이 글에서는 노름공간에서의 한-바나흐 정리를 살펴보자. 이미 이전 글에서 복소벡터공간에서의 한-바나흐 정리를 살펴보았고, 이 글에서 살펴보는 정리는 이전 글에서 살펴보는 정리의 특수한 경우이지만, 노름공간에서의 한-바나흐 정리는 다양한 응용 과정에서 자주 사용되므로 별도로 살펴볼 가치가 있다.
보조정리 1.
\(X\)가 실벡터공간이고, \(W\)가 \(X\)의 진부분벡터공간이라 하자. \(p\)가 \(X\)에서의 부분선형범함수이고 \(f_W\)가 \(W\)에서의 선형범함수이며 모든 \(w \in W\)에 대하여 \(f_W(w) \leq p(w)\)를 만족시킨다고 하자. 또한 \(z_1 \not\in W\)이고, \[W_1 = \text{Sp } \{z_1\} \oplus W = \{\alpha z_1 + w \,\vert\, \alpha \in \mathbb{R},\,w \in W\}\] 라고 하자. 그러면 \(\xi_1 \in \mathbb{R}\)과 \(f_{W_1} : W_1 \rightarrow \mathbb{R}\)이 존재하여, 임의의 \(\alpha \in \mathbb{R}\)와 \(w\in W\)에 대하여 \[f_{W_1}(\alpha z_1 + w) = \alpha \xi_1 + f_W(w) \leq p(\alpha z_1 + w), \quad \alpha \in \mathbb{R},\,w \in W \tag{1}\] 를 만족시킨다. 이때 \(f_{W_1}\)은 \(W_1\)에서 선형이고, 임의의 \(w\in W\)에 대하여 \(f_{W_1}(w) = f_W(w)\)이므로 \(f_{W_1}\)은 \(f_W\)의 확장함수이다.
증명
임의의 \(u,\,v \in W\)에 대해, 다음이 성립한다. \[f_W(u) + f_W(v) = f_W(u + v) \leq p(u + v) \leq p(u - z_1) + p(v + z_1).\] 따라서 \[f_W(u) - p(u - z_1) \leq -f_W(v) + p(v + z_1)\] 이다. 그러므로 \[\xi_1 = \inf_{v \in W} \{-f_W(v) + p(v + z_1)\} > -\infty\] 이며, 임의의 \(u,\,v\in W\)에 대하여 \[-\xi_1 + f_W(u) \leq p(u - z_1), \quad \xi_1 + f_W(v) \leq p(v + z_1)\] 이다. 첫 번째 부등식에 \(\beta > 0\)을 곱하고 \(\alpha = -\beta\), \(w = \beta u\)라고 하면, \(\alpha < 0\)일 때 (1)을 얻는다. 비슷하게, 위의 두 번째 부등식을 사용하면 \(\alpha > 0\)일 때 (1)을 얻는다. \(\alpha = 0\)일 때는 \(p\)의 정의에 의하여 (1)이 성립한다.
이제 노름공간에서의 한-바나흐 정리를 살펴보자. 본래 이 정리의 증명은 이전 글에서 살펴본 복소벡터공간에서의 한-바나흐 정리의 따름정리로서 곧바로 얻을 수 있다. 그러나 여기서는 \(X\)가 가분공간인 특수한 경우에 대해 증명을 살펴보자. 이 증명은 비교적 간단하고, 일반적인 경우의 증명이 어떻게 전개되는지 보여주기 때문이다.
정리 2. (노름공간에서의 한-바나흐 정리)
\(X\)가 실노름공간 또는 복소노름공간이라 하고 \(W\)가 \(X\)의 부분벡터공간이라고 하자. 임의의 \(f_W \in W'\)에 대해, \(\lVert f_X \rVert = \lVert f_W \rVert\)을 만족시키는 \(f_W\)의 확장함수 \(f_X \in X'\)가 존재한다.
