일변수 미적분학에서 함수의 도함수 \(f'\)가 다시 미분가능하면 이계도함수 \(f''\)을 정의할 수 있다. 이와 마찬가지로, 바나흐 공간 사이의 함수 \(F : X \rightarrow Y\)에 대해서도 프레셰 도함수 \(F' : X \rightarrow B(X, Y)\)가 다시 미분가능하다면 이계도함수를 정의할 수 있다.
이 글에서는 고계도함수의 정의를 살펴보고, 이것을 바탕으로 무한차원 공간에서의 테일러 정리(Taylor's Theorem)를 유도한다. 이 글에서 \(X,\) \(Y\)는 실바나흐 공간이며, \(U\)는 \(X\)의 열린 부분집합이다.
정의 1. (이계 프레셰 도함수)
\(F : U \rightarrow Y\)가 \(U\)에서 프레셰 미분가능하다고 하자. 도함수 \(F' : U \rightarrow B(X, Y)\)가 \(x \in U\)에서 프레셰 미분가능할 때, 그 도함수를 \(F\)의 이계 프레셰 도함수(second Fréchet derivative)라고 부르며 \(F''(x)\)로 표기한다.
여기서 \(F''(x)\)가 어떤 공간에 속하는지 주의 깊게 살펴볼 필요가 있다. 정의에 따라 \(F''(x)\)는 \(X\)에서 \(B(X, Y)\)로 가는 선형연산자이다. 즉, \[F''(x) \in B(X, B(X, Y))\] 이다. 그러나 이 형태는 직관적으로 다루기 어렵다. 다행히도, 우리는 등거리 동형사상을 통해 이 공간을 이중 선형연산자(bilinear operator)의 공간과 동일시할 수 있다.
보조정리 2. (공간의 동일시)
\(B_2(X \times X, Y)\)를 \(X \times X\)에서 \(Y\)로 가는 유계 이중 선형연산자들의 공간이라 하자. 그러면 \(B(X, B(X, Y))\)와 \(B_2(X \times X, Y)\)는 등거리 동형이다. 즉, 임의의 \(A \in B(X, B(X, Y))\)에 대하여 \[\widetilde{A}(h, k) = (Ah)(k) \qquad (h, k \in X)\] 로 정의하면 \(\widetilde{A} \in B_2(X \times X, Y)\)이고, 이 대응은 등거리 동형사상을 이룬다.
따라서 우리는 \(F''(x)\)를 두 개의 벡터 \(h, k \in X\)를 입력받아 \(Y\)의 원소를 내놓는 유계 이중 선형연산자로 간주할 수 있다. 즉, \[F''(x) \in B_2(X \times X, Y), \qquad F''(x)(h, k) \in Y\] 로 쓴다.
일반적으로 \(k\)계 도함수 \(F^{(k)}(x)\)는 \(X\)의 \(k\)개 원소를 입력받는 유계 \(k\)-중 선형연산자이다. \(B_k(X^k, Y)\)를 이러한 연산자들의 공간이라 쓰면, \[F^{(k)}(x) \in B_k(X^k, Y)\] 이다. 여기서 \(X^k = \underbrace{X \times \cdots \times X}_{k\text{ times}}\)이다.
유한차원 미적분학에서 \(f_{xy} = f_{yx}\)라는 클레로의 정리(Clairaut’s theorem)가 있듯이, 바나흐 공간에서도 고계 도함수는 대칭성을 가진다.
정리 3. (이계도함수의 대칭성)
\(F : U \rightarrow Y\)가 \(x \in U\)의 근방에서 두 번 연속 프레셰 미분가능하면, \(F''(x)\)는 대칭 이중 선형연산자이다. 즉, 임의의 \(h, k \in X\)에 대하여 \[F''(x)(h, k) = F''(x)(k, h)\] 가 성립한다.
이제 고계 도함수를 사용하여 함수를 다항식으로 근사하는 테일러 정리를 살펴보자. 이를 위해서는 먼저 적분 형태의 평균값 정리가 필요하다. 바나흐 공간에서는 1차원과 달리 \(F(x+h) - F(x) = F'(c)h\)를 만족하는 \(c\)가 존재하지 않을 수 있다. 따라서 평균값 정리를 기술할 때 적분 형태를 사용하거나 부등식 형태를 사용한다.
