수학적 이해 이론

스켐프 이해 이론의 개관

스켐프(Richard R. Skemp, 1919-1995)의 수학적 이해 이론은 수학 학습에서 '이해'가 무엇인지를 체계적으로 분석한 이론이다. 스켐프는 영국의 수학교육학자로, 1976년에 발표한 "관계적 이해와 도구적 이해"라는 논문을 통해 수학교육계에 큰 반향을 일으켰다. 그는 단순히 수학적 절차를 수행하는 것과 그 절차의 의미를 이해하는 것을 구별해야 한다고 주장하며, 진정한 수학적 이해의 본질을 탐구했다.

스켐프의 이론은 당시 수학교육에서 나타나는 문제점에 대한 분석에서 출발했다. 많은 학생들이 수학적 절차는 잘 수행하지만 그 이유를 설명하지 못하거나, 조금만 변형된 문제에는 대응하지 못하는 현상을 관찰한 것이다. 예를 들어, 학생이 \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}\)라는 계산은 정확히 수행하지만, "왜 분수의 곱셈에서는 분모끼리 곱하고 분자끼리 곱하는가?"라는 질문에는 답하지 못하는 경우이다.

스켐프는 이러한 현상을 통해 수학적 이해에 서로 다른 두 가지 유형이 있다는 것을 발견했다. 하나는 도구적 이해(instrumental understanding)로, 규칙이나 절차를 기계적으로 적용하는 이해이고, 다른 하나는 관계적 이해(relational understanding)로, 수학적 개념들 사이의 관계와 그 이유를 파악하는 이해이다.

스켐프의 이론은 단순히 이해의 유형을 분류하는 데 그치지 않고, 어떻게 하면 학습자가 진정한 수학적 이해에 도달할 수 있는지에 대한 교육적 시사점을 제공한다. 그는 스키마(schema)라는 개념을 통해 수학적 지식이 어떻게 조직되고 발달하는지를 설명했으며, 이를 바탕으로 효과적인 수학교육 방법을 제시했다.

스켐프의 이해 이론

관계적 이해(Relational Understanding)

관계적 이해는 수학적 개념들 사이의 관계를 파악하고, 수학적 절차의 이유와 의미를 이해하는 깊은 수준의 이해이다. 스켐프는 이를 "무엇을 해야 하는지 알 뿐만 아니라 왜 그렇게 해야 하는지도 아는 이해"라고 정의했다. 관계적 이해를 가진 학습자는 수학적 규칙이나 공식을 단순히 암기하는 것이 아니라, 그것이 왜 성립하는지, 다른 개념들과 어떤 관계에 있는지를 파악한다.

관계적 이해의 특징은 다음과 같다. 첫째, 의미 중심의 학습이다. 수학적 절차나 공식의 의미를 이해하고 있어서 그것을 적용할 때도 의미를 고려한다. 둘째, 유연한 적용이 가능하다. 기본 원리를 이해하고 있기 때문에 새로운 상황이나 변형된 문제에도 적절히 대응할 수 있다. 셋째, 자기 점검이 가능하다. 자신의 답이 맞는지 틀렸는지를 스스로 판단할 수 있다. 넷째, 전이 능력이 뛰어나다. 한 영역에서 학습한 원리를 다른 영역에 적용할 수 있다.

예를 들어, 분수의 곱셈에서 관계적 이해를 가진 학생의 경우를 살펴보자. \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}\)를 계산할 때, 단순히 "분모끼리 곱하고 분자끼리 곱한다"는 규칙만 적용하는 것이 아니라, 이것이 "전체의 \(\frac{2}{3}\)에서 그것의 \(\frac{4}{5}\)를 취하는 것"이라는 의미를 이해한다. 따라서 직사각형을 그려서 세로로 3등분한 후 2부분을 취하고, 다시 가로로 5등분한 후 4부분을 취하는 과정을 통해 결과가 \(\frac{8}{15}\)가 되는 이유를 설명할 수 있다.

일차방정식을 푸는 과정에서도 관계적 이해의 차이가 나타난다. \(2x + 3 = 7\)을 풀 때, 관계적 이해를 가진 학생은 "양변에서 3을 빼고, 양변을 2로 나눈다"는 절차만 따르는 것이 아니라, 이것이 "등호의 성질을 이용하여 x를 분리하는 과정"임을 이해한다. 따라서 \(3x - 5 = 7\)이나 \(\frac{x}{2} + 3 = 7\) 같은 변형된 방정식도 원리를 적용하여 해결할 수 있다.

