이전 글에서 단조연산자와 헤미연속성의 개념을 정의하였다. 이제 이 개념을 결합하여 비선형방정식 \(T(u) = f\)의 해의 존재성을 보장하는 민티-브라우더 정리를 살펴보자.
이 정리는 힐베르트 공간에서의 렉스-밀그램 정리(Lax-Milgram theorem)를 비선형 바나흐 공간으로 확장한 것으로 볼 수 있다. 증명의 핵심 아이디어는 유한차원 근사(갈레르킨 방법)를 통해 근사해를 구하고, 단조성을 이용해 극한으로 보내는 것(민티의 기법)이다.
이 글에서 \(X\)는 반사적 실 바나흐 공간이고 \(X^*\)는 그 쌍대공간을 나타낸다.
정의 1. (강압적 연산자)
연산자 \(T : X \rightarrow X^*\)가 강압적(coercive)이라는 것은 원소의 크기가 커질 때 그에 상응하는 쌍대곱의 값도 충분히 커짐을 의미한다. 즉, \[\lim_{\|u\| \rightarrow \infty} \frac{\langle T(u),\, u \rangle}{\|u\|} = \infty .\]
이 조건은 해가 유한한 범위 내에 존재하도록(a priori bound) 강제하는 역할을 한다.
정리 2. (민티-브라우더 정리)
\(X\)가 반사적 바나흐 공간이고 \(T : X \rightarrow X^*\)가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
- \(T\)는 단조(monotone)이다.
- \(T\)는 헤미연속(hemicontinuous)이다.
- \(T\)는 강압적(coercive)이다.
그러면 \(T\)는 전사(surjective)이다. 즉, 임의의 \(f \in X^*\)에 대하여 방정식 \(T(u) = f\)는 적어도 하나의 해 \(u \in X\)를 가진다. 또한, 만약 \(T\)가 순단조(strictly monotone)라면 해는 유일하다.
이 정리의 표준 증명에서는 \(T\)가 유계집합을 유계집합으로 보내는 성질이 사용된다. 본 정리의 가정 아래에서는 이 성질이 성립하므로, 별도의 가정으로 넣지 않아도 된다. 따라서 아래 증명에서는 \(\{u_n\}\)이 유계이면 \(\{T(u_n)\}\)도 \(X^*\)에서 유계라는 사실을 사용한다.
증명
표준적인 갈레르킨 방법과 민티의 기법을 따르는 증명의 개요를 살펴보자.
- 먼저 \(X\)가 가분공간인 경우의 증명의 개요를 살펴보자.
\(X\)의 조밀한 부분집합 \(\{e_1,e_2,\dots\}\)를 택하고 \[X_n=\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_n\}\] 이라 두자. 그러면 \(X_n \subset X_{n+1}\)이고 \(\overline{\bigcup_{n=1}^\infty X_n}=X\)이다. 각 \(n\)에 대하여 다음을 만족하는 \(u_n\in X_n\)을 찾고자 한다: \[\langle T(u_n),v\rangle=\langle f,v\rangle,\qquad \forall v\in X_n.\] 이는 유한차원 공간 \(X_n\)에서의 문제이다. \(F_n:X_n\to X_n^*\)를 \[F_n(u)=T(u)|_{X_n}-f|_{X_n}\] 으로 두면, 유한차원에서는 헤미연속성으로부터 \(F_n\)의 연속성을 얻을 수 있다. 또한 강압성을 이용하면 브라우어의 부동점 정리(또는 그에 준하는 유한차원 존재 정리)를 사용하여 \(F_n(u_n)=0\)이 되는 \(u_n\in X_n\)의 존재를 보일 수 있다.
일반적인 공간(비가분공간)의 경우에는 적절한 유한차원 부분공간족을 사용하여 같은 방식으로 증명한다. - \(u_n\)이 선험적 유계성(A Priori Estimate) 조건을 만족시킴을 보이자.
\(v = u_n\)을 대입하면 \(\langle T(u_n),\, u_n \rangle = \langle f, u_n \rangle\)이다. 강압성 조건에 의해, 만약 \(\|u_n\| \to \infty\)라면 \[\frac{\langle f,\, u_n \rangle}{\|u_n\|} = \frac{\langle T(u_n),\, u_n \rangle}{\|u_n\|} \to \infty\] 가 되어야 하는데, \(\langle f,\, u_n \rangle / \|u_n\| \leq \|f\|\)이므로 모순이다. 따라서 수열 \(\{u_n\}\)은 유계이다. - 이제 약수렴과 민티의 기법(Minty's trick)을 사용하여 \(T\)가 전사임을 보이자.
\(X\)가 반사적이므로 \(\{u_n\}\)의 부분수열이 존재하여 어떤 \(u\in X\)에 대하여 \[u_n \rightharpoonup u\] 이다. 또한 앞에서 언급한 대로 \(T\)는 유계집합을 유계집합으로 보내므로 \(\{T(u_n)\}\)는 \(X^*\)에서 유계이다. \(X\)가 반사적이면 \(X^*\)도 반사적이므로, 다시 부분수열을 택하여 어떤 \(\chi\in X^*\)에 대하여 \[T(u_n)\rightharpoonup \chi\] 라 할 수 있다.