보조정리 4. (적분 형태의 평균값 정리)
\(F : U \rightarrow Y\)가 \(x\)와 \(x+h\)를 잇는 선분을 포함하는 어떤 열린집합에서 연속 프레셰 미분가능하다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[F(x + h) - F(x) = \int_0^1 F'(x + th)h \, dt .\] 여기서 적분은 보흐너 적분으로 이해할 수 있다.
이 보조정리를 반복해서 적용하면(부분적분을 사용), 우리는 다음과 같은 테일러 공식을 얻는다.
정리 5. (테일러 정리)
\(F : U \rightarrow Y\)가 \(x\)와 \(x+h\)를 잇는 선분을 포함하는 어떤 열린집합에서 \((n+1)\)번 연속 프레셰 미분가능하다고 하자. 그러면 다음 등식이 성립한다. \[F(x + h) = F(x) + F'(x)h + \frac{1}{2!}F''(x)(h, h) + \cdots + \frac{1}{n!}F^{(n)}(x)(\underbrace{h, \ldots, h}_{n\text{ times}}) + R_{n+1}(h) .\] 여기서 나머지 항 \(R_{n+1}(h)\)는 다음과 같은 적분 형태로 주어진다. \[R_{n+1}(h) = \frac{1}{n!} \int_0^1 (1 - t)^n F^{(n+1)}(x + th)(\underbrace{h, \ldots, h}_{n+1\text{ times}}) \, dt .\]
또한 \(x\)와 \(x+h\)를 잇는 선분 위의 모든 \(z\)에 대하여 \(\lVert F^{(n+1)}(z) \rVert \leq M\)이면, 나머지 항의 크기는 \[\lVert R_{n+1}(h) \rVert \leq \frac{M}{(n+1)!} \lVert h \rVert^{n+1}\] 를 만족시킨다.
보기 6. (범함수의 테일러 전개)
실힐베르트 공간 \(H\)에서, 유계인 자기수반연산자 \(T \in B(H)\)에 대하여 함수 \(F : H \rightarrow \mathbb{R}\)을 다음과 같이 정의하자. \[F(x) = \frac{1}{2} \langle Tx, x \rangle .\] \(F\)의 테일러 전개를 구하시오.
풀이
먼저 \[\begin{aligned} F(x+h) - F(x) &= \frac{1}{2}\langle T(x+h), x+h \rangle - \frac{1}{2}\langle Tx, x \rangle \\[6pt] &= \frac{1}{2}\bigl(\langle Tx, h \rangle + \langle Th, x \rangle + \langle Th, h \rangle\bigr) \end{aligned}\] 이다. \(T\)가 자기수반이고 \(H\)가 실힐베르트 공간이므로 \(\langle Th, x \rangle = \langle h, Tx \rangle = \langle Tx, h \rangle\)이다. 따라서 \[F(x+h) - F(x) = \langle Tx, h \rangle + \frac{1}{2}\langle Th, h \rangle\] 이고, 선형 부분은 \(h \mapsto \langle Tx, h \rangle\)이므로 \[F'(x)h = \langle Tx, h \rangle\] 이다.
이제 \(\Phi : H \rightarrow B(H, \mathbb{R})\)를 \[(\Phi(x))(h) = F'(x)h = \langle Tx, h \rangle\] 로 두자. 임의의 \(k \in H\)에 대하여 \[\bigl(\Phi(x+k) - \Phi(x)\bigr)(h) = \langle Tk, h \rangle\] 이므로, \(\Phi\)는 선형이고 따라서 프레셰 미분가능하며 \[(\Phi'(x)k)(h) = \langle Tk, h \rangle\] 이다. 즉, 이계도함수는 \[F''(x)(k, h) = \langle Tk, h \rangle\] 로 주어진다. 특히 \(T\)가 자기수반이므로 \(F''(x)\)는 대칭 이중 선형형식이다.
또한 \(F''(x)\)는 \(x\)에 의존하지 않는 상수 이중 선형연산자이므로 \[F'''(x) = 0\] 이다. 따라서 \(F\)의 테일러 전개는 정확히 2차항에서 끝나며, \[F(x+h) = F(x) + \langle Tx, h \rangle + \frac{1}{2}\langle Th, h \rangle\] 이다.