일반적인 벡터공간 앞서 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^n\)을 예시로 들어 벡터와 그 연산을 살펴보았지만, 벡터의 개념은 실제로 훨씬 더 일반적이다. 스칼라를 실수뿐만 아니라 복소수로도 확장해 생각할 수 있으며, 이러한 보다 넓은 맥락에서 벡터의 집합에 덧셈과 스칼라배를 정의하고, 이들이 만족해야 할 공리(axioms)를 정한다. 이렇게 정의된 구조를 벡터공간(vector space)이라고 부른다. 정의 1. (벡터공간) 체(field) …

유클리드 벡터공간 유클리드 공간(Euclidean space)은 우리 주변에서 가장 직관적으로 이해할 수 있는 벡터공간 중 하나이다. 예를 들어, 2차원 평면 상의 점 \((x,\,y)\)이나 3차원 공간의 점 \((x,\,y,\,z)\)를 좌표로 나타내어 생각할 수 있다. 이때, 이러한 점(좌표)이 지닌 특정한 성질들을 모아 “벡터”라는 구조로 다루고, 그에 대한 여러 연산을 정의함으로써 수학적 이론을 전개한다. 정의 …

연립일차방정식 해 집합의 표현 앞에서 살펴본 가우스 소거법과 가우스-조르단 소거법은 연립일차방정식 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)의 해를 구할 때, 단순히 해의 유무를 판별하는 것에 그치지 않고, 해가 여러 개 존재할 경우 그 구조까지 명확히 기술할 수 있도록 해 준다. 특히 무수히 많은 해가 존재하는 경우, 자유롭게 변하는 변수를 매개변수(parameter)로 설정하여 전체 해 …

가우스 소거법과 연립일차방정식 해법 연립일차방정식 \(A \mathbf{x} = \mathbf{b}\)의 해를 구하는 전통적이고도 강력한 방법 중 하나가 바로 가우스 소거법(Gaussian Elimination)이다. 가우스 소거법은 계수행렬과 상수항을 함께 다루는 증분행렬(augmented matrix)에 일련의 행 연산(row operation)을 적용하여, 방정식을 단계적으로 단순화한다. 이를 통해 해의 유일성, 무수히 많은 해, 해가 없는 경우 등을 명확히 판별할 수 …

계수행렬, 미지수 벡터, 상수항 벡터 연립일차방정식(Linear System)은 여러 개의 일차방정식을 동시에 만족하는 해(미지수)를 구하는 문제이다. 예를 들어 다음과 같은 형태의 연립방정식을 생각해 보자. \[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1,\\[6pt] a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2,\\[6pt] \quad\vdots\\[6pt] a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + …

시간이 무겁게 흐르는 날이었다. 수업이 끝난 오후, 바람 한 점 없는 날씨. 수학사 교수님은 우리에게 특별한 과제를 내주셨다. 반 세기 이상 된 책에서 정의하는 위상공간이 현대의 정의와 어떻게 다른지 찾아오라고 하셨다. 그것도 온라인 자료가 아닌 꼭 실물 책을 보고 찾아오라고 하셨다. “시간의 흐름 속에서 개념이 어떻게 변화하는지 직접 느껴봐요.” 교수님의 …

An kalten Morgen, wenn die Luft schwer und still über der Welt liegt, erwacht Fraxtep zuerst. Es ist da, wo der kalte Wind durch den Spalt des Fensters gleitet und den Vorhang sanft bewegt. In den Falten des Stoffs, in der kaum sichtbaren Erschütterung, ist Fraxtep spürbar. Es ist nicht …

온라인 세계가 우리의 일상이 되기 전에는 인간 관계를 이야기할 때, 물리적 공간을 기준으로 삼는 경우가 많았다고 한다. 얼굴을 마주하고, 손을 맞잡고, 그 순간의 온기를 나누는 관계가 더 진실하다고 여겼던 것이다. 그러나 이제 우리는 디지털 세계에서 새로운 관계를 맺는다. 온라인에서의 관계는 물리적 공간을 기반으로 하는 만남과는 다르다. 먼 대륙에 사는 사람들과 …

역행렬의 정의 역행렬(inverse matrix)은 행렬 연산에서 매우 중요한 역할을 하며, 주어진 행렬이 가역적(invertible)인지 판별하는 핵심 도구이다. 특히, \(n \times n\) 정사각행렬 \(A\)에 대해, 만약 \(A\)와 같은 크기의 행렬 \(A^{-1}\)가 존재하여 \[ AA^{-1} = A^{-1}A = I \] 를 만족시킨다면, \(A\)는 가역행렬(역행렬이 존재하는 행렬)이라 하며, \(A^{-1}\)를 \(A\)의 역행렬이라고 한다. 역행렬은 유일하게 …

세상에는 많은 의견이 있다. 살아가는 동안 무엇이 중요한지, 무엇을 남겨야 하는지에 대한 생각은 사람마다 다르다. 어떤 이는 삶의 근본적인 목적을 ‘남김’에 두기도 한다. 자신이 가진 것을 남기고, 자신이 얻은 것을 이어가는 것. 그것은 흔히 자연스러운 일로 여겨진다. 자신이 지닌 것을 후대에 물려주는 일은 인간뿐만 아니라 모든 생명체에 걸쳐 존재하는 행위다. …

교대성, 선형성 등 행렬식은 행렬의 각 행(또는 열)에 대해 선형성을 가지며, 동시에 교대성을 띠는 다중 선형 함수(multilinear function)이다. 이 성질들은 행렬식의 계산과 해석에 있어 매우 중요한 역할을 하며, 행렬식이 선형변환에 의한 체적 변화나, 선형연립방정식의 해의 존재 여부를 결정하는 데 기초적인 도구로 작용한다. 구체적으로, 행렬식의 주요 성질은 다음과 같다. 정리 1. …

밤은 고요했다. 그러나 그 고요함은 단순하지 않았다. 바람이 창문 틈으로 스며들며 귓가를 간질이고, 나는 스크린 속에 떠오르는 한 목소리를 따라갔다. 『佳人』의 첫 소절이 울렸다. 꿈결을 걷는 듯한 목소리와 반복되는 가사가 나를 사로잡았다. 어둠 속에서 그 목소리는 내 손바닥 위로 떨어지는 빛처럼 섬세하고도 확고했다. 刘柏辛, 화면의 한 귀퉁이에 떠오른 이름은 나에게 …