 얻었다.]

응용: 가우스 적분

토넬리 정리를 유용하게 사용하는 예를 살펴보자. 확률론과 해석학 곳곳에서 등장하는 가우스 적분 \[ I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \] 를 계산하는 문제이다. 피적분함수는 초등함수 범위에서 원시함수를 갖지 않으므로, 미적분학의 기본정리로는 이 적분을 계산할 수 없다. 대신 \(I\)를 제곱하여 적분의 영역을 2차원으로 옮기는 고전적인 방법을 사용한다.

\(e^{-x^2-y^2}\ge0\)이므로 토넬리 정리를 곧바로 적용할 수 있다. \[\begin{aligned} I^2 &= \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\,dy\right)\\ &=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2-y^2}\,dy\,dx\\ &=\int_{\mathbb R^2}e^{-x^2-y^2}\,d(m\times m) \end{aligned}\] 마지막 등식이 바로 토넬리 정리이다. 첫 번째 등호는 1차원 적분의 곱을 반복적분으로 풀어 쓴 것뿐이고, \(e^{-x^2}\)이 \(y\)와 무관하므로 안쪽 적분에서 상수로 빠져나온다는 사실을 사용한다.

이제 극좌표 \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\)로 바꾸자. 야코비안이 \(r\)이라는 사실은 다변수 미적분학의 표준적인 결과이므로 그대로 사용한다. [엄밀하게 말하면 극좌표 변환은 르베그 적분에 대한 일반적인 치환적분 공식(야코비안을 포함한 변수변환 정리)의 특수한 경우인데, 그 일반적인 정리 자체는 이 글에서 다루지 않는다. 여기서는 다변수 미적분학의 결과를 그대로 사용한다.] \[ I^2=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta \] 안쪽 적분에서 \(u=r^2\)로 치환하면 \[ \int_0^\infty re^{-r^2}\,dr=\frac12\int_0^\infty e^{-u}\,du=\frac12 \] 이므로 \[ I^2=\int_0^{2\pi}\frac12\,d\theta=2\pi\cdot\frac12=\pi \] 를 얻는다. \(I\)는 양수인 함수의 적분이므로 \(I > 0\)이고, 따라서 \[ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi \] 이다. 1차원에서 정의역을 쪼개는 방법으로는 계산할 수 없었던 적분이, 차원을 하나 올려 토넬리 정리로 적분 순서를 자유롭게 바꾼 뒤 극좌표로 되돌아오는 방식을 거쳐 계산된다.

측도의 일반화

이 글에서는 개별적인 함수의 적분이 아니라 함수들이 모인 공간의 성질을 살펴보았다. \(L^p(E)\)를 정의하고, 영 부등식으로부터 횔더 부등식을, 횔더 부등식으로부터 민코프스키 부등식을 유도하였으며 \(L^p(E)\)가 노름공간임을 확인하였다. 코시열을 절대수렴하는 급수로 바꾸는 표준적인 방법을 사용하여 리스-피셔 정리, 즉 \(L^p(E)\)의 완비성을 증명하였다. \(L^2(E)\)는 내적을 가진 완비 공간, 즉 힐베르트 공간이 되며, 그 완비성이 뒤에서 다시 중요하게 사용될 것이라는 점도 살펴보았다. 마지막으로 곱측도를 구성하고 토넬리 정리와 푸비니 정리를 사용하여 2차원 이상의 적분을 다루는 정리를 살펴보았으며, 가우스 적분이라는 구체적인 예를 통해 토넬리 정리의 유용함을 확인하였다.

그런데 이 모든 논의는 처음부터 끝까지 하나의 측도, 즉 \(\mathbb R\)(또는 그 곱인 \(\mathbb R^2\)) 위의 르베그 측도만을 다루었다. 카라테오도리의 구성은 구간의 길이라는 특정한 선택에서 출발했을 뿐, 그 구성의 골격 자체는 훨씬 일반적이다. 자연수 위에서 개수를 세는 계수측도, 한 점에 모든 질량을 몰아준 디랙측도처럼 전혀 다른 대상에도 ‘측도’라는 이름을 붙일 수 있을 텐데, 그렇다면 애초에 “측도란 무엇인가”라는 질문에는 아직 정식으로 답한 적이 없다. 게다가 지금까지의 측도는 항상 음이 아닌 값만 가졌다. 한 측도에서 다른 측도를 빼는 방식으로 정의하는 부호가 있는 측도를 허용하면 무슨 일이 일어날까? 그리고 두 측도 사이의 관계, 예를 들어 한 측도가 다른 측도에 대해 ‘절대연속’이라는 것은 무엇을 의미할까? 다음 글(측도 공간과 라돈-니코딤 정리)에서는 이 내용을 살펴본다.

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