기하 영역에서도 관계적 이해의 중요성이 드러난다. 삼각형의 넓이 공식 \(S = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}\)를 학습할 때, 관계적 이해를 가진 학생은 이 공식이 어떻게 유도되는지를 안다. 삼각형을 평행사변형으로 변형했을 때 넓이가 2배가 되므로 \(\frac{1}{2}\)를 곱하는 것임을 이해한다. 따라서 사다리꼴이나 다른 도형의 넓이 공식도 유사한 원리로 유도할 수 있다.

도구적 이해(Instrumental Understanding)

도구적 이해는 수학적 절차나 규칙을 기계적으로 적용하는 이해이다. 스켐프는 이를 "적절한 규칙을 기억하고 그것을 정확히 적용하는 이해"라고 정의했다. 도구적 이해를 가진 학습자는 어떻게 해야 하는지는 알지만 왜 그렇게 해야 하는지는 모르는 경우가 많다.

도구적 이해의 특징은 다음과 같다. 첫째, 절차 중심의 학습이다. 수학적 절차나 알고리즘을 정확히 기억하고 적용하는 데 중점을 둔다. 둘째, 제한된 적용을 보인다. 익숙한 유형의 문제는 잘 해결하지만 조금만 변형된 문제에는 어려움을 겪는다. 셋째, 외적 확인에 의존한다. 자신의 답이 맞는지 스스로 판단하기 어려워서 외부의 확인이나 답안지에 의존한다. 넷째, 제한된 전이를 보인다. 한 상황에서 학습한 절차를 다른 상황에 적용하기 어렵다.

분수의 곱셈에서 도구적 이해의 예를 보면, 학생은 "분모끼리 곱하고 분자끼리 곱한다"는 규칙을 정확히 기억하고 적용할 수 있다. \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}\)라는 계산은 정확히 수행한다. 그러나 "왜 그렇게 계산하는가?"라는 질문에는 "선생님이 그렇게 하라고 했다" 또는 "그것이 규칙이다"라고 답한다. 따라서 \(\frac{2}{3} \times 4\)나 \(2\frac{1}{3} \times \frac{4}{5}\) 같은 변형된 문제에는 어려움을 겪는다.

일차방정식에서도 도구적 이해의 한계가 나타난다. \(2x + 3 = 7\)을 풀 때, "3을 우변으로 이항하여 \(2x = 7 - 3 = 4\), 양변을 2로 나누어 \(x = 2\)"라는 절차를 정확히 수행한다. 그러나 "왜 이항할 때 부호가 바뀌는가?"라는 질문에는 적절히 답하지 못한다. 따라서 \(3 - 2x = 7\) 같은 문제에서는 이항 과정에서 실수를 하기 쉽다.

관계적 이해와 도구적 이해의 비교

스켐프는 관계적 이해와 도구적 이해를 대립적 관계로 본 것이 아니라, 각각 나름의 장단점을 가진 서로 다른 유형의 이해로 보았다. 그러나 장기적으로는 관계적 이해가 더 바람직하다고 주장했다.

도구적 이해의 장점은 다음과 같다. 첫째, 즉시적 목적 달성이 가능하다. 당면한 문제를 빠르게 해결할 수 있다. 둘째, 단순하고 확실하다. 복잡한 사고 과정 없이 정해진 절차만 따르면 된다. 셋째, 보상이 즉각적이다. 정답을 빨리 구할 수 있어서 성취감을 느낄 수 있다.

도구적 이해의 단점은 다음과 같다. 첫째, 기억에 의존한다. 절차를 잊어버리면 문제를 해결할 수 없다. 둘째, 다양한 방법을 모른다. 하나의 방법만 알고 있어서 그것이 막히면 대안이 없다. 셋째, 자기 점검이 어렵다. 자신의 답이 맞는지 스스로 확인하기 어렵다.

관계적 이해의 장점은 다음과 같다. 첫째, 적응력이 뛰어나다. 새로운 상황에도 원리를 적용하여 대응할 수 있다. 둘째, 기억하기 쉽다. 의미를 이해하고 있어서 절차를 잊어버려도 다시 유도할 수 있다. 셋째, 효과적 목적 달성이 가능하다. 여러 방법을 알고 있어서 상황에 맞는 최적의 방법을 선택할 수 있다. 넷째, 관계적 구조 형성이 된다. 새로운 지식이 기존 지식과 연결되어 체계를 이룬다.