증명
임의의 \(x \in X\)에 대해 \(p(x) = \lVert f_W \rVert \lVert x \rVert\)라고 정의하자. 그러면 \(p\)는 \(X\)에서의 반노름이다. \(W \neq X\)이고 \(W\)가 닫혀있다고 가정해도 일반성을 잃지 않는다. 만약 \(W = X\)라면 증명할 것이 없고, \(W\)가 닫혀있지 않다면 \(f_W\)는 연속성을 유지한 채로 \(\lVert f_{\overline{W}} \rVert = \lVert f_W \rVert\)를 만족하며 \(\overline{W}\)로 확장되기 때문이다.
우선 실노름공간의 경우를 증명하고, 그 결과를 사용하여 복소노름공간의 경우를 증명하자. 지금부터 \(X\)가 가분공간이라고 가정한다.
- \(X\)가 실노름공간이라고 가정하자. (1)에서 구성한 함수에 \(p\)의 형태를 가진다는 조건을 추가하면, 보조정리 1에서 구성한 확장함수 \(f_1\)이 \(f_1 \in W_1'\)과 \(\lVert f_{W_1} \rVert = \lVert f_W \rVert\)를 만족시킨다. 이제 \(X \setminus W\)에서 다음과 같은 성질을 가진 단위벡터 \(\{z_n\}\)의 수열이 존재한다.
\[W_n = \operatorname{Sp} \{z_1,\,\ldots,\,z_n\} \oplus W , \quad n \geq 1 , \quad W_{\infty} = \operatorname{Sp} \{z_1,\,z_2,\,\ldots\} \oplus W\]
라고 정의하면, \(n \geq 1\)에 대하여 \(z_{n+1} \not\in W_n\)이고 \(X = \overline{W_{\infty}}\)이거나, 또는 어떤 정수 \(N\)에 대해 \(X = W_N\)이다. 만약 \(X=W_N\)이라면 보조정리 1을 유한 번 적용하여 증명을 마칠 수 있다.
그렇지 않은 경우를 생각하자. \(W_0 = W\), \(f_0 = f_W\)라고 하고, 적당한 \(n \geq 0\)에 대해 \(\lVert f_n \rVert = \lVert f_W \rVert\)를 만족시키는 \(f_W\)의 확장함수 \(f_n \in W_n'\)이 있다고 가정하자. 보조정리 1을 \(f_n\)에 적용하면 \(\lVert f_{n+1} \rVert = \lVert f_n \rVert = \lVert f_W \rVert\)을 만족시키는 확장함수 \(f_{n+1} \in W_{n+1}'\)을 얻는다.
이제 임의의 \(n \geq 0\)에 대하여, \(\lVert f_n \rVert = \lVert f_W \rVert\)를 만족시키는 확장함수 \(f_n \in W_n'\)이 존재한다. 이러한 범함수들을 \(W_{\infty}\)로 확장하고, 다시 \(X\)로 확장할 수 있음을 보이자.
임의의 \(x \in W_{\infty}\)에 대해, \(x \in W_{n(x)}\)를 만족시키는 정수 \(n(x)\)가 존재하므로, 모든 \(m \geq n(x)\)에 대하여 \(x \in W_m\)이고 \(f_m(x) = f_{n(x)}(x)\)이다. 따라서 \(f_{\infty}(x) = f_{n(x)}(x)\)라고 정의할 수 있다. \(n \geq 0\)일 때 범함수 \(f_n\)의 성질로부터 \(f_{\infty}\)가 \(f_W\)의 확장함수이며 \(\lVert f_{\infty} \rVert = \lVert f_W \rVert\)를 만족함을 알 수 있다. 더욱이 \(X = \overline{W_{\infty}}\)이므로 \(f_{\infty}\)는 연속성을 유지한 채 \(\lVert f_X \rVert = \lVert f_{\infty} \rVert = \lVert f_W \rVert\)를 만족시키는 확장함수 \(f_X \in X'\)를 가진다. 이로써 \(X\)가 실노름공간일 때 바라는 결과를 얻는다. - \(X\)가 복소노름공간이라고 가정하자. 증명의 첫 부분과 이전 글의 보조정리 9를 \(f_W \in W'\)에 적용하면, 임의의 \(x\in X\) 에 대하여 다음을 만족시키는 복소선형범함수 \(f_X \in X'\)을 얻는다. \[|f_X(x)| \leq p(x) = \lVert f_W \rVert \lVert x \rVert .\] 따라서 \(\lVert f_X \rVert = \lVert f_W \rVert\)이다.
