적분론 1부: 리만 적분

함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 정의되어 있고 연속이며, \([a,\,b]\)에 속한 임의의 \(x\)에 대하여 \(f(x) \ge 0\)이라고 하자. 그래프 \(y=f(x)\)와 \(x\) 축 사이 부분의 넓이를 구하고 싶다고 하자. 고등학교에서 배우는 방법은 다음과 같다. 구간 \([a,\,b]\)를 \(n\)등분하여 폭이 \(\frac{b-a}{n}\)인 직사각형을 \(n\)개 세우되, 각 직사각형의 높이는 그 직사각형이 놓인 구간 안의 한 점 \(x_k\)에서 \(f\)가 갖는 함숫값으로 정한다. [만약 \(f(x) < 0\)인 경우까지 고려한다면, 이 값은 음수가 될 수 있다.] 이 \(n\)개의 직사각형의 넓이를 전부 더한 값을 다음과 같이 나타내자. \[ S_n=\sum_{k=1}^n \left\{ f(x_k)\cdot\frac{b-a}{n} \right\} \] 만약 \(n\)이 한없이 커질 때 \(S_n\)이 어떤 값으로 수렴하면, 그 극한값을 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 적분값이라고 부르고, \(\int_a^b f(x)\,dx\)로 나타낸다.

여기서 짚고 넘어가야 할 점이 하나 있다. 각 소구간에서 \(x_k\)를 왼쪽 끝점으로 잡든 오른쪽 끝점으로 잡든 중점으로 잡든, 극한값이 같아질 수 있다. 심지어, 각 소수간에서 \(x_k\)를 임의로 잡아도 \(S_n\)의 극한값이 일정할 수 있다. 구간 \([a,\,b]\)를 등분하지 않고, 폭이 서로 다른 직사각형을 사용해도 마찬가지다. 그런데 왜 그럴까? 표본점 \(x_k\)의 선택과 분할의 방식이 이렇게까지 자유로운데도 \(S_n\)의 극한이 일정하다는 것은, 증명 없이 받아들이기에는 상당히 강한 주장이다.

이 주장을 정확한 정의로 표현하고 그 성질을 증명하는 일, 그리고 그 정의를 바탕으로 했을 때 합 \(S_n\)이 수렴하지 않는 함수를 살펴보는 일이 이번 글의 목표이다. 리만이 1854년 괴팅겐 대학의 교수자격 논문에서 처음으로 이 문제를 다루었다. [그 논문의 본래 주제는 삼각급수, 즉 푸리에 급수였다. 어떤 함수가 삼각급수로 표현되는지 연구하던 리만은, 그 질문에 답하려면 먼저 적분 자체를 함수의 좋고 나쁨과 무관하게 엄밀히 정의해야 한다는 사실을 깨달았다. 이 논문은 1854년에 쓰였지만 리만이 세상을 떠난 뒤인 1868년에야 출판되었다.] 이후 다르부가 그 정의를 더 용이한 형태로 수정하였다. [가스통 다르부(Jean Gaston Darboux)의 1875년 논문 “불연속 함수에 관한 논고”에서이다. 리만은 진동량(oscillation), 즉 각 소구간에서 함숫값이 요동치는 정도를 다루었는데, 다르부는 이것을 상한과 하한이라는 언어를 사용하여 정확하게 표현하였다. 최댓값과 최솟값이 아니라 상한과 하한을 사용한 것이 핵심인데, 유계인 함수라고 해도 소구간 안에서 최댓값이나 최솟값을 반드시 갖는다는 보장은 없기 때문이다.] 이 글에서는 다르부의 방식을 따른다.

다르부 상합과 하합

지금부터 별다른 언급이 없는 한 함수 \(f:[a,b]\to\mathbb R\)은 유계인 함수라고 가정한다.

구간 \([a,b]\)의 분할(partition)이란 다음과 같은 유한 개의 점 \(x_k\)로 이루어진 집합을 뜻한다. \[ P:\,a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b \] 분할 \(P\)는 \([a,b]\)를 \(n\)개의 소구간 \([x_{k-1},\,x_k]\)로 쪼갠다. 각 소구간에서 다음과 같은 기호를 도입하자. \[ M_k=\sup_{[x_{k-1},x_k]}f,\quad m_k=\inf_{[x_{k-1},x_k]}f \] 함수 \(f\)가 유계인 함수이므로 이 상한과 하한은 항상 존재하는 실수이다. 이제 다음 두 값을 정의한다. \[ U(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k(x_k-x_{k-1}),\quad L(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k(x_k-x_{k-1}) \] 이때 \(U(f,P)\)를 상합(upper sum), \(L(f,P)\)를 하합(lower sum)이라고 부른다. 각 소구간 위에 세울 수 있는 가장 높은 직사각형의 넓이의 합과 가장 낮은 직사각형의 넓이의 합이라고 생각하면 된다. 임의의 \(k\)에 대하여 \(m_k\le M_k\)이므로, 상합과 하합의 정의에서 곧바로 다음 부등식을 얻는다. \[ L(f,P)\le U(f,P) \] 분할 \(P'\)이 \(P\)의 세련분할(refinement)이라는 말은 \(P\subset P'\), 즉 \(P'\)이 \(P\)의 점을 전부 포함하면서 점을 더 추가한 분할이라는 뜻이다. 세련분할을 세분이라고 부르기도 한다. 세련분할은 구간을 더 세밀하게 쪼갠 분할이므로, 상합은 작아지고 하합은 커질 것이라고 예상할 수 있다.

세련분할 보조정리. \(P'\)이 \(P\)의 세련분할이면 \[ L(f,P)\le L(f,P'),\quad U(f,P')\le U(f,P) \] 이다.

증명은 \(P'\)이 \(P\)에 점을 하나만 추가한 경우를 보이면 충분하다. 여러 점을 추가하는 경우는 추가하는 점의 개수에 대한 수학적 귀납법으로 증명된다. [\(P\)에 점을 \(j\)개 추가하여 얻은 분할까지 부등식이 성립한다고 가정하면, 거기에 점을 하나 더 추가하는 상황에도 지금 보일 한 점짜리 경우와 같은 논증이 그대로 적용된다.]

