내적공간에서는 두 벡터의 직교성을 정의할 수 있다. 이 개념을 확장하여 주어진 벡터에 직교하는 벡터의 집합을 생각하거나, 벡터의 집합이 주어졌을 때 그 집합의 모든 벡터와 직교하는 벡터의 집합을 생각할 수 있다.

벡터공간에 내적이 정의되어 있을 때, 내적을 사용하여 노름을 정의하고 ‘벡터의 길이’ 개념을 사용할 수 있다. 그러나 내적공간은 ‘벡터의 길이’ 뿐만 아니라 벡터의 직교성이라는 개념을 추가로 사용할 수 있으며, 이 개념으로부터 풍부한 성질을 끌어낼 수 있다.

벡터공간에 노름(norm)을 정의하면 벡터의 길이를 다룰 수 있게 된다. 그러나 유클리드 공간에서 볼 수 있다시피, 벡터의 기하학적인 특성이 길이만 있는 것은 아니다. 유클리드 공간에서 사용하는 내적은 매우 유용한 개념이기 때문에 이를 더 다양한 공간으로 확장하고자 한다.

유한차원 벡터공간에서 정의되는 노름은 모두 서로 동치이다. 그러나 무한차원 벡터공간 위에서는 동치가 아닌 서로 다른 노름이 존재할 수 있다. 더욱이, 유한차원 노름벡터공간에서 살펴보았던 정리가 무한차원 노름벡터공간으로 자연스럽게 확장되지 않는다.

노름(norm)은 실수계의 절댓값과 비슷한 역할을 하며, 노름이 주어진 공간에서는 원소의 거리를 잴 수 있다. 벡터공간에 노름이 주어진 경우 그 벡터공간을 노름벡터공간(normed vector space) 또는 노름선형공간(normed linear space)이라고 부르며, 노름이 주어진 공간이 벡터공간이 명확할 때는 간단히 노름공간이라고 부른다. 내적을 사용하여 노름을 정의할 수 있으므로 임의의 내적공간은 노름공간이다.

2차원 유클리드 공간과 3차원 유클리드 공간을 통상적인 방법으로 시각화할 때, 우리는 각 벡터의 길이를 생각할 수 있다. 벡터의 ‘길이’를 생각함으로써 벡터공간에서 극한을 다룰 수 있다. 차원이 무한인 경우를 포함하는 일반적인 벡터공간에서도 벡터의 길이와 같은 개념을 도입하면 더욱 다양한 벡터의 성질을 기하학적으로 추론할 수 있고, 그와 같은 벡터공간에서 극한을 다룰 수 …

한 페이지에 담은 르베그 적분 리뷰입니다. 수학의 다양한 분야를 공부하기 위해 필요한 측도와 르베그 적분의 개념을 간략하게 살펴봅니다. 시그마 대수, 측도, 르베그 측도, 단순함수, 가측함수, 르베그 적분, Lp 공간, 수열 공간.

한 페이지에 담은 거리공간 리뷰입니다. 수학의 다양한 분야를 공부하기 위해 필요한 거리공간 주제를 간략하게 살펴봅니다. 거리공간의 개념, 수열의 극한, 코시 수열, 열린집합과 닫힌집합, 연속함수, 완비거리공간, 베르 범주 정리, 컴팩트 거리공간, 점별수렴, 균등수렴, 조밀성, 스톤-바이어슈트라스 정리, 가분공간.

마르코프 체인의 기본 개념 마르코프 체인(Markov Chain)은 확률론적 관점에서 “현재 상태가 주어졌을 때, 미래 상태가 과거의 이력과 무관하게 현재 상태에만 의존한다”는 ‘마르코프성’을 가정하는 확률적 과정이다. 즉, 상태가 불연속적인 시점에 따라 순차적으로 변해가며, 각 시점의 상태가 단 하나의 이전 상태에만 의존한다는 기억 없음(memoryless) 성질을 갖는다. 보다 구체적으로, 유한 상태공간 \(\{1,\,2,\,\dots,\,n\}\)이 있고, …

LU-분해의 개념 LU-분해(LU decomposition)는 행렬 분해 기법 중 하나로, 정사각행렬 \(A\)를 두 행렬 \(L\)과 \(U\)의 곱으로 나타내는 것이다. 여기서 \(L\)은 하삼각(lower triangular) 행렬이고, \(U\)는 상삼각(upper triangular) 행렬이다. 예를 들어, 임의의 \(n\times n\) 행렬 \(A\)에 대하여 \[ A = L\,U \] 와 같이 분해할 수 있다면, 이를 LU-분해라고 부른다. 정의 1. …

“선형대수학 맛보기”는 제가 선형대수학을 공부하면서 정리한 글입니다. 단순한 개념 요약이 아니라, 핵심 내용을 체계적으로 정리하고 이해하는 데 초점을 맞추어 정성 들여 작성했습니다. 총 48편의 글로 이루어져 있으며, 선형대수학의 기초 개념부터 응용까지 다양한 내용을 다룹니다. 행렬과 연립일차방정식, 벡터공간과 선형변환, 고윳값과 고유벡터, 분해 정리, 내적과 직교대각화, 그리고 선형대수학의 실용적인 활용까지 폭넓은 주제를 …