Lecture Notes

지난 글에서 우리는 바나흐 공간에서의 미분(프레셰 미분)을 정의하고, 이를 통해 비선형 함수를 국소적으로 선형 함수로 근사하는 방법을 살펴보았다. 이 글에서는 비선형 방정식의 해의 존재성과 유일성을 다루는 두 가지 중요한 정리인 역함수 정리(Inverse Function Theorem)와 음함수 정리(Implicit Function Theorem)를 증명할 것이다. 이 글에서 \(X,\, Y,\, Z\)는 바나흐 공간을 나타내며, \(U\)는 \(X\)의 …

일변수 미적분학에서 함수의 도함수 \(f’\)가 다시 미분가능하면 이계도함수 \(f”\)을 정의할 수 있다. 이와 마찬가지로, 바나흐 공간 사이의 함수 \(F : X \rightarrow Y\)에 대해서도 프레셰 도함수 \(F’ : X \rightarrow B(X, Y)\)가 다시 미분가능하다면 이계도함수를 정의할 수 있다. 이 글에서는 고계도함수의 정의를 살펴보고, 이것을 바탕으로 무한차원 공간에서의 테일러 정리(Taylor’s Theorem)를 …

지금까지 우리는 선형연산자 \(T : X \rightarrow Y\)를 주로 다루었다. 선형연산자는 공간의 구조를 보존하는 가장 기본적인 도구이다. 그러나 자연계의 많은 현상은 비선형 방정식으로 기술된다. 비선형 함수해석학(nonlinear functional analysis)은 이러한 비선형 문제를 해결하기 위한 방법을 연구한다. 미분적분학에서 곡선을 접선으로 근사하듯이, 무한차원 공간에서도 비선형 함수 \(F : X \rightarrow Y\)를 국소적으로(locally) 선형연산자로 …

“함수해석학 맛보기”는 제가 함수해석학을 공부하면서 정리한 글입니다. 학부 수준에서 볼 만한 내용을 다루고 있습니다. 단순한 개념 요약이 아니라 핵심 내용을 체계적으로 정리하고자 노력했으며, 선형대수학 지식을 바탕으로 직관적으로 이해하는 데 초점을 맞추어 작성했습니다. 총 44편의 글로 이루어져 있으며, 주로 선형대수학과 미적분학에서 다루었던 개념을 차원이 무한인 경우로 확장한 내용을 정리하였습니다. 함수해석학을 공부하기 …

이 글에서는 복소힐베르트 공간에서 정의된 자기수반 컴팩트 연산자의 스펙트럼을 살펴보자. 자기수반 컴팩트 연산자의 경우 일반적인 컴팩트 연산자보다 스펙트럼에 관련된 더 좋은 결론을 끌어낼 수 있다. 왜냐하면 자기수반이라는 조건이 추가되었을 때 그 연산자에 대한 불변공간을 다룰 수 있기 때문이다. 정의 1. (불변부분공간) \(X\)가 벡터공간이고 \(S \in L(X)\)라고 하자. 부분벡터공간 \(W \subset …

유한차원 힐베르트공간에서 선형연산자 \(T\)의 스펙트럼 \(\sigma (T)\)는 중복도가 유한인 유한 개의 고윳값으로 이루어져 있다. 무한차원 힐베르트공간에서 정의된 선형연산자의 스펙트럼은 그 형태가 매우 다를 수 있다. 그러나 컴팩트연산자의 스펙트럼은 유한차원에서 정의된 선형연산자와 스펙트럼과 유사한 성질을 가진다. 즉 무한차원 힐베르트공간에서 정의된 컴팩트연산자 \(T\)의 스펙트럼 \(\sigma (T)\)는 중복도가 유한인 가산 개의 \(0\)이 아닌 …

컴팩트연산자는 유한차원 선형대수학에서 살펴본 선형변환의 많은 성질을 무한차원에서도 유지하고 있는 유용한 연산자이다. 이 글에서는 컴팩트연산자의 개념과 그 성질을 살펴본다. 별다른 언급이 없으면, 이 글에서 벡터공간은 복소체 위에서 정의된 것으로 약속한다. 정의 1. (컴팩트연산자) \(X\)와 \(Y\)를 노름공간이라고 하자. 선형변환 \(T \in L(X,\, Y)\)가 컴팩트연산자라는 것은, \(X\)에서 임의의 유계수열 \(\{x_n\}\)에 대해, \(Y\)에서의 …

\(\mathcal{H}\)가 복소힐베르트공간이고 \(S \in B(\mathcal{H})\)가 자기수반연산자이면 다음 두 조건은 서로 필요충분조건이다. \(\sigma(S) \subseteq [0, \,\infty)\) 모든 \(x \in \mathcal{H}\)에 대하여 \(\langle Sx,\,x \rangle \geq 0\)이다. 이와 같은 조건을 만족시키는 연산자는 유용한 성질을 가진다. 이 글에서는 위 조건을 만족시키는 연산자의 다양한 성질을 살펴본다. 정의 1. (양연산자와 양행렬) \(\mathcal{H}\)가 복소힐베르트공간이고 \(S \in …

정사각행렬 \(A\)가 주어졌을 때, 이 행렬의 고윳값과 관련하여 고려해야 할 중요한 집합은 다음과 같다. \[\mathcal{A} = \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, A – \lambda I \text{ is not invertible.}\}\] 실제로 집합 \(\mathcal{A}\)는 행렬 \(A\)의 고윳값의 집합이다. 유한차원 벡터공간을 다루는 선형대수학의 많은 부분에서 고윳값이 등장하기 때문에, 고윳값의 집합의 개념을 무한차원 공간으로 확장하면 …

수반연산자는 여러 가지 연산자의 특성을 파악할 수 있게 해주는 개념이다. 특히 수반연산자를 사용하여 정규연산자, 자기수반연산자, 유니타리연산자를 정의할 수 있다. 이들 연산자는 선형대수학과 함수해석학에서 자주 등장한다. 우선 정규연산자를 살펴보자. 정의 1. (정규연산자와 정규행렬) \(\mathcal{H}\)가 복소힐베르트공간이고 \(T \in B(\mathcal{H})\)라고 하자. 이때 \(T\)가 정규연산자라는 것은 \[TT^* = T^*T\] 가 성립함을 의미한다. \(A\)가 정사각행렬이라고 …

힐베르트 공간에서 정의된 연산자의 공간에 특정한 구조를 부여하여 연산자의 가역성 판별과 관련된 유용한 결과를 얻을 수 있다. 이것이 바로 “수반연산자”이다. 이 글에서는 수반연산자의 개념을 살펴보고, 수반연산자를 구하는 몇 가지 예를 살펴본다. 그 뒤 수반연산자의 성질을 살펴보고, 그러한 성질이 연산자의 가역성과 어떠한 관계가 있는지 살펴본다. 그런 다음, 수반연산자 개념을 바탕으로 정규연산자, …

\(\mathbb{R}\) 또는 \(\mathbb{C}\) 위에서 정의된 유한차원 벡터공간의 부분집합이 컴팩트이기 위한 필요충분조건은 유계이고 닫힌 집합인 것이다. 그러나 무한차원 공간에서는 이러한 필요충분조건이 성립하지 않는다. 이 글에서는 지금까지 사용했던 수렴보다 약한 수렴의 정의를 도입하고, 그와 같은 정의를 바탕으로 집합이 컴팩트이기 위한 조건에 관한 정리가 부분적으로 성립함을 살펴보고자 한다. 이 글에서 별다른 언급이 없는 …