\(P'=P\cup\{c\}\)이고 \(c\)가 소구간의 안쪽 \((x_{k-1},\,x_k)\)에 있다고 하자. \(P\)와 \(P'\)은 이 소구간을 제외한 나머지 소구간에서 완전히 같으므로, \([x_{k-1},\,x_k]\)에서 값의 변화만 비교하면 된다.

\[ m_k'=\inf_{[x_{k-1},c]}f,\quad m_k''=\inf_{[c,x_k]}f \] 라고 하면, \([x_{k-1},\,c]\)와 \([c,\,x_k]\)는 각각 \([x_{k-1},\,x_k]\)의 부분집합이므로 \[ m_k'\ge m_k,\quad m_k''\ge m_k \] 이다. 더 작은 집합 위에서의 하한은 원래 집합 위에서의 하한보다 작을 수 없기 때문이다. 그러므로 \[ m_k'(c-x_{k-1})+m_k''(x_k-c)\ge m_k(c-x_{k-1})+m_k(x_k-c)=m_k(x_k-x_{k-1}) \] 이다. 여기서 좌변은 \(L(f,P')\)에서 이 소구간이 영향을 미치는 값이며 우변은 \(L(f,P)\)에서 같은 소구간이 영향을 미치는 값이다. 나머지 소구간이 영향을 미치는 값은 두 분할에서 동일하므로 \(L(f,P)\le L(f,P')\)이 성립한다. 한편, 두 부등식 \(M_k'\le M_k\)와 \(M_k''\le M_k\)를 사용하면 같은 방식으로 상합에 대한 부등식을 얻는다.

두 번째 보조정리는 서로 다른 두 분할에 대해서도 하합이 상합보다 클 수 없다는 것이다.

하합 상합 비교 보조정리. 임의의 두 분할 \(P_1,\,P_2\)에 대해 \[ L(f,P_1)\le U(f,P_2) \] 이다.

이 보조정리의 증명은 다음과 같다. \(P^*=P_1\cup P_2\)를 두 분할의 공통세련분할이라고 하자. \(P^*\)은 \(P_1\)의 세련분할이면서 동시에 \(P_2\)의 세련분할이므로, 세련분할 보조정리와 부등식 \(L\le U\)를 사용하여 다음을 얻는다. \[ L(f,P_1)\le L(f,P^*)\le U(f,P^*)\le U(f,P_2) \]

이 보조정리에 의하여 하합의 모임 \(\{L(f,P):P\text{는 분할}\}\)은 위쪽으로 유계이고 상합의 모임은 아래쪽으로 유계이므로, 다음 두 값이 실수로서 존재한다. \[ \underline{\int_a^b}f=\sup_PL(f,P),\quad \overline{\int_a^b}f=\inf_PU(f,P) \] 두 값을 각각 하적분(lower integral), 상적분(upper integral)이라고 부른다. 비교 보조정리에 의하여 임의의 하합이 임의의 상합 이하이므로, 하합의 상한도 임의의 상합 이하이다. 즉 \[ \underline{\int_a^b}f\le\overline{\int_a^b}f \] 가 항상 성립한다. 이 식에서 등식이 성립할 때 비로소 \(f\)를 적분할 수 있다고 정의한다. 정확한 정의는 다음 절에서 진술한다.

리만 적분 가능성의 정의와 판정법

리만 적분 가능성의 정의.

함수 \(f:[a,b]\to\mathbb R\)가 유계인 함수라고 하자. 만약 \[ \underline{\int_a^b}f=\overline{\int_a^b}f \] 가 성립하면, “\(f\)는 \([a,b]\)에서 리만 적분 가능하다(Riemann integrable)”라고 말하고, 이 공통값을 \(\int_a^b f\) 또는 \(\int_a^b f(x)\,dx\)로 나타낸다.

정의 자체는 명료하지만, 이 정의만으로 어떤 함수가 적분 가능한지, 적분이 어떤 성질을 갖는지 논하기는 쉽지 않다. 적분 가능성을 확인하려면 원칙적으로 모든 분할에 대한 상합의 하한과 하합의 상한을 각각 따져야 하기 때문이다. 다음 판정법은 이 조건을 훨씬 실용적인 조건으로 바꾸어 준다. [도입부에서 살펴본 리만 합과 이 정의의 관계도 짚어 두자. 분할의 소구간의 길이가 \(0\)에 가까워질 때 표본점의 선택과 무관하게 리만 합이 하나의 값으로 수렴하기 위한 필요충분조건은 \(f\)가 위 정의의 의미로 적분 가능한 것이고, 그때 리만 합의 극한이 \(\int_a^bf\)와 같다는 사실이 알려져 있다. 이 사실의 증명은 이 글에서 다루지 않는다.]

적분 가능성에 대한 리만 판정법.

유계인 함수 \(f\)가 \([a,b]\)에서 리만 적분 가능하기 위한 필요충분조건은, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \[ U(f,P)-L(f,P) < \varepsilon \] 을 만족시키는 분할 \(P\)가 존재하는 것이다. [양수 \(\varepsilon\)의 값에 따라 분할 \(P\)가 정해진다.]

리만 판정법의 증명은 다음과 같다. 우선 (⇐) 방향의 증명을 살펴보자. 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여 정리의 조건을 만족시키는 분할 \(P\)가 존재한다고 하자. 그러한 분할 \(P\)를 하나 선택하면, 하적분과 상적분의 정의에 의하여 \[ L(f,P)\le\underline{\int_a^b}f\le\overline{\int_a^b}f\le U(f,P) \] 이다. 가운데 부등식은 앞 절에서 확인한 것이고, 바깥쪽 두 부등식은 각각 하적분이 모든 하합의 상한, 상적분이 모든 상합의 하한이라는 정의에서 곧바로 나온다. 그러므로 \[ 0\le\overline{\int_a^b}f-\underline{\int_a^b}f\le U(f,P)-L(f,P) < \varepsilon \] 이다. \(\varepsilon\)이 임의의 양수이므로 상적분과 하적분의 차는 \(0\)일 수밖에 없다. 즉 \(f\)는 적분 가능하다.