관계적 이해의 단점은 다음과 같다. 첫째, 시간이 많이 걸린다. 의미를 파악하고 관계를 이해하는 데 시간이 필요하다. 둘째, 더 어렵다. 단순한 절차 적용보다 복잡한 사고 과정을 요구한다.

관계적 이해와 도구적 이해의 관계

스켐프는 관계적 이해와 도구적 이해가 완전히 분리된 것이 아니라고 보았다. 때로는 도구적 이해가 관계적 이해의 기초가 될 수 있고, 관계적 이해가 도구적 기능을 포함할 수도 있다는 것이다. 중요한 것은 궁극적으로 관계적 이해를 지향해야 한다는 점이다.

학습 과정에서 도구적 이해가 먼저 형성되고 나중에 관계적 이해로 발전하는 경우도 있다. 예를 들어, 학생이 처음에는 분수의 곱셈 규칙을 기계적으로 암기하고 적용하지만(도구적 이해), 나중에 구체적 모델이나 그림을 통해 그 의미를 이해하게 되면서 관계적 이해로 발전할 수 있다.

반대로 관계적 이해에서 도구적 이해가 파생되는 경우도 있다. 분수의 의미를 충분히 이해한 학생이 효율성을 위해 계산 절차를 자동화하는 경우이다. 이때의 도구적 이해는 의미 있는 기초 위에 형성된 것이므로 바람직하다.

문제는 도구적 이해만으로 끝나는 경우이다. 많은 학생들이 수학적 절차는 정확히 수행하지만 그 의미를 모르는 채로 학습을 끝낸다. 이는 수학에 대한 부정적 태도를 형성하고, 나중에 더 복잡한 내용을 학습할 때 어려움을 겪게 한다.

스키마 형성과 발달

스키마의 개념

스켐프는 스키마(schema)를 "개념들의 네트워크"라고 정의했다. 스키마는 개별적인 개념들이 상호 연결되어 형성되는 인지 구조로, 새로운 정보를 이해하고 처리하는 틀 역할을 한다. 수학 학습에서 스키마는 수학적 개념들이 어떻게 조직되고 연결되는지를 설명하는 핵심 개념이다.

스키마의 특징은 다음과 같다. 첫째, 구조적 특성을 갖는다. 개별 개념들이 단순히 나열된 것이 아니라 체계적으로 조직되어 있다. 둘째, 역동적 특성을 갖는다. 새로운 경험이나 학습을 통해 지속적으로 변화하고 발전한다. 셋째, 선택적 특성을 갖는다. 모든 정보를 받아들이는 것이 아니라 기존 스키마와 관련된 정보를 선택적으로 처리한다. 넷째, 예측적 특성을 갖는다. 새로운 상황에서 어떤 일이 일어날지 예측하는 기능을 한다.

예를 들어, 학생의 "분수 스키마"는 분수의 정의, 분수의 여러 의미(부분-전체, 나눗셈, 비 등), 분수의 크기 비교, 분수의 연산, 분수와 소수의 관계 등이 서로 연결된 네트워크이다. 잘 발달된 분수 스키마를 가진 학생은 새로운 분수 문제를 만났을 때 이 네트워크를 활용하여 문제를 이해하고 해결한다.

스키마의 형성 과정

스키마는 갑자기 완성된 형태로 나타나는 것이 아니라 점진적으로 형성되고 발전한다. 스켐프는 스키마 형성 과정을 동화(assimilation)와 조절(accommodation)의 과정으로 설명했다. 이는 피아제의 개념을 수학 학습에 적용한 것이다.

동화는 새로운 정보를 기존 스키마에 맞춰 해석하고 받아들이는 과정이다. 예를 들어, 자연수만 알고 있던 학생이 분수를 처음 만났을 때, 분수를 "자연수가 아닌 특별한 수"로 이해하는 것이다. 기존의 수 개념 스키마에 분수를 추가하지만, 근본적인 구조는 변하지 않는다.

조절은 새로운 정보가 기존 스키마로는 설명되지 않을 때 스키마 자체를 수정하는 과정이다. 분수의 성질을 더 깊이 학습하면서 "수"에 대한 개념 자체가 확장되고 변화하는 것이다. 이제 수는 단순히 개수를 나타내는 것이 아니라 양을 나타낼 수도 있고, 연산도 자연수와는 다른 방식으로 작동할 수 있다는 것을 이해한다.