갈레르킨 근사식에서, 임의의 \(v\in \bigcup_{n=1}^\infty X_n\)에 대하여 충분히 큰 \(n\)에 대해서는 \(v\in X_n\)이므로 \[\langle T(u_n),v\rangle=\langle f,v\rangle\] 가 성립한다. \(n\to\infty\)로 보내면 \[\langle \chi,v\rangle=\langle f,v\rangle,\qquad \forall v\in \bigcup_{n=1}^\infty X_n.\] \(\bigcup_{n=1}^\infty X_n\)이 \(X\)에 조밀하므로 \(\chi=f\)이다. 따라서 \[T(u_n)\rightharpoonup f \qquad \text{in } X^*.\] 이제 \(T(u)=f\)임을 보여야 한다. 단조성에 의해 임의의 \(v\in X\)에 대하여 \[\langle T(u_n)-T(v),\,u_n-v\rangle\ge 0\] 이다. 이를 전개하면 \[\langle T(u_n),u_n\rangle-\langle T(u_n),v\rangle-\langle T(v),u_n\rangle+\langle T(v),v\rangle\ge 0\] 이다. 여기서 \(u_n\in X_n\)이므로 갈레르킨 식에 \(v=u_n\)를 대입하여 \[\langle T(u_n),u_n\rangle=\langle f,u_n\rangle\] 를 얻는다. 따라서 \[\langle f,u_n\rangle-\langle T(u_n),v\rangle-\langle T(v),u_n\rangle+\langle T(v),v\rangle\ge 0.\] 이제 \(n\to\infty\)로 보내면 \[\langle f,u\rangle-\langle f,v\rangle-\langle T(v),u\rangle+\langle T(v),v\rangle\ge 0,\] 즉 \[\langle f-T(v),\,u-v\rangle\ge 0\] 를 얻는다. 이 부등식은 모든 \(v\in X\)에 대하여 성립한다.
이제 \(v=u-tw\)를 대입하자. 단, \(t>0\), \(w\in X\)이다. 그러면 \[\langle f-T(u-tw),\,tw\rangle\ge 0\] 이므로 \[\langle f-T(u-tw),\,w\rangle\ge 0\] 이다. \(t\to 0^+\)로 보내면, 헤미연속성에 의해 \[\langle T(u-tw),w\rangle\to \langle T(u),w\rangle\] 이므로 \[\langle f-T(u),w\rangle\ge 0\] 를 얻는다. 이제 \(w\) 대신 \(-w\)를 대입하면 반대 부등식도 얻으므로 \[\langle f-T(u),w\rangle=0,\qquad \forall w\in X.\] 따라서 \(f-T(u)=0\), 즉 \(T(u)=f\)이다.
위 정리의 유일성 부분은 간단하게 증명된다. 만약 \(T(u) = f\)이고 \(T(v) = f\)라면, \[\langle T(u) - T(v),\, u - v \rangle = \langle f - f,\, u - v \rangle = 0\] 이다. \(T\)가 순단조라면 \(u \neq v\)일 때 좌변이 양수여야 하므로 모순이다. 따라서 \(u = v\)이다.
보기 3. (p-라플라스 방정식의 해)
유계인 영역 \(\Omega\)에서 다음 문제를 살펴보자. \[\begin{cases} -\operatorname{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=f & \text{in } \Omega,\\[6pt] u=0 & \text{on } \partial\Omega \end{cases}\] 여기서 \(f\in W^{-1,p'}(\Omega)\)이다.
연산자 \(A:W_0^{1,p}(\Omega)\to W^{-1,p'}(\Omega)\)를 \[\langle A(u),v\rangle=\int_\Omega |\nabla u|^{p-2}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\] 로 정의하자. 이전 글에서 보았듯이 \(A\)는 단조연산자이며, 연속이므로 헤미연속이다. 또한 \(W_0^{1,p}(\Omega)\)에서는 포앙카레 부등식에 의해 \(\|u\|_{W^{1,p}}\)와 \(\|\nabla u\|_{L^p}\)가 동치이므로 어떤 상수 \(C>0\)가 존재하여 \[\langle A(u),u\rangle =\int_\Omega |\nabla u|^p\,dx =\|\nabla u\|_{L^p}^p \ge C\|u\|_{W^{1,p}}^p\] 가 성립한다. 따라서 \[\frac{\langle A(u),u\rangle}{\|u\|_{W^{1,p}}} \ge C\|u\|_{W^{1,p}}^{p-1}\to\infty \qquad (\|u\|_{W^{1,p}}\to\infty)\] 즉 \(A\)는 강압적이다. 그러므로 민티-브라우더 정리에 의해 임의의 \(f\in W^{-1,p'}(\Omega)\)에 대하여 약해 \(u\in W_0^{1,p}(\Omega)\)가 적어도 하나 존재한다.
더 나아가, \(A\)가 순단조이므로, 위 약해는 실제로 유일하다.
민티-브라우더 정리는 시간 변수가 없는 정적(stationary) 문제, 즉 타원형 방정식을 풀 때 주로 사용된다. 하지만 열 방정식이나 파동 방정식과 같이 시간 변수가 포함된 발전 방정식(evolution equation)을 다루기 위해서는 단조연산자의 범위를 더 넓혀야 한다. 다음 글에서는 이러한 동적 문제를 다루기 위한 극대 단조연산자와 발전 방정식을 살펴보자.