기저의 정의와 성질 벡터공간에서 기저(basis)는 “전체 공간을 생성(spanning)하면서 동시에 일차독립인” 벡터들의 집합이다. 이는 벡터공간을 효율적으로 이해하고 계산할 수 있도록 해주는 핵심 개념으로, 기저가 있으면 벡터공간의 임의의 원소를 그 기저 벡터들의 일차결합으로 유일하게 표현할 수 있다. 이러한 성질은 곧 벡터공간의 ‘좌표화’를 가능케 하며, 이를 통해 차원(dimension)이나 좌표변환과 같은 개념을 정의할 수 …

일차결합과 스팬 벡터공간에서 가장 중요한 개념 중 하나는 일차결합과 스팬(span)이다. 여러 벡터들을 적절한 스칼라배와 덧셈으로 조합하여 새로운 벡터를 만들 수 있는지 여부가, 벡터공간을 분석하는 핵심적인 방법을 제공하기 때문이다. 정의 1. (일차결합) 벡터공간 \(V\)에서 벡터 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \in V\)가 주어졌다고 하자. 임의의 스칼라 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k\)에 대하여, \[ …

부분공간의 뜻 벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(W\)가 단순히 “집합의 부분”이라는 이유만으로 자동으로 벡터공간이 되는 것은 아니다. \(W\)가 실제로 부분공간(subspace)이 되려면, \(V\) 위에서 정의된 연산(덧셈과 스칼라배)이 제한(restriction)되었을 때에도 여전히 모든 벡터공간 공리를 만족해야 한다. 이를 보다 간단히 표현하면, 부분공간이 되기 위한 세 가지 핵심 조건을 확인하면 된다. 정의 1. (부분공간) \(\mathbf{F}\)-벡터공간 \(V\)의 …

일반적인 벡터공간 앞서 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^n\)을 예시로 들어 벡터와 그 연산을 살펴보았지만, 벡터의 개념은 실제로 훨씬 더 일반적이다. 스칼라를 실수뿐만 아니라 복소수로도 확장해 생각할 수 있으며, 이러한 보다 넓은 맥락에서 벡터의 집합에 덧셈과 스칼라배를 정의하고, 이들이 만족해야 할 공리(axioms)를 정한다. 이렇게 정의된 구조를 벡터공간(vector space)이라고 부른다. 정의 1. (벡터공간) 체(field) …

유클리드 벡터공간 유클리드 공간(Euclidean space)은 우리 주변에서 가장 직관적으로 이해할 수 있는 벡터공간 중 하나이다. 예를 들어, 2차원 평면 상의 점 \((x,\,y)\)이나 3차원 공간의 점 \((x,\,y,\,z)\)를 좌표로 나타내어 생각할 수 있다. 이때, 이러한 점(좌표)이 지닌 특정한 성질들을 모아 “벡터”라는 구조로 다루고, 그에 대한 여러 연산을 정의함으로써 수학적 이론을 전개한다. 정의 …

연립일차방정식 해 집합의 표현 앞에서 살펴본 가우스 소거법과 가우스-조르단 소거법은 연립일차방정식 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)의 해를 구할 때, 단순히 해의 유무를 판별하는 것에 그치지 않고, 해가 여러 개 존재할 경우 그 구조까지 명확히 기술할 수 있도록 해 준다. 특히 무수히 많은 해가 존재하는 경우, 자유롭게 변하는 변수를 매개변수(parameter)로 설정하여 전체 해 …

가우스 소거법과 연립일차방정식 해법 연립일차방정식 \(A \mathbf{x} = \mathbf{b}\)의 해를 구하는 전통적이고도 강력한 방법 중 하나가 바로 가우스 소거법(Gaussian Elimination)이다. 가우스 소거법은 계수행렬과 상수항을 함께 다루는 증분행렬(augmented matrix)에 일련의 행 연산(row operation)을 적용하여, 방정식을 단계적으로 단순화한다. 이를 통해 해의 유일성, 무수히 많은 해, 해가 없는 경우 등을 명확히 판별할 수 …

계수행렬, 미지수 벡터, 상수항 벡터 연립일차방정식(Linear System)은 여러 개의 일차방정식을 동시에 만족하는 해(미지수)를 구하는 문제이다. 예를 들어 다음과 같은 형태의 연립방정식을 생각해 보자. \[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1,\\[6pt] a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2,\\[6pt] \quad\vdots\\[6pt] a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + …

오늘날 “프락스텝(Fraxtep)”은 우리 일상 속에서 자연스럽게 사용되는 단어로 자리 잡았다. 사람들은 일상의 틈새와 순간을 설명하는 데 이 단어를 즐겨 사용한다. 많은 사람들이 독일어라고 생각하는 이 단어는 사실 한국에서 창안되었다. “프락스텝”의 시작은 2025년 1월 12일, 한국의 김주리(Kim Juli) 작가가 발표한 한 편의 수필 형식 소설이었다. 이 소설은 독특하게도 글 전체가 독일어로 …

시간이 무겁게 흐르는 날이었다. 수업이 끝난 오후, 바람 한 점 없는 날씨. 수학사 교수님은 우리에게 특별한 과제를 내주셨다. 반 세기 이상 된 책에서 정의하는 위상공간이 현대의 정의와 어떻게 다른지 찾아오라고 하셨다. 그것도 온라인 자료가 아닌 꼭 실물 책을 보고 찾아오라고 하셨다. “시간의 흐름 속에서 개념이 어떻게 변화하는지 직접 느껴보게.” 교수님의 …

An kalten Morgen, wenn die Luft schwer und still über der Welt liegt, erwacht Fraxtep zuerst. Es ist da, wo der kalte Wind durch den Spalt des Fensters gleitet und den Vorhang sanft bewegt. In den Falten des Stoffs, in der kaum sichtbaren Erschütterung, ist Fraxtep spürbar. Es ist nicht …

온라인 세계가 우리의 일상이 되기 전에는 인간 관계를 이야기할 때, 물리적 공간을 기준으로 삼는 경우가 많았다고 한다. 얼굴을 마주하고, 손을 맞잡고, 그 순간의 온기를 나누는 관계가 더 진실하다고 여겼던 것이다. 그러나 이제 우리는 디지털 세계에서 새로운 관계를 맺는다. 온라인에서의 관계는 물리적 공간을 기반으로 하는 만남과는 다르다. 먼 대륙에 사는 사람들과 …