위의 증명에서 \(X\)가 가분공간이 아니라면 \(X = \overline{W_{\infty}}\)를 끌어내기 위한 벡터수열 \(z_1,\,z_2,\,\ldots\)이 존재하지 않을 수 있다. 따라서, 위 정리의 증명에서와 같이 수열을 귀납적으로 구성하는 일은 일반적으로 가분이 아닌 공간 \(X\)를 다룰 수 없으므로, “초한귀납법”이라는 더 정교한 형태의 도구가 필요하다.
이제 정리 2를 응용하여 얻을 수 있는 몇 가지 예를 살펴보자. 지금부터 \(X\)와 \(W\)는 정리 2의 가정을 만족시킨다고 약속한다.
정리 3.
\(x \in X\)가 다음을 만족시킨다고 가정하자. \[\delta = \inf_{w \in W} \lVert x - w \rVert > 0 .\] 그러면 \(\lVert f \rVert = 1\)이고 \(f(x) = \delta\)이며, 모든 \(w \in W\)에 대해 \(f(w) = 0\)을 만족하는 \(f \in X'\)이 존재한다.
증명
일반성을 잃지 않고, \(W\)가 닫혀있다고 가정할 수 있다. \(Y = \operatorname{Sp} \{x\} \oplus W\)라고 하고, \(Y\)에서 선형범함수 \(f_Y\)를 다음과 같이 정의하자. \[f_Y(\alpha x + w) = \alpha \delta, \quad \alpha \in \mathbb{F},\,\,w \in W.\] 우선 \(\lVert f_Y \rVert \leq 1\)임을 보이자. \(\alpha = 0\)인 경우는 자명하므로 \(\alpha \neq 0\)이라 가정하자. \(\delta\)의 정의에 의해 임의의 \(w \in W\)에 대해 \(\delta \leq \lVert x + \alpha^{-1}w \rVert\)이므로 다음이 성립한다. \[ |f_Y(\alpha x + w)| = |\alpha|\delta \leq |\alpha| \left\lVert x + \frac{1}{\alpha}w \right\rVert = \lVert \alpha x + w \rVert. \] 따라서 임의의 \(y \in Y\)에 대해 \(|f_Y(y)| \leq \lVert y \rVert\)이므로 \(\lVert f_Y \rVert \leq 1\)이다.
다음으로 \(\lVert f_Y \rVert \geq 1\)임을 보이자. \(\delta\)는 하한(infimum)이므로, 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여 \(\delta \leq \lVert x - w_{\epsilon} \rVert < \delta + \epsilon\)을 만족시키는 \(w_{\epsilon} \in W\)가 존재한다. 이때 \(y_{\epsilon} = x - w_{\epsilon}\)이라 하면, \(f_Y(y_{\epsilon}) = \delta\)이고 \(\lVert y_{\epsilon} \rVert < \delta + \epsilon\)이다. 따라서 \[ \lVert f_Y \rVert \geq \frac{|f_Y(y_{\epsilon})|}{\lVert y_{\epsilon} \rVert} > \frac{\delta}{\delta + \epsilon} \] 이다. \(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(\epsilon \rightarrow 0\)으로 보내면 \(\lVert f_Y \rVert \geq 1\)을 얻는다.
