거리공간 리뷰

이 포스트에서는 수학의 다양한 분야를 공부하기 위해 필요한 거리공간의 주제를 간략하게 살펴봅니다.

거리공간의 개념
수열의 극한
열린집합과 닫힌집합
연속함수
완비거리공간
컴팩트 거리공간
가분공간

거리공간의 개념

거리공간은 수열의 수렴이나 함수의 연속성과 같은 해석적 개념을 다루기 위한 추상적인 공간이다. 수렴이나 연속성을 논하이 위해 필요한 기본적인 도구가 바로 거리의 개념이다. 실수계 $R$ 와 복소수계 $C$ 에서의 절댓값, 벡터공간의 노름은 다음과 같은 성질을 가진다.

임의의 $x$ 에 대하여 $| x | \geq 0$ 이다.
임의의 $x,$ $y$ 에 대하여, $| x - y | = 0$ 이기 위한 필요충분조건은 $x = y$ 인 것이다.
임의의 $x,$ $y$ 에 대하여, $| x - y | = | y - x |$ 이다.
임의의 $x,$ $y,$ $z$ 에 대하여, $| x - z | \leq | x - y | + | y - z |$ 이다.

위와 같은 진술이 어떠한 공간을 염두에 두었는지에 따라 $x,$ $y,$ $z$ 는 실수, 복소수, 또는 벡터가 될 수 있다. 이와 같은 성질을 추상화하여 다음과 같이 거리를 정의한다.

정의 1. (거리)

$M$ 이 집합이라고 하자. 만약 함수 $d : M \times M \to R$ 이 다음 네 조건을 모두 만족시키면, $d$ 를 $M$ 위에서 정의된 거리라고 부른다.

임의의 $x,$ $y \in M$ 에 대하여, $d (x, y) \geq 0$ 이다.
임의의 $x,$ $y \in M$ 에 대하여, $d (x, y) = 0$ 이기 위한 필요충분조건은 $x = y$ 이다.
임의의 $x,$ $y \in M$ 에 대하여, $d (x, y) = d (y, x)$ 이다.
임의의 $x,$ $y,$ $z \in M$ 에 대하여, $d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z)$ 이다. 이 부등식을 삼각부등식이라고 부른다.

집합 $M$ 에 거리 $d$ 가 주어졌을 때, 쌍 $(M, d)$ 을 거리공간(metric space)이라고 부른다.

집합 $M$ 의 원소가 두 개 이상이라면, $M$ 위에서 서로 다른 거리를 정의할 수 있다. 만약 $M$ 위에 정의된 거리가 무엇인지 명확한 경우에는 “거리공간 $(M, d)$ ” 대신에 간단히 “거리공간 $M$ ”이라고 표현한다.

보기 2. (유클리드 공간 위에서 정의된 거리)

양의 정수 $k \geq 1$ 에 대하여, 함수 $d : F^{k} \times F^{k} \to R$ 을 다음과 같이 정의하자. $d (x, y) = {(\sum_{j = 1}^{k} | x_{j} - y_{j} |^{2})}^{1 / 2} .$ 이 함수는 집합 $F^{k}$ 위에서 정의된 거리이다. 이 거리를 $F^{k}$ 의 표준거리라 부른다. 다르게 명시하지 않는 한 $F^{k}$ 은 이와 같은 표준거리를 가진 거리공간으로 간주한다.

$F^{k}$ 위에서 정의할 수 있는 다른 거리의 예로서, 함수 $d_{1} : F^{k} \times F^{k} \to R$ 을 다음과 같이 정의할 수 있다. $d_{1} (x, y) = \sum_{j = 1}^{k} | x_{j} - y_{j} | .$

$(M, d)$ 가 거리공간이고 $N$ 이 $M$ 의 부분집합일 때, $M$ 위에서 정의된 거리 $d$ 를 사용하여 자연스럽게 $N$ 위에서 정의된 거리를 유도할 수 있다.

정의 3. (유도된 거리)

$(M, d)$ 를 거리공간이라 하고 $N$ 을 $M$ 의 부분집합이라 하자. $d_{N} : N \times N \to R$ 을

임의의 $x, y \in M$ 에 대하여 $d_{N} (x, y) = d (x, y)$

라고 정의하자. (즉, $d_{N}$ 은 $d$ 의 정의역을 $N \times N$ 으로 제한한 함수이다.) 그러면 $d_{N}$ 은 $N$ 위에서의 거리가 된다. 이와 같은 거리 $d_{N}$ 을 $d$ 에 의하여 $N$ 위에서 유도된 거리라고 부른다. 그리고 이와 같은 유도된 거리가 주어진 공간 $N$ 을 $M$ 의 부분공간이라고 부른다.

