표준기저를 통한 변환 행렬 유도 표준기저(standard basis)는 \(\mathbb{R}^n\)에서 가장 직관적으로 정의되는 기저로서, 선형변환을 행렬로 표현하기에 매우 편리하다. 특히 표준기저에 대한 좌표를 이용하면, 선형변환 \(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)을 직접 행렬 곱셈으로 해석할 수 있다. 구체적으로, \(\mathbb{R}^n\)의 표준기저를 다음과 같이 표기한다. \[\begin{gathered} \mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0), \\[6pt] \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0), \\[6pt] \vdots \\[6pt] …

선형변환의 개념 벡터공간 사이의 사상(함수) 중에서 가장 중요하게 다뤄지는 것이 선형변환(linear transformation)이다. 선형변환은 대수적 구조(벡터 덧셈과 스칼라배)를 보존하기 때문에, 연립방정식·행렬연산·미분방정식 등 다양한 분야에서 근본적인 역할을 담당한다. 정의 1. (선형변환) 벡터공간 \(V\)와 \(W\)가 같은 체 \(\mathbf{F}\) 위에 정의되어 있다고 하자. 함수 \(T: V \to W\)가 선형변환(linear transformation)이라는 것은, 다음 두 조건을 …

기저 변경과 좌표 변환 공식 유한 차원 벡터공간에서, 하나의 기저를 기준으로 한 벡터의 좌표 표현이 다른 기저로 바뀌면 벡터의 실제 “위치”나 “방향”은 같지만, 그를 나타내는 좌표 벡터가 달라진다. 이를 좌표 변환(coordinate transformation)이라 하며, 기저 변경 간의 상호 변환을 나타내는 선형사상을 잘 이해하는 것이 중요하다. 예를 들어, 벡터공간 \(V\)에 두 개의 …

행렬 공간의 기저 행렬 공간은 벡터공간의 한 예로서, 구체적이면서도 다양한 응용을 품고 있다. 가장 대표적인 예시로는 모든 \(m \times n\) 행렬을 모은 집합 \(M_{m \times n}(\mathbf{F})\)가 있다. 이 공간에서의 벡터연산(행렬 덧셈, 스칼라배)은 각 원소를 성분별로 처리하기 때문에, 일반적인 벡터공간 공리와 자연스럽게 어우러진다. 이제 행렬 공간에 대한 기저를 찾아보자. 기저란, 전체 …

유한 차원과 무한 차원 벡터공간에 기저가 존재한다면, 그 기저의 원소가 유한 개인지 혹은 무한 개인지에 따라 해당 벡터공간을 유한 차원(finite-dimensional) 혹은 무한 차원(infinite-dimensional)이라고 한다. 예컨대 \(\mathbb{R}^n\)은 \(n\)개의 표준기저로 충분히 전체 공간을 생성하기 때문에 유한 차원의 대표적인 예시이며, 다항식공간처럼 기저가 무한하게 필요한 경우(또는 무한 차수를 허용하는 함수공간 등)는 무한 차원 벡터공간의 …

기저의 정의와 성질 벡터공간에서 기저(basis)는 “전체 공간을 생성(spanning)하면서 동시에 일차독립인” 벡터들의 집합이다. 이는 벡터공간을 효율적으로 이해하고 계산할 수 있도록 해주는 핵심 개념으로, 기저가 있으면 벡터공간의 임의의 원소를 그 기저 벡터들의 일차결합으로 유일하게 표현할 수 있다. 이러한 성질은 곧 벡터공간의 ‘좌표화’를 가능케 하며, 이를 통해 차원(dimension)이나 좌표변환과 같은 개념을 정의할 수 …

일차결합과 스팬 벡터공간에서 가장 중요한 개념 중 하나는 일차결합과 스팬(span)이다. 여러 벡터들을 적절한 스칼라배와 덧셈으로 조합하여 새로운 벡터를 만들 수 있는지 여부가, 벡터공간을 분석하는 핵심적인 방법을 제공하기 때문이다. 정의 1. (일차결합) 벡터공간 \(V\)에서 벡터 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \in V\)가 주어졌다고 하자. 임의의 스칼라 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k\)에 대하여, \[ …

부분공간의 뜻 벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(W\)가 단순히 “집합의 부분”이라는 이유만으로 자동으로 벡터공간이 되는 것은 아니다. \(W\)가 실제로 부분공간(subspace)이 되려면, \(V\) 위에서 정의된 연산(덧셈과 스칼라배)이 제한(restriction)되었을 때에도 여전히 모든 벡터공간 공리를 만족해야 한다. 이를 보다 간단히 표현하면, 부분공간이 되기 위한 세 가지 핵심 조건을 확인하면 된다. 정의 1. (부분공간) \(\mathbf{F}\)-벡터공간 \(V\)의 …

일반적인 벡터공간 앞서 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^n\)을 예시로 들어 벡터와 그 연산을 살펴보았지만, 벡터의 개념은 실제로 훨씬 더 일반적이다. 스칼라를 실수뿐만 아니라 복소수로도 확장해 생각할 수 있으며, 이러한 보다 넓은 맥락에서 벡터의 집합에 덧셈과 스칼라배를 정의하고, 이들이 만족해야 할 공리(axioms)를 정한다. 이렇게 정의된 구조를 벡터공간(vector space)이라고 부른다. 정의 1. (벡터공간) 체(field) …

유클리드 벡터공간 유클리드 공간(Euclidean space)은 우리 주변에서 가장 직관적으로 이해할 수 있는 벡터공간 중 하나이다. 예를 들어, 2차원 평면 상의 점 \((x,\,y)\)이나 3차원 공간의 점 \((x,\,y,\,z)\)를 좌표로 나타내어 생각할 수 있다. 이때, 이러한 점(좌표)이 지닌 특정한 성질들을 모아 “벡터”라는 구조로 다루고, 그에 대한 여러 연산을 정의함으로써 수학적 이론을 전개한다. 정의 …

연립일차방정식 해 집합의 표현 앞에서 살펴본 가우스 소거법과 가우스-조르단 소거법은 연립일차방정식 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)의 해를 구할 때, 단순히 해의 유무를 판별하는 것에 그치지 않고, 해가 여러 개 존재할 경우 그 구조까지 명확히 기술할 수 있도록 해 준다. 특히 무수히 많은 해가 존재하는 경우, 자유롭게 변하는 변수를 매개변수(parameter)로 설정하여 전체 해 …