선형변환 관점에서의 의미 벡터공간에서 선형변환을 살펴볼 때, 특정 방향의 벡터가 변환 과정을 통해 오직 “길이(크기)”만 바뀌고 방향은 그대로 유지된다면, 그 벡터를 고유벡터(eigenvector)라고 부르고, 그때의 크기 변경 비율(스칼라배)을 고윳값(eigenvalue)이라 한다. 이 개념은 2차원, 3차원뿐 아니라 고차원 공간에서도 마찬가지로 적용되며, 선형대수학의 전반적인 이론·응용에서 핵심적인 역할을 수행한다. 정의 1. (선형변환의 고유벡터와 고윳값) 선형변환 …

쌍대공간 벡터공간에서 쌍대공간(dual space)이란, 주어진 벡터공간을 스칼라값으로 대응시키는 선형범함수(linear functional)들의 집합을 또 하나의 벡터공간으로 보는 개념이다. 예를 들어, \(V\)가 체 \(\mathbb{F}\) (보통 \(\mathbb{R}\) 또는 \(\mathbb{C}\)) 위의 \(n\)-차원 벡터공간이라고 할 때, 모든 선형범함수 \(\varphi: V \to \mathbb{F}\)로 이루어진 집합 \(V^*\)를 그 쌍대공간이라 부른다. 쌍대공간의 뜻 벡터공간 \(V\)에 대해, 선형범함수란 다음 성질을 …

핵의 정의와 기본 성질 선형변환에서 가장 중요한 개념 중 하나가 핵(kernel)이다. 핵은 “선형변환을 통해 영벡터(0으로 가는 벡터)만 모이는 원소들의 집합”으로 정의되며, 연립방정식 해 공간이나 선형독립·차원 분석에서 핵의 구조가 큰 역할을 한다. 정의 1. (핵, Kernel) 벡터공간 \(V\)에서 벡터공간 \(W\)로 가는 선형변환 \(T: V \to W\)가 주어졌다고 하자. 이때, 핵(kernel) 혹은 …

표준기저를 통한 변환 행렬 유도 표준기저(standard basis)는 \(\mathbb{R}^n\)에서 가장 직관적으로 정의되는 기저로서, 선형변환을 행렬로 표현하기에 매우 편리하다. 특히 표준기저에 대한 좌표를 이용하면, 선형변환 \(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)을 직접 행렬 곱셈으로 해석할 수 있다. 구체적으로, \(\mathbb{R}^n\)의 표준기저를 다음과 같이 표기한다. \[\begin{gathered} \mathbf{e}_1 = (1,0,0,\dots,0), \\[6pt] \mathbf{e}_2 = (0,1,0,\dots,0), \\[6pt] \vdots \\[6pt] …

선형변환의 개념 벡터공간 사이의 사상(함수) 중에서 가장 중요하게 다뤄지는 것이 선형변환(linear transformation)이다. 선형변환은 대수적 구조(벡터 덧셈과 스칼라배)를 보존하기 때문에, 연립방정식·행렬연산·미분방정식 등 다양한 분야에서 근본적인 역할을 담당한다. 정의 1. (선형변환) 벡터공간 \(V\)와 \(W\)가 같은 체 \(\mathbf{F}\) 위에 정의되어 있다고 하자. 함수 \(T: V \to W\)가 선형변환(linear transformation)이라는 것은, 다음 두 조건을 …

기저 변경과 좌표 변환 공식 유한 차원 벡터공간에서, 하나의 기저를 기준으로 한 벡터의 좌표 표현이 다른 기저로 바뀌면 벡터의 실제 “위치”나 “방향”은 같지만, 그를 나타내는 좌표 벡터가 달라진다. 이를 좌표 변환(coordinate transformation)이라 하며, 기저 변경 간의 상호 변환을 나타내는 선형사상을 잘 이해하는 것이 중요하다. 예를 들어, 벡터공간 \(V\)에 두 개의 …

행렬 공간의 기저 행렬 공간은 벡터공간의 한 예로서, 구체적이면서도 다양한 응용을 품고 있다. 가장 대표적인 예시로는 모든 \(m \times n\) 행렬을 모은 집합 \(M_{m \times n}(\mathbf{F})\)가 있다. 이 공간에서의 벡터연산(행렬 덧셈, 스칼라배)은 각 원소를 성분별로 처리하기 때문에, 일반적인 벡터공간 공리와 자연스럽게 어우러진다. 이제 행렬 공간에 대한 기저를 찾아보자. 기저란, 전체 …

유한 차원과 무한 차원 벡터공간에 기저가 존재한다면, 그 기저의 원소가 유한 개인지 혹은 무한 개인지에 따라 해당 벡터공간을 유한 차원(finite-dimensional) 혹은 무한 차원(infinite-dimensional)이라고 한다. 예컨대 \(\mathbb{R}^n\)은 \(n\)개의 표준기저로 충분히 전체 공간을 생성하기 때문에 유한 차원의 대표적인 예시이며, 다항식공간처럼 기저가 무한하게 필요한 경우(또는 무한 차수를 허용하는 함수공간 등)는 무한 차원 벡터공간의 …

기저의 정의와 성질 벡터공간에서 기저(basis)는 “전체 공간을 생성(spanning)하면서 동시에 일차독립인” 벡터들의 집합이다. 이는 벡터공간을 효율적으로 이해하고 계산할 수 있도록 해주는 핵심 개념으로, 기저가 있으면 벡터공간의 임의의 원소를 그 기저 벡터들의 일차결합으로 유일하게 표현할 수 있다. 이러한 성질은 곧 벡터공간의 ‘좌표화’를 가능케 하며, 이를 통해 차원(dimension)이나 좌표변환과 같은 개념을 정의할 수 …

일차결합과 스팬 벡터공간에서 가장 중요한 개념 중 하나는 일차결합과 스팬(span)이다. 여러 벡터들을 적절한 스칼라배와 덧셈으로 조합하여 새로운 벡터를 만들 수 있는지 여부가, 벡터공간을 분석하는 핵심적인 방법을 제공하기 때문이다. 정의 1. (일차결합) 벡터공간 \(V\)에서 벡터 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \in V\)가 주어졌다고 하자. 임의의 스칼라 \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k\)에 대하여, \[ …

부분공간의 뜻 벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(W\)가 단순히 “집합의 부분”이라는 이유만으로 자동으로 벡터공간이 되는 것은 아니다. \(W\)가 실제로 부분공간(subspace)이 되려면, \(V\) 위에서 정의된 연산(덧셈과 스칼라배)이 제한(restriction)되었을 때에도 여전히 모든 벡터공간 공리를 만족해야 한다. 이를 보다 간단히 표현하면, 부분공간이 되기 위한 세 가지 핵심 조건을 확인하면 된다. 정의 1. (부분공간) \(\mathbf{F}\)-벡터공간 \(V\)의 …