이제 반대로 (⇒) 방향의 증명을 살펴보자. \(f\)가 적분 가능하다고 하고, 적분값, 즉 상적분과 하적분의 공통값을 \(I\)로 나타내자. 즉 \[ I=\sup_PL(f,P)=\inf_PU(f,P) \] 라고 하자. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어지면, 상한과 하한의 성질에 의하여 \[ L(f,P_1) > I-\frac{\varepsilon}{2},\quad U(f,P_2) < I+\frac{\varepsilon}{2} \] 인 분할 \(P_1\)과 \(P_2\)가 존재한다. \(P=P_1\cup P_2\)로 두면 \(P\)는 \(P_1\)과 \(P_2\)의 공통세련분할이므로, 세련분할 보조정리에 의하여 \[\begin{aligned} L(f,P)\ge L(f,P_1) & > I-\frac{\varepsilon}{2}, \\[6pt] U(f,P)\le U(f,P_2) & < I+\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}\] 이다. 두 부등식에서 변마다 차를 구하면 \(U(f,P)-L(f,P) < \varepsilon\)을 얻는다.

적분 가능한 함수의 예

앞 절에서 어떠한 함수가 적분 가능한지 판별하는 방법을 살펴보았다. 이제 자주 사용하는 함수의 적분 가능성을 살펴보자.

연속함수의 리만 적분 가능성.

함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이면, \(f\)는 이 구간에서 리만 적분 가능하다.

증명은 다음과 같다. 함수 \(f\)는 콤팩트 구간 위의 연속함수이므로 균등연속이다. [하이네-칸토어 정리이다. 즉 콤팩트 집합 위에서 연속함수는 균등연속이라는 정리이다. 정리의 증명을 보고 싶다면 실해석학 교재를 참고하기 바란다.] \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 균등연속성에 의하여 적당한 \(\delta > 0\)가 존재하여 \[ |x-y| < \delta\ \Longrightarrow\ |f(x)-f(y)| < \frac{\varepsilon}{b-a} \] 을 만족시킨다. 이제 모든 소구간의 길이가 \(\delta\)보다 작은 분할 \(P:\,a=x_0 < \cdots < x_n=b\)를 잡자. [단순한 등분만으로도 그러한 분할을 잡을 수 있다.] 각 소구간 \([x_{k-1},\,x_k]\)는 콤팩트 집합이고 \(f\)가 그 위에서 연속이므로, 최대·최소 정리에 의하여 적당한 점 \(s_k,\,t_k\in[x_{k-1},x_k]\)에서 \(f\)가 최댓값과 최솟값을 갖는다. 즉 \(M_k=f(s_k)\), \(m_k=f(t_k)\)이다. 두 점 \(s_k,\,t_k\)는 길이가 \(\delta\)보다 작은 소구간 안에 있으므로 \(|s_k-t_k| < \delta\)이고, 따라서 \[ M_k-m_k=f(s_k)-f(t_k) < \frac{\varepsilon}{b-a} \] 이다. 그러므로 \[\begin{aligned} U(f,P)-L(f,P) &= \sum_{k=1}^n(M_k-m_k)(x_k-x_{k-1}) \\[4pt] &< \frac{\varepsilon}{b-a}\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1}) \\[4pt] &= \frac{\varepsilon}{b-a}(b-a)=\varepsilon \end{aligned}\] 이고, 리만 판정법에 의하여 \(f\)는 적분 가능하다.

단조함수의 리만 적분 가능성.

함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 단조이면, \(f\)는 이 구간에서 리만 적분 가능하다.

증명은 다음과 같다. \(f\)가 증가함수라고 하자. [감소함수도 부호만 바꾸면 같은 방법을 사용하여 증명된다.]

\(f(a)=f(b)\)이면 \(f\)는 상수함수이므로 자명하게 적분 가능하다. 그러므로 \(f(a) < f(b)\)인 경우만 살펴보면 충분하다.

\(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \[ n > \frac{(b-a)\left(f(b)-f(a)\right)}{\varepsilon} \] 인 자연수 \(n\)을 잡고 \([a,b]\)를 \(n\)등분한 분할 \(P\)를 생각하자. 소구간의 길이는 전부 \[ \delta:=\frac{b-a}{n} \] 이다. \(f\)가 증가함수이므로 각 소구간 \([x_{k-1},\,x_k]\)에서 \[ M_k=f(x_k),\quad m_k=f(x_{k-1}) \] 이다. 증가함수는 소구간의 오른쪽 끝에서 최댓값을, 왼쪽 끝에서 최솟값을 갖기 때문이다. 그러므로 \[ U(f,P)-L(f,P)=\sum_{k=1}^n\left(f(x_k)-f(x_{k-1})\right)\delta=\delta\sum_{k=1}^n\left(f(x_k)-f(x_{k-1})\right) \] 인데, 마지막 합에서 인접한 항끼리 상쇄되어 합은 \(f(b)-f(a)\)가 된다. 즉 \[ U(f,P)-L(f,P)=\delta\left(f(b)-f(a)\right)=\frac{b-a}{n}\left(f(b)-f(a)\right) < \varepsilon \] 이고, 리만 판정법에 의하여 \(f\)는 적분 가능하다.

불연속점이 유한 개인 함수의 리만 적분 가능성.

함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 유계이고 불연속점이 유한 개이면, \(f\)는 이 구간에서 리만 적분 가능하다.

증명은 다음과 같다. \(f\)가 유계이고 \(|f|\le B\)라고 하자. (\(B > 0\)이라고 가정해도 좋다.) 불연속점을 \(c_1,\,\ldots,\,c_j\)라고 하고, \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자.

