이전 글에서 단조연산자와 헤미연속성의 개념을 정의하였다. 이제 이 개념을 결합하여 비선형방정식 \(T(u) = f\)의 해의 존재성을 보장하는 민티-브라우더 정리를 살펴보자.
이 정리는 힐베르트 공간에서의 렉스-밀그램 정리(Lax-Milgram theorem)를 비선형 바나흐 공간으로 확장한 것으로 볼 수 있다. 증명의 핵심 아이디어는 유한차원 근사(갈레르킨 방법)를 통해 근사해를 구하고, 단조성을 이용해 극한으로 보내는 것(민티의 기법)이다.
이 글에서 \(X\)는 반사적 실 바나흐 공간이고 \(X^*\)는 그 쌍대공간을 나타낸다.
정의 1. (강압적 연산자)
연산자 \(T : X \rightarrow X^*\)가 강압적(coercive)이라는 것은 원소의 크기가 커질 때 그에 상응하는 쌍대곱의 값도 충분히 커짐을 의미한다. 즉, \[\lim_{\|u\| \rightarrow \infty} \frac{\langle T(u),\, u \rangle}{\|u\|} = \infty .\]
이 조건은 해가 유한한 범위 내에 존재하도록(a priori bound) 강제하는 역할을 한다.
정리 2. (민티-브라우더 정리)
\(X\)가 반사적 바나흐 공간이고 \(T : X \rightarrow X^*\)가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
- \(T\)는 단조(monotone)이다.
- \(T\)는 헤미연속(hemicontinuous)이다.
- \(T\)는 강압적(coercive)이다.
그러면 \(T\)는 전사(surjective)이다. 즉, 임의의 \(f \in X^*\)에 대하여 방정식 \(T(u) = f\)는 적어도 하나의 해 \(u \in X\)를 가진다. 또한, 만약 \(T\)가 순단조(strictly monotone)라면 해는 유일하다.
이 정리는 \(T\)가 유계임을 가정하지 않았지만, \(X\)가 전체 공간일 때 단조연산자는 국소적으로 유계가 된다는 사실이 알려져 있다. 증명 과정에서 이 성질이 암묵적으로 사용된다.
증명
세 단계로 나누어 증명의 개요를 살펴보자.
- 유한차원 근사(갈레르킨 방법)를 사용하여 \(u_n\)을 구성하자.
\(X\)가 가분공간이라고 가정하자. (일반적인 경우도 유사하게 증명된다.) \(X\)의 유한차원 부분공간들의 열 \(X_k\)를 잡되, \(X_k \subset X_{k+1},\) 그리고 \(\overline{\cup X_k} = X\)를 만족시키도록 하자. \(X_k\)의 기저를 \(\{e_1, \ldots, e_n\}\)이라 하자. 우리는 다음을 만족시키는 근사해 \(u_n \in X_n\)을 찾고자 한다. \[\langle T(u_n), v \rangle = \langle f, v \rangle, \quad \forall v \in X_n .\] 이것은 유한차원 공간에서의 문제이다. 함수 \(F_n : X_n \rightarrow X_n^* \cong X_n\)을 정의하여 브라우어 부동점 정리를 적용하면, 강압성 조건에 의해 \(T(u_n) \approx f\)를 만족시키는 \(u_n\)이 존재함을 보일 수 있다. - \(u_n\)이 선험적 유계성(A Priori Estimate) 조건을 만족시킴을 보이자.
\(v = u_n\)을 대입하면 \(\langle T(u_n),\, u_n \rangle = \langle f, u_n \rangle\)이다. 강압성 조건에 의해, 만약 \(\|u_n\| \to \infty\)라면 \[\frac{\langle f,\, u_n \rangle}{\|u_n\|} = \frac{\langle T(u_n),\, u_n \rangle}{\|u_n\|} \to \infty\] 가 되어야 하는데, \(\langle f,\, u_n \rangle / \|u_n\| \leq \|f\|\)이므로 모순이다. 따라서 수열 \(\{u_n\}\)은 유계이다. - 이제 약수렴과 민티의 기법(Minty's Trick)을 사용하여 \(T\)가 전사임을 보이자.
