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이 글에서는 자연수의 덧셈, 곱셈, 거듭제곱을 정의하고 이 연산의 기본 성질을 살펴본다. 덧셈, 곱셈, 거듭제곱의 정의 정리 1.  자연수의 연산의 정의. (1) 다음 두 조건을 모두 만족시키는 함수 \(+:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)이 유일하게 존재한다. 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(n+0 = n\), 임의의 자연수 \(n,\) \(m\)에 대하여 \(n+m^+ = (n+m)^+ .\) (2) 다음 두 …

지금은 내 마음을 붙잡아 둘게 이 감정이 너무 커져버려서 언젠가 너에게 전해질지도 몰라 앞으로 얼마나 긴 시간 동안 어떤 길을 걸어야 할까 당신의 사랑을 방해하지 않도록 부디 아름답게 성장해야 할텐데 그렇게 되기는 힘들겠지만 말이야 교차로에서 당신을 만났을 때 눈이 마주친 순간 시간이 멈췄어 파랑 신호로 바뀌고 누군가의 웃음소리가 들렸어 하지만 …

수학적 귀납법은 정의역이 자연수 집합인 함수의 성질을 밝힐 때뿐만 아니라 정의역이 자연수 집합인 함수를 정의할 때도 사용된다. 예컨대 \(a\)가 \(0\)이 아닌 실수이고 \(n\)이 자연수일 때 \[a^0 = 0 ,\quad a^{n+1} = a^n \times a\] 라고 정의하면, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 거듭제곱 \(a^n\)이 정의된다. 이와 같은 방법으로 정의된 함수를 귀납적으로 정의된 …

이 글에서 ‘자연수’는 \(0\) 이상인 정수를 이르는 것으로 약속한다. 자연수 집합의 정의 정의 1. 자연수를 다음과 같은 집합으로 정의한다. \[\begin{aligned} 0 &= \varnothing, \\[5pt] 1 &= 0^+ = \left\{ 0 \right\} ,\\[5pt] 2 &= 1^+ = \left\{ 0,\,1 \right\} ,\\[5pt] 3 &= 2^+ = \left\{ 0 ,\,1,\,2 \right\} , \\[5pt] …

거듭제곱집합과 데카르트 곱 ZF6. 거듭제곱집합 공리; Power set axiom. \(x\)가 집합이라고 하자. 그러면 \(x\)의 모든 부분집합만을 원소로 갖는 집합이 존재한다. \(x\)가 집합일 때 \(x\)의 모든 부분집합만을 원소로 갖는 집합은 유일하다. 그러므로 다음과 같이 정의한다. 정의 1. \(x\)가 집합일 때, \(x\)의 모든 부분집합만을 원소로 갖는 집합을 \(x\)의 거듭제곱집합(power set) 또는 멱집합이라고 …

집합론의 언어 집합론의 언어 \(\mathcal{L}\)이란 일차술어논리(FOPC; first order predicate calculus)에 이항관계기호 ‘∈’이 추가된 것이다. 여기서 이항관계기호 ‘∈’는 집합(set)이라고 불리는 두 대상 \(x\)와 \(X\) 사이의 ‘원소 관계’ \(x\in X\)를 나타낸다. 이로써 언어 \(\mathcal{L}\)은 다음과 같은 기호로 구성된 언어이다. 논리외적기호 ‘∈’ 논리기호 ‘∧’, ‘∨’, ‘￢’, ‘→’, ‘∀’, ‘∃’, ‘＝’ 괄호 ‘(’, ‘)’ …

원하지 않는 몸에 바라지 않는 영혼을 넣어 두고 그 몸을 감옥으로 만든 건 대체 누구야 혼란하고 어지러운 세상 아름다움이 가져온 질투라니 네 잘못이 아니야 이 세상이 비틀어진 게 문제지 그 모습 그대로 무죄야 그러니 괴로워하지 않았으면 해 언젠간 내가 너와 같이 그리고 네가 나와 같아질 수 있겠지 이 혼란이 계속되더라도 …

돌연히 우리의 모습을 돌아봐 도대체 뭐가 문제인 걸까 어떤 이는 순조롭게 살아가고 어떤 이는 안개 속에서도 꽃을 찾아 오늘 밤이야말로 오랫동안 닫았던 입을 열 때야 깊은 대화를 시작하자 나에게 물었지 이 세상이 왜 이렇게 복잡한지 어떤 이는 말을 못 하는 척하고 어떤 이는 앞을 못 보는 척해서 그렇다고 했지 진실은 …

나아지지 않을 거예요. 할 만큼 했어요. 달라질 건 없어요. 그냥 놓아두겠어요? 그리 나쁘지 않을 거예요. 더 이상 듣고 싶지 않아요. 가라앉고 있어요. 애쓰지 말아요. 끌어당기지 말아요. 올라가고 싶지 않아요. 나를 모르잖아요.

화려한 겉치레를 벗어버리고 마스카라를 떼어내고 하이힐을 벗은 후에도 여전히 자신 있게 설 수 있을까 박수가 멈춘 후에도 춤과 노래가 끝난 후에도 여전히 나를 생각하며 미소 지어주는 사람이 있을까 거울에 비친 모습이 참으로 생경해 어느 쪽이 진실한 나인지 혼란스러워 타인의 사랑으로 정의되는 존재 밀려오는 공허함과 두려움 꿈에 부풀었던 소녀의 기억을 잊어야 …

수많은 우여곡절 끝에 너를 향해 달려가는 길 오늘따라 왜 이렇게 길게만 느껴지는지 망설여 왔지만 이제 감정에 충실할 거야 너를 향한 이 마음이 변하지 않을 거야 아… 오랫동안 헤매고 있었어 아… 오랫동안 찾아왔어 그 사람이 바로 너야 조건 없이 마음을 열고 마주할 수 있는 사랑을 찾아 종착지를 모르고 계속되던 나의 걸음을 …

포기하지 않고 계속 달렸건만 열아홉이 되어서도 벗어날 수 없는 한계 아이폰을 타고 강타하는 잔소리 날 그저 감시 대상으로만 바라보지 나는 내 방식대로 살 거야 내가 달려갈 시간은 내가 정해 지구의 비밀 따위 알 게 뭐야 그런 건 우주비행사에게 맡겨야지 레이저빔 로켓처럼 솟아오를 거야 눈을 감아도 백일몽 따위 꾸지 않아 눈을 …