먼저 각 \(c_i\)를 중심으로 작은 열린구간 \(I_i\)를 잡되, \([a,b]\)와 겹치는 부분의 길이를 전부 합쳐도 \(\frac{\varepsilon}{4B}\)을 넘지 않도록 한다. 구간의 개수가 \(j\)이므로, 구간 하나의 길이를 \(\frac{\varepsilon}{4Bj}\) 이하로 잡으면 된다. \([a,\,b]\)에서 이 열린구간을 빼낸 나머지 \[ K=[a,b]\setminus(I_1\cup\cdots\cup I_j) \] 는 유한 개의 닫힌구간의 합집합이고, \(f\)는 \(K\)의 각 조각에서 연속이다. 조각이 유한 개이므로, 각 조각에서 \(f\)의 균등연속성에 의하여 얻는 \(\delta\) 가운데 가장 작은 것을 택할 수 있다. 이 \(\delta\)를 사용하여 \(K\)의 각 조각을, 조각 안에서 \(f\)의 진동량이 \(\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\)보다 작아지도록 잘게 나눈다. 연속함수가 적분 가능함을 증명할 때와 같은 방식이다.

이렇게 얻은 점과 \(I_1,\ldots,I_j\)의 양 끝점을 전부 모아 \([a,b]\)의 분할 \(P\)를 만든다. 이 분할의 소구간은 두 부류로 나뉜다. \(I_i\) 안에 들어가는 소구간과, \(K\)의 조각 안에서 잘게 나눈 소구간이다. 앞의 것을 ‘나쁜 소구간’(\(BI\)), 뒤의 것을 ‘좋은 소구간’(\(GI\))이라고 부르자.

좋은 소구간에서는 진동량 \(M_k-m_k\)가 전부 \(\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\)보다 작으므로, 좋은 소구간 전체가 상합과 하합의 차에 영향을 미치는 값은 \[\begin{aligned} \sum_{GI}(M_k-m_k)(x_k-x_{k-1}) &< \frac{\varepsilon}{2(b-a)}\sum_{GI}(x_k-x_{k-1}) \\[4pt] &\le \frac{\varepsilon}{2(b-a)}(b-a)=\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}\] 이다. 나쁜 소구간에서는 \(f\)가 유계라는 사실만 사용한다. \(|f|\le B\)이므로 임의의 소구간에서 \(M_k-m_k\le 2B\)이고, 나쁜 소구간의 길이를 전부 합쳐도 \(I_1,\ldots,I_j\)의 길이의 합인 \(\frac{\varepsilon}{4B}\)을 넘지 않으므로 \[\begin{aligned} \sum_{BI}(M_k-m_k)(x_k-x_{k-1}) &\le 2B\sum_{BI}(x_k-x_{k-1}) \\[4pt] &\le 2B\cdot\frac{\varepsilon}{4B}=\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}\] 이다. 두 값을 더하면 \[ U(f,P)-L(f,P) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \] 이므로, 리만 판정법에 의하여 \(f\)는 적분 가능하다.

세 정리를 나란히 놓고 보면 흥미로운 사실이 하나 드러난다. 연속함수는 불연속점이 하나도 없으므로 세 번째 정리에 포함되는 특수한 경우이다. 그런데 단조함수는 그렇지 않다. 단조함수는 불연속점이 무한히 많을 수 있다. 그런데도 적분 가능하다. [단조함수의 불연속점은 아무리 많아도 가산이다. 단조함수의 불연속점은 전부 도약불연속(jump discontinuity)이고, 도약의 크기를 전부 합하여도 \(f(b)-f(a)\)를 넘을 수 없으므로, 도약이 \(1/n\)보다 큰 불연속점은 각 \(n\)마다 유한 개뿐이다. 이를 모든 \(n\)에 대해 합치면 불연속점 전체가 가산집합이라는 결론을 얻는다.] 세 번째 정리의 증명이 유한 개의 나쁜 소구간만 다루었다는 점을 생각하면, 단조함수의 적분 가능성은 세 번째 정리로 곧바로 설명되지 않는 독립적인 사실인 셈이다. 불연속점이 무한히 많아도 적분 가능할 수 있다는 이 사실은 이 글의 끝에서 다시 살펴본다.

리만 적분의 기본 성질

적분 가능한 함수의 모임은 사칙계산과 여러 극한 관련 연산에 대하여 좋은 성질을 갖는다. 이 절에서는 그 가운데 가장 기본이 되는 네 가지를 증명한다.

리만 적분의 선형성.

두 함수 \(f,\) \(g\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하고 \(\alpha,\,\beta\in\mathbb R\)이면, \(\alpha f+\beta g\)도 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하고 \[ \int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^bf+\beta\int_a^bg \] 이다.

증명은 합에 대한 성질과 상수배에 대한 성질을 따로 보이면 충분하다.

먼저 합에 대한 성질을 살펴보자. 임의의 집합 \(S\) 위에서 \[ \sup_S(f+g)\le\sup_Sf+\sup_Sg,\quad \inf_S(f+g)\ge\inf_Sf+\inf_Sg \] 이므로, 임의의 분할 \(P\)에 대해 \[\begin{aligned} U(f+g,P) & \le U(f,P)+U(g,P), \\[6pt] L(f+g,P) & \ge L(f,P)+L(g,P) \end{aligned}\] 이다. 두 부등식을 결합하면 \[ U(f+g,P)-L(f+g,P)\le\left[U(f,P)-L(f,P)\right]+\left[U(g,P)-L(g,P)\right] \] 를 얻는다. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(f\)와 \(g\)가 각각 적분 가능하므로 \[ U(f,P_1)-L(f,P_1) < \frac{\varepsilon}{2},\quad U(g,P_2)-L(g,P_2) < \frac{\varepsilon}{2} \] 를 만족시키는 분할 \(P_1\)과 \(P_2\)가 존재한다. \(P=P_1\cup P_2\)로 두면, 세련분할 보조정리에 의하여 두 부등식이 \(P\)에 대해서도 유지되므로 \[ U(f+g,P)-L(f+g,P) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \] 이다. 그러므로 리만 판정법에 의하여 \(f+g\)는 적분 가능하다.