거리공간의 부분집합을 살펴볼 때는, 달리 명시하지 않는 한, 유도된 거리가 주어진 거리공간으로 간주한다. 또한, 일반적으로 유도된 거리를 나타낼 때도 원래 거리와 같은 표기법을 유지한다. 즉, 위 정의의 표기법에서 유도된 거리를 $d_{N}$ 대신 그냥 $d$ 로 쓴다.

수열의 극한

형식적으로, 집합 $X$ 에서의 수열은 함수 $s : N \to X$ 로 정의된다. 여기서 정의역 $N$ 은 $N$ 과 순서동형인 다른 집합으로 바뀌어도 된다. $X$ 에서의 수열을 $X$ 의 원소들로 이루어진 순서 리스트 $(x_{1}, x_{2}, \dots)$ 과 같은 형태로도 표현할 수 있는데, 여기서 각 $n \in N$ 에 대해 $x_{n} = s (n)$ 이다. 함수를 사용한 정의는 논리적으로 정확하지만, 직관적으로는 원소들의 순서 리스트라는 개념이 더 도움이 된다.

수열을 함수 형태로 표현하는 대신, 간결하게 ${x_{n}}$ 과 같은 형태로 표현하자. 만약 첨자 변수를 강조할 필요가 있다면, 수열을 ${x_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ )와 같이 나타낸다. 엄밀히 말하면, 이 표기법은 (순서가 있는) 수열 ${x_{n}}$ 과 (순서가 없는) 항들의 집합 ${x_{n} : n \in N}$ 또는 단일 원소 $x_{n}$ 으로 구성된 집합 중 어느 것을 나타내는지 혼동을 일으킬 수 있지만, 실제로는 거의 문제가 되지 않는다. 수열을 나타낼 때 $(x_{n})$ 과 같은 표기법도 종종 사용되지만, 수열의 함수를 살펴볼 때 이 표기법은 개별 원소 $x_{n}$ 이 함수의 인수인 것처럼 보일 수 있으므로 신중하게 사용해야 한다.

수열 ${x_{n}}$ 의 부분수열은 ${x_{n (r)}}_{r = 1}^{\infty}$ 형태의 수열인데, 여기서 $n (r) \in N$ 은 $r \in N$ 에 대하여 순증가하는 함수이다.

보기 4. (함수 공간으로서의 수열 공간)

$N$ 에서 $F$ 로 가는 함수로서의 수열의 정의를 사용하면, 공간 $F (N, F)$ 는 $F$ 에서 정의된 모든 수열로 이루어진 공간과 동일시될 수 있음을 알 수 있다.

수열의 극한은 해석학에서 다루는 기본 개념 중 하나이다. 이제 거리공간에서의 수열의 수렴을 정의하자. 지금부터 ${x_{n}}$ 이 거리공간 $(M, d)$ 에서의 수열이라고 할 때, 이것은 수열 ${x_{n}}$ 의 모든 항이 집합 $M$ 에 속함을 의미한다.

정의 5. (수열의 극한과 코시 수열)

거리공간 $(M, d)$ 에서의 수열 ${x_{n}}$ 과 점 $x \in M$ 을 생각하자.

만약 임의의 $ϵ > 0$ 에 대하여, 어떤 $N \in N$ 이 존재하여,

$n > N$ $⟹$ $d (x, x_{n}) < ϵ$

이 성립하면, “수열 ${x_{n}}$ 이 $x$ 에 수렴한다”라고 말한다. 이때 $x$ 를 ${x_{n}}$ 의 극한이라고 부른다. 이것을 기호로 $lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ 또는 $x_{n} \to x$ 로 나타한다.

수열 ${x_{n}}$ 이 코시 수열이라는 것은, 임의의 $ϵ > 0$ 에 대하여, 어떤 $N \in N$ 이 존재하여,

$m > N, n > N$ $⟹$ $d (x_{m}, x_{n}) < ϵ$

이 성립하는 것을 뜻한다.

실수열의 수렴 개념을 사용하면, 위의 정의는 각각 다음과 동치이다.

$n \to \infty$ 일 때 $d (x, x_{n}) \to 0$ 이다.
$m, n \to \infty$ 일 때 $d (x_{m}, x_{n}) \to 0$ 이다.

정리 6. (수렴하는 극한의 성질)

거리공간 $(M, d)$ 에서 수열 ${x_{n}}$ 을 생각하자. 만약 ${x_{n}}$ 이 $x$ 에 수렴하면, 다음이 성립한다.