스키마 형성에서 중요한 것은 인지적 갈등(cognitive conflict)이다. 기존 스키마로는 설명할 수 없는 상황을 만났을 때 갈등이 발생하고, 이를 해결하는 과정에서 스키마가 발전한다. 예를 들어, "\(\frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = 2\)"라는 결과가 "나누면 작아진다"는 기존 인식과 갈등을 일으킬 때, 이를 해결하면서 나눗셈에 대한 스키마가 확장된다.

스키마의 발달과 수학적 성장

스키마의 발달은 수학적 성장과 직결된다. 잘 발달된 스키마를 가진 학습자는 새로운 수학적 상황에서도 효과적으로 대응할 수 있다. 스켐프는 스키마 발달의 몇 가지 특징을 제시했다.

첫째, 연결성의 증가이다. 스키마가 발달할수록 개념들 사이의 연결이 많아지고 복잡해진다. 예를 들어, 초보자의 함수 스키마는 "입력-출력 관계" 정도의 단순한 연결을 갖지만, 숙련자의 함수 스키마는 그래프, 표, 식의 관계, 함수의 성질, 다른 수학적 개념과의 관계 등 복잡한 연결망을 갖는다.

둘째, 추상화 수준의 증가이다. 스키마가 발달할수록 구체적 상황에서 추상적 원리를 추출하는 능력이 향상된다. 처음에는 구체적인 예시를 통해서만 이해하던 개념을 나중에는 추상적 수준에서 조작할 수 있게 된다.

셋째, 유연성의 증가이다. 발달된 스키마는 다양한 상황에 적응할 수 있는 유연성을 갖는다. 같은 개념을 여러 방식으로 표현하고, 여러 접근법으로 문제를 해결할 수 있다.

넷째, 자동화의 증가이다. 기본적인 처리 과정이 자동화되면서 보다 복잡한 사고에 인지적 자원을 집중할 수 있게 된다. 예를 들어, 기본 연산이 자동화된 학생은 복잡한 문제해결에 더 집중할 수 있다.

스켐프 이론의 수학교육에의 시사점

관계적 이해 중심의 교육

스켐프 이론의 가장 중요한 시사점은 관계적 이해를 지향하는 교육의 필요성이다. 단순히 수학적 절차를 가르치는 것이 아니라, 그 절차의 의미와 다른 개념들과의 관계를 이해하도록 해야 한다.

관계적 이해를 촉진하는 교수 전략은 다음과 같다. 첫째, 의미 중심의 설명이다. 새로운 개념이나 절차를 도입할 때 그것의 의미와 필요성을 먼저 설명한다. 예를 들어, 분수의 통분을 가르칠 때 "분모를 같게 만들어야 한다"는 절차만 가르치는 것이 아니라, "분모가 다르면 부분의 크기가 달라서 직접 비교할 수 없기 때문"이라는 의미를 함께 설명한다.

둘째, 다양한 표현 방식의 활용이다. 같은 개념을 여러 방식으로 표현하여 개념들 사이의 관계를 명확히 한다. 함수를 표, 그래프, 식으로 동시에 표현하고 이들 사이의 관계를 탐구하는 것이다.

셋째, 연결성 강조이다. 새로운 개념을 기존 개념과 연결하여 가르친다. 이차방정식을 가르칠 때 일차방정식과의 공통점과 차이점을 비교하고, 이차함수와의 관계를 설명한다.

넷째, 추론 과정의 명시화이다. 문제해결 과정에서 각 단계의 이유를 설명하도록 한다. "다음에는 이렇게 한다"가 아니라 "이런 이유로 이렇게 해야 한다"는 식으로 추론 과정을 명확히 한다.

스키마 구성을 돕는 교육

스켐프 이론은 학습자의 스키마 구성을 돕는 교육의 중요성을 강조한다. 개별적인 개념들이 서로 연결되어 체계를 이루도록 해야 한다.

스키마 구성을 돕는 방법은 다음과 같다. 첫째, 개념 지도 활용이다. 학습한 개념들 사이의 관계를 시각적으로 나타내는 개념 지도를 작성하게 한다. 예를 들어, 사각형과 관련된 모든 개념들(정사각형, 직사각형, 평행사변형, 사다리꼴 등)의 관계를 나타내는 지도를 그린다.