이제 \(f+g\)의 적분값을 확인하자. 위에서 사용한 부등식과 적분의 정의에 의하여 \[\begin{aligned} L(f,P)+L(g,P) &\le \int_a^bf+\int_a^bg \\[4pt] &\le U(f,P)+U(g,P) \end{aligned}\] 이고 \[\begin{aligned} L(f,P)+L(g,P) &\le L(f+g,P)\le\int_a^b(f+g) \\[4pt] &\le U(f+g,P)\le U(f,P)+U(g,P) \end{aligned}\] 이다. 즉 두 값 \(\int f+\int g\)와 \(\int(f+g)\)는 모두 구간 \([L(f,P)+L(g,P),\,U(f,P)+U(g,P)]\) 안에 있다. 그런데 방금 만든 분할 \(P\)에서 이 구간의 길이는 \(\varepsilon\)보다 작다. \(\varepsilon\)이 임의의 양수이므로 두 값의 차는 \(0\)일 수밖에 없다. 즉 \(\int(f+g)=\int f+\int g\)이다.

이제 상수배를 살펴보자. \(\alpha\ge0\)일 때 \[ M_k(\alpha f)=\alpha M_k(f),\quad m_k(\alpha f)=\alpha m_k(f) \] 이므로 \[ U(\alpha f,P)=\alpha U(f,P),\quad L(\alpha f,P)=\alpha L(f,P) \] 를 곧바로 얻는다. 이 등식으로부터 \(\alpha f\)의 적분 가능성과 등식 \(\int\alpha f=\alpha\int f\)를 얻는다. \(\alpha < 0\)이면 상한과 하한의 역할이 뒤바뀌어 \[ M_k(\alpha f)=\alpha m_k(f),\quad m_k(\alpha f)=\alpha M_k(f) \] 이므로 \[ U(\alpha f,P)=\alpha L(f,P),\quad L(\alpha f,P)=\alpha U(f,P) \] 가 된다. 상한을 취하는 쪽과 하한을 취하는 쪽이 서로 바뀔 뿐, 앞에서와 같은 결론에 이른다. 두 결과를 합치면 임의의 \(\alpha,\) \(\beta\)에 대해 \(\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g\)이다.

리만 적분의 순서보존성. 두 함수 \(f,\) \(g\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하고 \([a,\,b]\)의 모든 점에서 \(f\le g\)이면 \[ \int_a^bf\le\int_a^bg \] 이다.

증명은 다음과 같다. \(h=g-f\)로 두면 \(h\ge 0\)이고, 선형성에 의하여 함수 \(h\)도 적분 가능하다. \(h\ge 0\)이므로 임의의 분할 \(P\)의 각 소구간에서 \(m_k(h)\ge 0\)이고, 따라서 \(L(h,P)\ge 0\)이다. 그러므로 \[ \int_a^b h=\sup_P L(h,P)\ge 0 \] 이고, 선형성에 의하여 \(\int g-\int f=\int h\ge0\), 즉 \(\int f\le\int g\)이다.

리만 적분의 구간가법성.

\(a < c < b\)라고 하자. 함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하기 위한 필요충분조건은 \(f\)가 \([a,\,c]\)와 \([c,\,b]\) 모두에서 적분 가능한 것이다. 이때 \[ \int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf \] 가 성립한다.

증명은 리만 판정법을 사용하되, 점 \(c\)를 언제나 분할에 포함시켜도 된다는 사실을 이용한다. 분할 \(P\)가 \(c\)를 포함하지 않으면 \(P\cup\{c\}\)로 세련하여도, 세련분할 보조정리에 의하여 상합과 하합의 차는 줄어들거나 같다. 그러므로 적분 가능성 조건을 확인할 때 \(c\)를 포함하는 분할만 고려하여도 충분하다.

\(c\in P\)인 분할 \(P\)는 \([a,\,c]\)의 분할 \(P_1\)과 \([c,\,b]\)의 분할 \(P_2\)로 갈라지고, 상합과 하합은 소구간별로 더한 값이므로 \[ U(f,P)=U(f,P_1)+U(f,P_2),\quad L(f,P)=L(f,P_1)+L(f,P_2) \] 가 성립한다. 그러므로 \[ U(f,P)-L(f,P)=\left[U(f,P_1)-L(f,P_1)\right]+\left[U(f,P_2)-L(f,P_2)\right] \] 이다. 우변의 두 항은 모두 \(0\) 이상이다. 만약 \(f\)가 \([a,\,c]\)와 \([c,\,b]\)에서 각각 적분 가능하면, 두 구간에서 상합과 하합의 차가 각각 \(\frac{\varepsilon}{2}\)보다 작은 분할 \(P_1,\,P_2\)를 잡아 \(P=P_1\cup P_2\)로 두었을 때, 위 등식에 의하여 \(U(f,P)-L(f,P) < \varepsilon\)이다. 반대로 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하면, \(U(f,P)-L(f,P) < \varepsilon\)인 분할 \(P\)에 \(c\)를 추가한 뒤 \(P_1\)과 \(P_2\)로 가르면, 위 등식과 두 항이 \(0\) 이상이라는 사실에 의하여 각 항이 \(\varepsilon\)보다 작다. 그러므로 리만 판정법에 의하여, \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하기 위한 필요충분조건은 \(f\)가 \([a,\,c]\)와 \([c,\,b]\) 모두에서 적분 가능한 것이다.

다음으로 적분값을 확인하자. \(c\in P\)인 분할에서 얻은 등식 \(L(f,P)=L(f,P_1)+L(f,P_2)\)의 양변에 \(P\)를 변수로 하는 상한을 취하면 \[ \int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf \] 를 얻는다. [\(c\)를 포함하는 분할만 고려하여도 하합 전체의 상한과 같은 값을 얻는다. 임의의 분할에 \(c\)를 추가하여 세련하여도 하합이 줄어들지 않기 때문이다.]

리만 적분의 삼각부등식. 함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하면 함수 \(|f|\)도 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하고 \[ \left|\int_a^bf\right|\le\int_a^b|f| \] 이다.

