이전 글에서 유한차원 공간에서의 브라우어 부동점 정리를 살펴보았다. 그러나 무한차원 바나흐 공간에서는 닫힌 단위 공이 컴팩트 집합이 아니므로, 단순히 “유계이고 닫힌 볼록 집합”이라는 조건만으로는 부동점의 존재를 보장할 수 없다.
이 문제를 해결하기 위해 율리우스 샤우더(Julius Schauder)는 브라우어의 아이디어를 무한차원으로 확장했다. 핵심은 “정의역이 컴팩트 집합”이거나 또는 “연산자가 컴팩트 연산자”여야 한다는 것이다. 이 정리는 타원형 편미분방정식이나 나비에-스토크스 방정식과 같은 비선형 문제의 해의 존재성을 증명하는 데 결정적인 역할을 한다.
이 글에서 \(X\)는 바나흐 공간을 나타낸다.
정리 1. (샤우더 부동점 정리 - 기본형)
\(K\)가 바나흐 공간 \(X\)의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 또한 \(K\)가 볼록한 컴팩트 집합이라고 하자.
만약 \(T : K \rightarrow K\)가 연속함수라면, \(T\)는 \(K\) 내에서 적어도 하나의 부동점을 가진다.
이 정리는 브라우어 부동점 정리의 직접적인 일반화이다. 하지만 응용 측면에서는 집합 \(K\) 자체가 컴팩트인 경우보다, \(K\)는 단지 닫혀 있고 유계이면서 연산자 \(T\)가 좋은 성질(컴팩트성)을 가지는 경우가 더 많다. 따라서 다음의 형태가 더 자주 사용된다.
정리 2. (샤우더 부동점 정리 - 연산자형)
\(C\)가 바나흐 공간 \(X\)의 유계인 부분집합이고, 공집합이 아니며, 볼록한 집합이라고 하자.
만약 \(T : C \rightarrow C\)가 컴팩트 연산자이면(즉 연속이며 \(T(C)\)가 상대적 컴팩트 집합이면), \(T\)는 \(C\) 내에서 적어도 하나의 부동점을 가진다.
이 정리를 증명하는 핵심 아이디어는 “유한차원 근사(finite dimensional approximation)”이다. 무한차원 공간의 컴팩트 집합은 유한차원 공간으로 아주 가깝게 근사할 수 있다는 사실을 이용해 브라우어 부동점 정리를 적용하는 것이다.
증명
여기서는 정리 1의 증명의 개요를 살펴보자. \(K\)가 컴팩트 집합이므로, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여 유한 개의 점 \(\{x_1,\, \ldots,\, x_n\} \subset K\)를 중심으로 하고 반지름이 \(\varepsilon\)인 공들이 \(K\)를 덮을 수 있다. (\(K\)가 유한인 \(\varepsilon\) 그물을 갖기 때문이다.)
이제 \(K\)의 점들을 이 유한 개의 점들의 볼록 결합(convex hull)으로 보내는 샤우더 사영(Schauder Projection) \(P_\varepsilon\)을 구성할 수 있다. \(P_\varepsilon\)의 치역 \(K_\varepsilon\)은 유한차원 공간의 닫힌 유계 볼록 집합(단체; simplex)의 부분집합이 된다.
합성함수 \(P_\varepsilon \circ T : K_\varepsilon \rightarrow K_\varepsilon\)을 생각하자. 이 함수는 유한차원 컴팩트 볼록 집합에서 자기 자신으로 가는 연속함수이므로, 브라우어의 부동점 정리에 의해 다음과 같은 부동점 \(x_\varepsilon\)을 가진다. \[P_\varepsilon(T(x_\varepsilon)) = x_\varepsilon .\] \(\varepsilon\)을 \(1/n\)로 잡고 극한을 취하면, \(K\)의 컴팩트성에 의해 수열 \(\{x_{1/n}\}\)은 어떤 점 \(x^* \in K\)로 수렴하는 부분수열을 가진다. \(T\)와 \(P_\varepsilon\)의 연속성과 근사 성질에 의해, 이 극한점 \(x^*\)가 \(T(x^*) = x^*\)를 만족함을 보일 수 있다.
바나흐의 축소 사상 원리는 미분방정식 \(y' = f(t,\, y)\)에서 \(f\)가 립시츠 연속일 때 해의 유일성과 존재성을 보장한다(피카르-린델뢰프 정리). 샤우더의 부동점 정리를 사용하면, \(f\)가 단순히 연속이기만 해도 해가 존재함을 보일 수 있다. (단, 유일성은 보장되지 않는다.)
정리 3. (페아노의 정리)
\(f(t,\, y)\)가 \((t_0,\, y_0)\) 근방의 직사각형 영역에서 연속이라고 하자. 그러면 초깃값 문제 \(y' = f(t,\, y), \,\, y(t_0) = y_0\)는 \(t_0\)의 적당한 근방에서 적어도 하나의 해를 가진다.
증명
문제를 적분방정식 \(y = Ty\)로 변환한다. \[(Ty)(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s, y(s)) \, ds .\] 최대 노름이 주어진 함수 공간 \(X = C[t_0-\delta,\, t_0+\delta]\)를 생각하자. 적당한 닫힌 볼록 집합 \(C\)를 잡으면(즉 유계인 함수들의 집합을 잡으면) \(T\)는 \(C\)를 \(C\)로 보낸다.
- \(f\)가 립시츠 연속이 아니므로 \(T\)는 축소 사상이 아닐 수 있다. (바나흐 정리를 사용할 수 없다.)
- 하지만 \(f\)가 유계이므로, \(Ty\)의 도함수 \((Ty)' = f(t,\, y)\)도 유계이다.
- 도함수가 유계라는 것은 함수들이 동등 연속(equicontinuous)임을 의미한다.
- 아첼라-아스콜리 정리(Arzelà-Ascoli theorem)에 의하여, 유계이고 동등 연속인 함수들의 집합은 컴팩트 집합이다.
따라서 연산자 \(T\)는 컴팩트 연산자이다. 샤우더 부동점 정리(정리 2)에 의하여 부동점 \(y\)가 존재하며, 이 부동점은 미분방정식의 해가 된다.
보기 4. (해의 유일성이 보장되지 않는 예)
초깃값 문제 \(y' = \sqrt{|y|},\) \(y(0)=0\)을 살펴보자. 함수 \(\sqrt{|y|}\)는 \(y=0\)에서 립시츠 연속이 아니지만 연속이다. 페아노의 정리에 의해 해가 존재한다. 실제로 \[y(t) = 0 \quad \text{그리고} \quad y(t) = \frac{1}{4}t^2 \,\, (t \ge 0)\] 등 무수히 많은 해가 존재한다. 샤우더 부동점 정리는 이처럼 해가 존재한다는 것만 알려줄 뿐, 유일하다는 것은 보장하지 않는다.
샤우더 부동점 정리는 강력하지만, “볼록 집합을 자기 자신으로 보낸다”라는 조건, 즉 \(T(C) \subset C\)라는 조건을 확인하는 것이 까다로울 때가 있다. 이러한 경우에 해의 ‘유계성(a priori bound)’만으로 존재성을 보장하는 정리가 있는데, 그것이 바로 다음 글에서 다룰 셰퍼의 부동점 정리(Schaefer’s fixed point theorem)이다.