\(X\)가 반사적이므로 \(\{u_n\}\)의 부분수열이 존재하여 \(u\)로 약수렴한다. 즉 \(u_n \rightharpoonup u\)이다. 또한 \(T\)는 국소 유계이므로 \(\{T(u_n)\}\)도 유계이며, \(X^*\)에서 어떤 \(\chi\)로 약수렴한다. 즉 \(T(u_n) \rightharpoonup \chi\)이다. 갈레르킨 근사식에서 극한을 취하면, 임의의 \(v \in \cup X_n\)에 대해 \(\langle \chi,\, v \rangle = \langle f,\, v \rangle\)이다. \(\cup X_n\)이 조밀하므로 \(\chi = f\)이다. 즉 \(T(u_n) \rightharpoonup f\)이다.
이제 \(T(u) = f\)임을 보여야 한다. 단조성에 의해 임의의 \(v \in X\)에 대해 \[\langle T(u_n) - T(v),\, u_n - v \rangle \geq 0\] 이다. 이를 전개하면 \[\langle T(u_n),\, u_n \rangle - \langle T(u_n),\, v \rangle - \langle T(v),\, u_n \rangle + \langle T(v),\, v \rangle \geq 0\] 이다. 여기서 \(\langle T(u_n),\, u_n \rangle = \langle f,\, u_n \rangle\)을 사용하여 식을 변형하고 \(n \to \infty\)인 극한을 취하면 \[\langle f, u \rangle - \langle f, v \rangle - \langle T(v), u \rangle + \langle T(v), v \rangle \geq 0\] 즉 \[\langle f - T(v), u - v \rangle \geq 0\] 을 얻는다. 이 부등식은 모든 \(v \in X\)에 대하여 성립한다.
이제 \(v = u - t w\)를 대입하자. (단, \(t > 0, w \in X\).) \[\langle f - T(u - tw),\, t w \rangle \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad \langle f - T(u - tw),\, w \rangle \geq 0 .\] \(t \to 0\)인 극한을 취하면, \(T\)의 헤미연속성에 의해, 약한 위상에서 \(T(u - tw) \to T(u)\)이므로 \[\langle f - T(u),\, w \rangle \geq 0\] 이다. \(w\)가 임의의 벡터이므로, 위 식에서 \(w\) 대신 \(-w\)를 대입하면 부등호가 반대가 된다. 결국 \(f - T(u) = 0\), 즉 \(T(u) = f\)이다.
위 정리의 유일성 부분은 간단하게 증명된다. 만약 \(T(u) = f\)이고 \(T(v) = f\)라면, \[\langle T(u) - T(v),\, u - v \rangle = \langle f - f,\, u - v \rangle = 0\] 이다. \(T\)가 순단조라면 \(u \neq v\)일 때 좌변이 양수여야 하므로 모순이다. 따라서 \(u = v\)이다.
보기 3. (p-라플라스 방정식의 해)
유계인 영역 \(\Omega\)에서 다음 문제를 살펴보자. \[\begin{cases} -\operatorname{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u) = f & \text{in } \Omega \\[6pt] u = 0 & \text{on } \partial\Omega \end{cases}\] 여기서 \(f \in W^{-1,\, p'}(\Omega)\)이다.
연산자 \(A(u) = -\operatorname{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)\)는 이전 글에서 보았듯이 단조연산자이며, 연속이므로 헤미연속이다. 또한 \[\frac{\langle A(u), u \rangle}{\|u\|_{1,\,p}} = \frac{\int |\nabla u|^p}{\|u\|_{1,\,p}} = \frac{\|u\|_{1,\,p}^p}{\|u\|_{1,\,p}} = \|u\|_{1,\,p}^{p-1}\] 이므로 \(p > 1\)이면 강압적이다. 따라서 민티-브라우더 정리에 의해 임의의 \(f\)에 대해 약해 \(u \in W_0^{1,\,p}(\Omega)\)가 존재한다.
민티-브라우더 정리는 시간 변수가 없는 정적(stationary) 문제, 즉 타원형 방정식을 풀 때 주로 사용된다. 하지만 열 방정식이나 파동 방정식과 같이 시간 변수가 포함된 발전 방정식(evolution equation)을 다루기 위해서는 단조연산자의 범위를 더 넓혀야 한다. 다음 글에서는 이러한 동적 문제를 다루기 위한 극대 단조연산자와 발전 방정식을 살펴보자.