이 부등식을 증명해 보자. 먼저 \(|f|\)가 적분 가능함을 보이자. 임의의 집합 \(S\)와 그 위의 두 점 \(x,\,y\)에 대하여 \[ \left||f(x)|-|f(y)|\right|\le|f(x)-f(y)|\le\sup_Sf-\inf_Sf \] 가 성립한다. 좌변에 \(x,\,y\)를 변수로 하는 상한을 취하면 \(S\) 위에서 \(|f|\)의 진동량, 즉 \(\sup_S|f|-\inf_S|f|\)를 얻으므로 \[ \sup_S|f|-\inf_S|f|\le\sup_Sf-\inf_Sf \] 이다. [엄밀하게는 좌변의 상한이 \(\sup_S|f|-\inf_S|f|\)와 같다는 사실, 즉 \[ \sup_{x,y\in S}\left(|f(x)|-|f(y)|\right)=\sup_S|f|-\inf_S|f| \] 를 확인해야 한다. 이 등식은 두 값 \(\sup_S|f|\)와 \(\inf_S|f|\)가 \(S\) 위에서 각각 독립적으로 결정되는 값이라는 사실에 의하여 확인된다.] 각 소구간에서 이 부등식을 사용하면 \(M_k(|f|)-m_k(|f|)\le M_k(f)-m_k(f)\)이므로 \[ U(|f|,P)-L(|f|,P)\le U(f,P)-L(f,P) \] 이다. \(f\)가 적분 가능하므로 위 부등식의 우변을 임의로 작게 만드는 분할이 존재하고, 그 분할에서는 좌변도 그만큼 작다. 그러므로 리만 판정법에 의하여 \(|f|\)는 적분 가능하다.

미적분학의 기본정리

지금까지 리만 적분을 정의하고, 어떤 함수가 적분 가능한지 살펴보았으며, 적분이 갖는 대수적인 성질을 확인하였다. 그런데 정작 적분값을 실제로 계산하는 방법은 아직 이야기하지 않았다. 예를 들어 정적분 \[ \int_a^bx^2\,dx \] 를 상합과 하합으로 직접 계산하는 일이 가능하기는 하지만, 그 과정은 지극히 번거롭다. [아르키메데스가 이미 이런 방식으로 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구했고, 훨씬 뒤에 페르마와 카발리에리가 \(x^n\)의 적분을 비슷한 방식으로 계산했다. 미적분학의 기본정리가 등장하기 전까지, 넓이는 이렇게 하나하나 계산해야 하는 양이었다.] 미적분학의 기본정리는 적분과 미분의 관계를 밝힘으로써 이 어려움을 해결해 준다. 두 부분으로 나누어 살펴보자.

미적분학의 제 1 기본정리.

함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하고, \[ F(x)=\int_a^xf(t)\,dt\quad(x\in[a,b]) \] 라고 하자. 그러면 함수 \(F\)는 \([a,b]\)에서 연속이다. 더욱이 \(f\)가 \(x_0\in[a,b]\)에서 연속이면, \(F\)는 \(x_0\)에서 미분가능하고 \(F'(x_0)=f(x_0)\)이다.

이제 \(f\)가 \(x_0\)에서 연속이라고 하자. \(h\neq0\)이고 \(x_0+h\in[a,b]\)일 때 \[ \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)=\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\,dt-f(x_0) \] 인데, \[ f(x_0)=\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)\,dt \] 이므로, 위 식의 우변은 \[ \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}\left[f(t)-f(x_0)\right]\,dt \] 로 다시 쓸 수 있다. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(f\)가 \(x_0\)에서 연속이므로 적당한 \(\delta > 0\)가 존재하여, \(|t-x_0| < \delta\)이면 \(|f(t)-f(x_0)| < \varepsilon\)이다. \(0 < |h| < \delta\)이면 \(x_0\)와 \(x_0+h\) 사이의 모든 \(t\)가 이 조건을 만족시키므로, 삼각부등식에 의하여 \[\begin{aligned} \left|\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}\left[f(t)-f(x_0)\right]\,dt\right| &\le \frac{1}{|h|}\int_{x_0\wedge(x_0+h)}^{x_0\vee(x_0+h)}\left|f(t)-f(x_0)\right|\,dt \\[6pt] &\le \frac{1}{|h|}\cdot\varepsilon|h|=\varepsilon \end{aligned}\] 이다. [\(h\)가 음수일 수도 있으므로 적분 구간의 방향에 신경을 써야 하는데, \(x\wedge y=\min(x,y)\), \(x\vee y=\max(x,y)\)로 나타내면 부호에 상관없이 같은 부등식이 성립한다.] 그러므로 \(0 < |h| < \delta\)일 때 \[ \left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\right|\le\varepsilon \] 이 성립하고, 이것은 바로 \[ \lim_{h\to0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0) \] 라는 뜻이다. 즉 \(F'(x_0)=f(x_0)\)이다.

미적분학의 제 2 기본정리.

함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 적분 가능하고, 함수 \(G\)가 \([a,\,b]\)에서 미분가능하며, 이 구간에서 \(G'=f\)를 만족시킨다고 하자. 그러면 \[ \int_a^bf=G(b)-G(a) \] 이다.

