\(\mathbb{R}\) 또는 \(\mathbb{C}\) 위에서 정의된 유한차원 벡터공간의 부분집합이 컴팩트이기 위한 필요충분조건은 유계이고 닫힌 집합인 것이다. 그러나 무한차원 공간에서는 이러한 필요충분조건이 성립하지 않는다. 이 글에서는 지금까지 사용했던 수렴보다 약한 수렴의 정의를 도입하고, 그와 같은 정의를 바탕으로 집합이 컴팩트이기 위한 조건에 관한 정리가 부분적으로 성립함을 살펴보고자 한다. 이 글에서 별다른 언급이 없는 …

힐베르트 공간 \(\mathcal{H}\)의 닫힌 부분벡터공간 \(Y\)이 있을 때 \(Y\)의 직교여공간 \(Y^{\perp}\)을 정의할 수 있다. 또한 임의의 \(x \in \mathcal{H}\)에 대하여 \(x = y + z\)인 \(y \in Y\)와 \(z \in Y^{\perp}\)가 각각 유일하게 존재한다. 이러한 분해 형태는 여공간의 개념이 얼마나 유용한지 보여주는 예이다. 이 글에서는 여공간의 개념을 더 자세히 살펴보고, …

X가 F 위에서 정의된 벡터공간일 때, X로부터 F로의 선형변환들의 모임은 벡터공간이다. 특히 X가 노름공간일 때 X로부터 F로의 연속선형범함수의 모임을 X의 쌍대공간이라고 부르고 X’으로 나타낸다. X가 노름공간일 때 X의 쌍대공간의 쌍대공간 (X’)’을 생각할 수 있다. 이 공간을 X의 제2쌍대공간이라고 부르고 X”으로 나타낸다. 이 글에서는 제2쌍대공간의 성질과 쌍대연산자의 성질을 살펴본다.

이전 글에서 증명 없이 한-바나흐 정리를 소개하였다. 또한 특수한 경우로서 노름벡터공간에서의 한-바나흐 정리의 증명을 소개하였다. 이 글에서는 일반적인 경우에 대한 한-바나흐 정리의 증명을 소개한다.

이 글에서는 노름공간에서의 한-바나흐 정리를 살펴보자. 이미 이전 글에서 복소벡터공간에서의 한-바나흐 정리를 살펴보았고, 이 글에서 살펴보는 정리는 이전 글에서 살펴보는 정리의 특수한 경우이지만, 노름공간에서의 한-바나흐 정리는 다양한 응용 과정에서 자주 사용되므로 별도로 살펴볼 가치가 있다.

\(X\)가 \(\mathbb{F}\) 위에서 정의된 벡터공간이고 \(W\)가 \(X\)의 부분공간이라고 하자. \(W\) 위에서 정의된 선형범함수 \(f_W : W \rightarrow \mathbb{F}\)를 다루다 보면 종종 이 함수의 정의역을 \(X\) 전체로 확장해야 하는 경우가 있다. 이 글에서는 선형범함수의 성질을 유지한 채 정의역을 확장한 확장함수를 살펴보자. 확장함수가 본래 함수의 성질을 보존하는지 살피기 위하여 부분선형의 개념을 도입하며, …

일반적으로 쌍대공간의 원소를 개별적으로 살펴보는 일은 비교적 쉽지만, 쌍대공간 전체의 특징을 식별하는 일은 어렵다. 이 글에서는 우선 유한차원 공간의 쌍대공간의 성질을 살펴본 후, 무한차원 공간의 쌍대공간의 성질을 밝히기 위한 정리를 살펴본다.

\(A\)가 k차 정사각행렬이고 \(x\in\mathbb{F}^k\)일 때, 연립방정식 \(Ax = y\)를 푸는 방법 중 하나는 역행렬 \(A^{-1}\)를 찾고 해를 \(x = A^{-1}y\)로 구하는 것이다. 이것은 \(A\)의 역행렬이 존재할 때 가능하다. 이 글에서는 이와 같은 상황을 무한차원으로 확장하여 살펴보자.

이 글에서는 노름공간 X와 Y 사이의 연속선형연산자의 모임으로 이루어진 공간 B(X, Y)의 구조를 살펴보자. Y가 완비일 때 B(X, Y)가 완비공간이라는 사실을 밝힌다. 또한 연속선형연산자의 곱을 정의하고 B(X)의 대수적 구조를 밝힌다.

X와 Y가 노름공간일 때 B(X, Y)는 벡터공간이다. 이 글에서는 B(X, Y)에 적절한 연산자노름을 정의하고, B(X, Y)가 노름벡터공간이라는 사실을 살펴보자. 또한 등거리변환 개념을 도입하고, 가분 힐베르트 공간과 등거리동형인 공간을 살펴보자.

노름벡터공간은 노름과 관련된 거리 구조를 가지고 있으므로, 노름벡터공간 사이에서 정의된 함수의 연속성을 생각할 수 있다. 일반적으로 거리공간 사이에서 정의된 함수 중 연속함수가 연속이 아닌 함수보다 더 중요하다. 따라서 노름벡터공간 사이에서 정의된 연속선형변환에 관심을 집중하여 살펴보자.

내적공간의 정규직교수열과 기저에 관한 이론을 바탕으로, 힐베르트 공간에서의 푸리에 급수의 이론적 기초를 전개할 수 있다. 이 글에서는 복소지수함수의 정규직교수열이 내적공간 \(L^2_\mathbb{C}[-\pi,\,\pi]\)의 기저를 형성함을 증명하고, \(L^2\) 공간에서의 다양한 정규직교기저를 살펴보자.