둘째, 비교와 대조 활동이다. 유사한 개념들을 비교하여 공통점과 차이점을 찾는 활동을 한다. 원과 타원, 포물선의 공통점과 차이점을 비교하는 것이다.

셋째, 통합적 과제 제시이다. 여러 개념을 종합적으로 활용해야 하는 과제를 제시한다. 이를 통해 개별 개념들이 어떻게 연결되는지를 경험하게 한다.

넷째, 주기적 복습과 재구성이다. 이전에 학습한 내용을 새로운 관점에서 재구성하는 기회를 제공한다. 고등학교에서 함수를 학습할 때 중학교에서 배운 일차함수를 새로운 시각에서 재해석하는 것이다.

개별화와 진단의 중요성

스켐프 이론은 학습자마다 다른 이해 수준과 스키마를 갖고 있다는 점을 인정하고, 개별화된 진단과 지도의 필요성을 제시한다.

효과적인 진단 방법은 다음과 같다. 첫째, 이해 수준 파악이다. 학습자가 도구적 이해인지 관계적 이해인지를 파악한다. 정답을 구할 수 있는지뿐만 아니라 그 이유를 설명할 수 있는지를 확인한다. 둘째, 스키마 분석이다. 학습자가 어떤 개념들을 어떻게 연결하고 있는지를 파악한다. 개념 지도 그리기나 개념 간 관계 설명하기 등의 방법을 사용한다. 셋째, 오개념 진단이다. 잘못 형성된 스키마나 부정확한 연결을 찾아낸다.

개별화된 지도 방법은 다음과 같다. 첫째, 수준별 과제 제시이다. 도구적 이해 수준의 학습자에게는 의미 이해를 돕는 활동을, 관계적 이해 수준의 학습자에게는 심화 탐구 활동을 제시한다. 둘째, 스키마 재구성 지원이다. 잘못된 연결을 수정하고 새로운 연결을 형성하도록 돕는다. 셋째, 단계적 발전 유도이다. 현재 수준에서 한 단계 더 발전할 수 있도록 적절한 도전을 제공한다.

스켐프 이론의 한계와 비판

이분법적 구분의 한계

스켐프의 관계적 이해와 도구적 이해 구분에 대해 지나치게 이분법적이라는 비판이 있다. 실제 학습에서는 두 가지가 명확히 구분되지 않고 연속선상에서 다양한 수준으로 나타날 수 있다는 것이다. 또한 같은 학습자라도 개념에 따라, 상황에 따라 다른 수준의 이해를 보일 수 있다.

관계적 이해의 우월성 가정

스켐프는 관계적 이해가 도구적 이해보다 우월하다고 보았지만, 이에 대한 비판도 있다. 상황에 따라서는 도구적 이해가 더 효율적이고 실용적일 수 있으며, 모든 개념에서 관계적 이해를 요구하는 것이 현실적이지 않을 수 있다는 것이다.

스키마 이론의 추상성

스키마 개념이 추상적이어서 구체적인 교육 방법을 제시하기 어렵다는 비판도 있다. 스키마가 어떻게 형성되고 발달하는지에 대한 구체적인 메커니즘이 불분명하여 실제 교육 현장에서 적용하기 어렵다는 것이다.

현대적 재해석과 발전

이러한 한계에도 불구하고 스켐프의 핵심 아이디어는 현대 수학교육에서 여전히 유효하다. 최근에는 스켐프 이론을 보완하고 발전시키려는 노력들이 이루어지고 있다.

개념적 이해와 절차적 지식의 구분으로 발전한 연구들이 있다. 이는 스켐프의 관계적 이해와 도구적 이해를 보다 정교하게 분석한 것이다. 또한 적응적 전문성 개념을 통해 유연하고 창의적인 수학적 사고 능력을 설명하려는 시도도 있다.

인지과학과의 연계를 통해 스키마 형성과 발달의 메커니즘을 보다 구체적으로 밝히려는 연구도 활발하다. 뇌과학 연구를 통해 수학적 개념이 뇌에서 어떻게 표상되고 연결되는지를 탐구하는 것이다.

스켐프의 수학적 이해 이론은 수학교육에서 '이해'의 본질을 탐구한 중요한 이론이다. 비록 일부 한계가 있지만, 관계적 이해의 중요성, 스키마 구성의 필요성 등의 핵심 아이디어는 현재에도 수학교육의 질 향상에 중요한 지침을 제공하고 있다.