증명은 다음과 같다. 임의의 분할 \[ P:\,a=x_0 < \cdots < x_n=b \] 를 잡자. \(G\)는 각 소구간 \([x_{k-1},\,x_k]\)에서 미분가능하므로 평균값 정리를 사용할 수 있다. 즉 어떤 \(t_k\in(x_{k-1},x_k)\)가 존재하여 \[ G(x_k)-G(x_{k-1})=G'(t_k)(x_k-x_{k-1})=f(t_k)(x_k-x_{k-1}) \] 을 만족시킨다. \(k=1,\ldots,n\)일 때 위 등식을 변마다 더하면, 좌변에서 인접한 항끼리 상쇄되어 \[ G(b)-G(a)=\sum_{k=1}^nf(t_k)(x_k-x_{k-1}) \] 을 얻는다. 그런데 \(t_k\in[x_{k-1},x_k]\)이므로 \(m_k\le f(t_k)\le M_k\)이고, 따라서 \[ L(f,P)\le\sum_{k=1}^nf(t_k)(x_k-x_{k-1})=G(b)-G(a)\le U(f,P) \] 이다. 분할 \(P\)는 임의로 잡은 것이므로 이 부등식은 모든 분할에 대해 성립한다. \(P\)를 변수로 두고 \(L(f,P)\)의 상한을 취하면 \[ \underline{\int_a^b}f\le G(b)-G(a) \] 를 얻고, \(P\)를 변수로 두고 \(U(f,P)\)의 하한을 취하면 \[ G(b)-G(a)\le\overline{\int_a^b}f \] 를 얻는다. \(f\)는 적분 가능하므로 상적분과 하적분이 같고, 그 공통값이 \(\int_a^bf\)이다. 두 부등식을 합치면 \[ \int_a^bf\le G(b)-G(a)\le\int_a^bf \] 가 되어 \(\int_a^bf=G(b)-G(a)\)이다.

적분에 대한 평균값 정리. 함수 \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이면 \[ \int_a^bf=f(c)(b-a) \] 를 만족시키는 \(c\in[a,b]\)가 존재한다.

증명은 다음과 같다. 함수 \(f\)는 콤팩트 구간 위의 연속함수이므로 최대·최소 정리에 의하여 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 갖는다. \([a,b]\)의 모든 점에서 \(m\le f(x)\le M\)이 성립하므로, 순서보존성에 의하여 \[ m(b-a)\le\int_a^bf\le M(b-a) \] 이다. \(b > a\)이므로 양변을 \(b-a\)로 나누면 \[ m\le\frac{1}{b-a}\int_a^bf\le M \] 이다. \(f\)는 연속함수이므로 사잇값 정리에 의하여 \(m\)과 \(M\) 사이의 모든 값을 취한다. 위 부등식에 의하여 값 \[ \frac{1}{b-a}\int_a^bf \] 도 \(m\)과 \(M\) 사이에 있으므로, 함수 \(f\)가 이 값을 갖는 점 \(c\in[a,b]\)가 존재한다. 즉 \[ f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf \] 이므로, \(\int_a^bf=f(c)(b-a)\)이다.

미적분학의 기본정리를 사용하면, 미분의 역연산인 원시함수를 찾을 수 있는 함수의 정적분은 손쉽게 계산된다. 앞에서 언급한 정적분 \[ \int_a^bx^2\,dx \] 를 계산해 보자. 함수 \[ G(x)=\frac{x^3}{3} \] 에 대하여 \(G'(x)=x^2\)이 성립하므로, 미적분학의 제 2 기본정리에 의하여 위 적분값은 \[ G(b)-G(a) = \frac{b^3-a^3}{3} \] 이다. 그런데 이 계산에는 두 가지 전제가 있다. 미적분학의 제 1 기본정리는 \(f\)가 연속인 점에서만 미분과 적분이 서로 역연산이라는 사실을 보장했고, 제 2 기본정리에서는 원시함수 \(G\)가 존재한다고 가정했다. 이 전제가 정말로 필요한지, 리만 적분의 정의를 얼마나 더 확장할 수 있는지를 다음 절에서 살펴본다.

리만 적분의 한계

리만 적분은 연속함수, 단조함수, 불연속점이 유한 개인 함수까지 적분할 수 있다. 그런데 이 정도로 만족할 수 없는 이유가 있다. 이 절에서는 리만 적분의 정의만으로는 적분할 수 없는 함수의 예를 살펴본다.

디리클레 함수의 리만 적분 불가능성. 구간 \([0,1]\)에서 정의된 함수 \[ D(x)=\begin{cases}1 & (x\in\mathbb Q) \\[6pt] 0 & (x\notin\mathbb Q)\end{cases} \] 는 리만 적분 가능하지 않다.

이 함수를 디리클레 함수(Dirichlet function)라고 부른다. 디리클레가 1829년, 삼각급수의 수렴을 다룬 논문에서 반례로 제시한 함수이다. [디리클레는 그 논문에서 함수가 유한 개의 극댓값과 극솟값, 유한 개의 불연속점만 가지면 그 함수의 푸리에 급수가 원래 함수로 수렴한다는 사실을 증명했다. 이 조건이 정말로 필요한지 보이기 위하여, 조건을 극단적으로 위반하는 함수의 예로 유리수의 지시함수를 든 것이다. 훗날 리만이 이 문제를 이어받아 적분 자체를 엄밀히 정의하려 했다는 점에서, 디리클레의 이 예는 이 글 전체의 출발점인 셈이다.]

디리클레 함수가 적분 불가능함을 증명해 보자. 구간 \([0,1]\)의 임의의 분할 \[ P:\,0=x_0 < \cdots < x_n=1 \] 을 잡자. 유리수와 무리수는 각각 실직선에서 조밀하므로, 길이가 양수인 소구간 \([x_{k-1},\,x_k]\)에는 유리수와 무리수가 모두 들어 있다. 그러므로 모든 \(k\)에 대하여 \[ M_k=\sup_{[x_{k-1},x_k]}D=1,\quad m_k=\inf_{[x_{k-1},x_k]}D=0 \] 이 성립한다. 따라서 \[ U(D,P)=\sum_{k=1}^n1\cdot(x_k-x_{k-1})=1,\quad L(D,P)=\sum_{k=1}^n0\cdot(x_k-x_{k-1})=0 \] 이고, 이것은 \(P\)의 선택과 무관하게 항상 성립한다. 그러므로 \[ \overline{\int_0^1}D=\inf_PU(D,P)=1,\quad \underline{\int_0^1}D=\sup_PL(D,P)=0 \] 이다. \(0\neq 1\)이므로 \(D\)는 리만 적분 가능하지 않다.

그런데 더 심각한 문제가 있다. 적분 가능한 함수의 수열이 적분 가능하지 않은 함수로 수렴할 수 있다는 것이다.

극한과 적분이 교환되지 않는 예.