결과적으로 \(\lVert f_Y \rVert = 1\)이고, 정리 2에 의해 \(f_Y\)는 \(X\) 전체로 확장 가능하다. 또한 \(f\)의 정의에 의해 \(w \in W\)에 대해 \(f(w)=0\)이고 \(f(x)=\delta\)이다.
정리 3에 의하여 다음과 같은 결과를 얻는다.
따름정리 4.
임의의 \(x \in X\)에 대하여 다음이 성립한다.
- \(\lVert f \rVert = 1\)이고 \(f(x) = \lVert x \rVert\)를 만족시키는 \(f \in X'\)가 존재한다.
- \(\lVert x \rVert = \sup\{|f(x)| \,\vert\, f \in X',\,\lVert f \rVert = 1\} .\)
- \(x \neq y\)인 \(y \in X\)가 존재하면, \(f(x) \neq f(y)\)를 만족시키는 \(f \in X'\)가 존재한다.
따름정리 5.
\(x_1,\,\ldots,\,x_n \in X\)가 일차독립이면 \(f_j(x_k) = \delta_{jk}\), \(1 \leq j \leq n,\) \(1\leq k \leq n\)을 만족시키는 \(f_1,\,\ldots,\,f_n \in X'\)이 존재한다.
다음으로, \(X\)와 \(X'\)의 “크기”에 대하여 다음과 같은 결과를 얻는다.
정리 6.
\(X'\)이 가분공간이면 \(X\)도 가분공간이다.
증명
\(B = \{f \in X' \,\vert\, \lVert f \rVert = 1\}\)이라고 하자. \(X'\)이 가분공간이므로 모든 원소가 범함수이고 \(B\)에서 조밀한 가산집합 \[F = \{f_1,\,f_2,\,\ldots\} \subset B\]가 존재한다. 각 \(n \geq 1\)에 대해, \(\lVert w_n \rVert = 1\)이고 \(f_n(w_n) \geq \frac{1}{2}\)를 만족시키는 \(w_n\)을 택하고, \(W = \overline{\operatorname{Sp} \{w_1,\,w_2,\,\ldots\}}\)라고 하자.
만약 \(W \neq X\)라면, 정리 4에 의해 \(B\)의 원소 \(f\)가 존재하여 모든 \(w \in W\)에 대해 \(f(w) = 0\)을 만족시킨다. 이때 \(F\)가 \(B\)에서 조밀하므로, \(\lVert f_k - f \rVert < \frac{1}{4}\)을 만족시키는 \(f_k \in F\)를 선택할 수 있다. 그러면 \[ \frac{1}{2} \leq |f_k(w_k)| = |f_k(w_k) - f(w_k)| \leq \lVert f_k - f \rVert \lVert w_k \rVert < \frac{1}{4} \] 이 되어 모순이 발생한다. (여기서 \(w_k \in W\)이므로 \(f(w_k)=0\)임을 이용하였다.) 그러므로 \(W = X\)이다. 이로써 \(\{w_1,\,w_2,\,\ldots\}\)의 유한 일차결합의 집합은 유리수 또는 복소유리수 스칼라 계수에 의하여 \(X\)에서 가산인 조밀부분집합을 형성하므로, \(X\)는 가분공간이다.
\(1 \leq p < \infty\)인 임의의 \(p\)에 대하여 \(\ell^p\)가 가분공간이지만, \(\ell^{\infty}\)는 가분공간이 아니다. 이것은 정리 6의 한 예이기도 하면서, 정리 6의 역이 성립하지 않음을 보이는 반례이기도 하다. 왜냐하면 \((\ell^1)'\)은 등거리동형사상에 의해 \(\ell^{\infty}\)와 동형이기 때문이다. 더욱이 정리 6에 의하여 \((\ell^{\infty})'\)은 가분공간이 아니므로, \(\ell^1\)은 \((\ell^{\infty})'\)와 동형일 수 없다.