구간 \([0,1]\)의 유리수를 하나도 빠짐없이 \(q_1,\,q_2,\,q_3,\,\ldots\)로 나열하고, \[ f_n(x)=\begin{cases}1 & (x\in\{q_1,\ldots,q_n\}) \\[6pt] 0 & (\text{otherwise})\end{cases} \] 라고 하자. 그러면 각 \(f_n\)은 리만 적분 가능하고 \(\int_0^1f_n=0\)이지만, 함수열 \(\{f_n\}\)은 디리클레 함수 \(D\)로 점마다 수렴한다.

증명은 다음과 같다. \(f_n\)은 유한집합 \(\{q_1,\ldots,q_n\}\)의 바깥에서 항등적으로 \(0\)이고, 그 안의 \(n\)개의 점에서만 함숫값이 \(1\)이다. 즉 \(f_n\)이 불연속인 점은 \(\{q_1,\ldots,q_n\}\) 안에만 있을 수 있으며 많아야 \(n\)개이므로, 앞 절에서 증명한 정리에 의하여 \(f_n\)은 적분 가능하다. [\(q_1,\ldots,q_n\) 각각에서 \(f_n\)이 정말로 불연속인지 따질 필요는 없다. 불연속점의 개수가 유한 개라는 사실만으로 앞 절의 정리를 사용하기에 충분하다.]

이제 \(f_n\)의 적분값을 구하자. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. \(n\)개의 점 \(q_1,\ldots,q_n\) 각각을 길이가 \(\frac{\varepsilon}{2n}\)인 열린구간으로 덮고, 이 구간들의 양 끝점을 분할 \(P\)에 포함시키자. (구간이 \([0,1]\) 밖으로 나가는 부분은 잘라 낸다.) 이 \(n\)개의 작은 구간 바깥에서는 \(f_n\)의 함숫값이 \(0\)이므로 그 소구간에서 \(M_k=m_k=0\)이고, 작은 구간 안에 놓인 소구간에서는 \(M_k\le1\), \(m_k=0\)이다. [소구간 안에 \(q_i\) 외의 다른 점도 있으면 그 점에서 \(f_n\)의 값이 \(0\)이므로 하한은 \(0\)이다.] 그러므로 \[ 0=L(f_n,P)\le U(f_n,P)\le n\cdot\frac{\varepsilon}{2n}=\frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon \] 이다. [구간을 \([0,1]\)의 경계에서 잘라 낸 경우에는 길이가 \(\frac{\varepsilon}{2n}\)보다 짧아질 수 있으므로, 이 부등식은 여전히 성립한다.] 리만 판정법의 증명 과정에서 확인했듯이 \[ 0\le\int_0^1f_n\le U(f_n,P) < \varepsilon \] 이고, \(\varepsilon\)이 임의의 양수이므로 \(\int_0^1f_n=0\)이다.

이제 점별수렴을 확인하자. \(x\)가 무리수이면 \(x\)는 어떤 \(q_i\)와도 같지 않으므로 모든 \(n\)에 대하여 \(f_n(x)=0\)이고, 극한도 \(0=D(x)\)이다. \(x=q_j\)가 유리수이면 \(n\ge j\)인 모든 \(n\)에 대해 \(q_j\in\{q_1,\ldots,q_n\}\)이므로 \(f_n(x)=1\)이다. 즉 수열 \(\{f_n(x)\}\)는 결국 상수수열이 되어 극한도 \(1=D(x)\)이다. 그러므로 \([0,1]\)의 모든 점에서 \(f_n(x)\to D(x)\)이다.

이 예가 시사하는 바는 다음과 같다. 각 \(f_n\)은 불연속인 점이 유한 개뿐인, 다루기 쉬운 함수이고 그 적분값도 전부 \(0\)이다. 그러나 이 함수열의 점별극한은 리만 적분이 불가능한 함수가 된다. 즉 \(\lim_n\int_0^1f_n\)은 \(0\)으로 잘 정의되지만, \(\int_0^1\lim_nf_n\)은 애초에 정의되지 않는다. 극한과 적분의 순서 교환은 해석학 전체에서 널리 사용되는 도구인데, 리만 적분의 정의만으로는 이 도구를 자유롭게 사용할 수 없다.

불연속점 집합의 크기

지금까지 다르부의 상합과 하합으로 리만 적분을 정의하고, 적분 가능성을 판별하는 방법과 적분의 성질을 살펴보았으며, 디리클레 함수와 극한 교환의 예를 통해 리만 적분의 한계를 확인하였다.

리만 적분의 한계를 나타내는 두 예를 다시 보자. 디리클레 함수는 모든 점에서 불연속이다. 반면 단조함수는 불연속점이 무한히 많을 수 있지만 적분 가능했다. 두 함수의 적분 가능성에서 차이가 발생하는 이유는 뭘까? 짐작해 볼 수 있는 답은 이렇다. 불연속점이 무한히 많더라도, 그 점들이 실직선에서 차지하는 길이 자체가 작다면 적분은 여전히 가능할지 모른다. 반대로 디리클레 함수의 불연속점의 집합은 \([0,\,1]\) 전체이므로, 구간의 길이를 전부 차지한다. 즉 불연속점의 개수가 아니라 불연속점의 집합의 ‘길이’, 그것도 지금까지 정의한 적 없는 새로운 종류의 길이를 재는 도구가 필요하다. 불연속점의 집합이 정확히 어떤 조건을 만족시켜야 함수가 적분 가능한지에 대한 완전한 답은, 이 새로운 크기를 정의한 뒤에야 얻을 수 있다.

그 전에 다른 방향의 일반화를 먼저 살펴본다. 지금까지 적분은 항상 소구간의 길이 \(x_k-x_{k-1}\)이라는 균일한 기준으로 소구간에 크기를 배정하였다. 만약 이 기준을 바꾸어, 어떤 함수 \(\alpha\)의 증가분 \(\alpha(x_k)-\alpha(x_{k-1})\)로 소구간에 크기를 배정하면 무슨 일이 일어날까? 다음 글인 “리만-스틸체스 적분”에서 이 질문의 답을 찾아 보자.

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