${x_{n}}$ 의 극한 $x$ 는 유일하다.
${x_{n}}$ 의 임의의 부분수열은 $x$ 에 수렴한다.
${x_{n}}$ 은 코시 수열이다.

열린집합과 닫힌집합

거리 개념을 바탕으로 거리공간의 부분집합의 다양한 성질을 정의할 수 있다.

정의 7. (열린 공과 닫힌 공)

$(M, d)$ 가 거리공간이고, $x \in M,$ $r > 0$ 이라고 하자. 이때 집합 $B_{r} (x) = {y \in M | d (x, y) < r}$ 을 중심이 $x$ 이고 반지름이 $r$ 인 열린 공이라고 부른다. $r = 1$ 이면 공 $B_{r} (x)$ 를 열린 단위공이라고 한다.

집합 ${y \in M | d (x, y) \leq r}$ 를 중심이 $x$ 이고 반지름이 $r$ 인 닫힌 공이라고 부른다. $r = 1$ 이면 이 집합을 닫힌 단위공이라고 부른다.

책에 따라서는 중심이 $x$ 이고 반지름이 $r$ 인 열린 공을 $B_{x} (r)$ 또는 $B (x, r)$ 로 나타내기도 한다. 그러므로 기호 $B_{x} (r)$ 가 있을 때는 $x$ 와 $r$ 중 어느 것이 중심이고 어느 것이 반지름을 나타내는 것인지 주의하여 살펴야 한다.

정의 8. (거리공간 부분집합의 성질)

$(M, d)$ 를 거리공간이라 하고 $A \subset M$ 이라고 하자.

$A$ 가 유계(bounded)라는 것은 [모든 $x, y \in A$ 에 대하여 $d (x, y) < b$ ]를 만족하는 수 $b > 0$ 이 존재하는 것이다.
$A$ 가 열린 집합이라는 것은, $A$ 의 각 점 $x$ 에 대하여, [ $B_{ϵ} (x) \subset A$ 를 만족하는 $ϵ > 0$ 이 존재]하는 것이다.
$A$ 가 닫힌 집합이라는 것은 집합 $M ∖ A$ 가 열린 집합인 것이다.
점 $x \in M$ 이 $A$ 의 폐포점이라는 것은, 임의의 $ϵ > 0$ 에 대하여, $d (x, y) < ϵ$ 을 만족하는 점 $y \in A$ 가 존재하는 것이다. (즉 $y_{n} \to x$ 를 만족하는 수열 ${y_{n}} \subset A$ 가 존재하는 것이다.)
$A$ 의 폐포점을 모두 모은 집합을 $A$ 의 폐포(closure)라고 부르며, $A$ 또는 $A^{-}$ 로 표기한다.
$A$ 가 $M$ 에서 조밀하다(dense)는 것은 $\overset{―}{A} = M$ 인 것이다.

$A$ 의 폐포를 나타내기 위해 $\overset{―}{A}$ 또는 $A^{-}$ 표기법을 모두 사용한다. $\overset{―}{A}$ 와 같은 표기법이 매우 일반적이지만, $A^{-}$ 표기법은 복소수 켤레와의 혼동을 피하거나 복잡한 식으로 표현되는 집합의 폐포를 표기할 때 유용하다.

$x \in A$ 이면 $x$ 는 정의에 의해 $A$ 의 폐포점이다. 따라서 $A \subset \overset{―}{A}$ 이다. 그러나 반드시 $A = \overset{―}{A}$ 일 필요는 없다.

정리 9. (폐포와 조밀한 집합의 성질)

$(M, d)$ 를 거리공간이라 하고 $A \subset M$ 이라 하자.

$\overset{―}{A}$ 는 닫힌 집합이며, $A$ 를 포함하는 모든 닫힌 집합의 교집합과 같다. (즉 $\overset{―}{A}$ 는 $A$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다.)
$A$ 가 닫힌 집합이기 위한 필요충분조건은 $A = \overset{―}{A}$ 인 것이다.
$A$ 가 닫힌 집합이기 위한 필요충분조건은, $A$ 에서의 수열 ${x_{n}}$ 이 원소 $x \in M$ 에 수렴할 때마다 $x \in A$ 인 것이다.
$x \in \overset{―}{A}$ 이기 위한 필요충분조건은 $inf {d (x, y) : y \in A} = 0$ 인 것이다.
임의의 $x \in M$ 과 $r > 0$ 에 대하여, 중심이 $x$ 이고 반지름이 $r$ 인 열린공과 닫힌공은 각각 열린집합과 닫힌집합이다. 또한, $\overset{―}{B_{r} (x)} \subset {y \in M : d (x, y) \leq r}$ 이지만, 일반적으로 이 집합들이 같을 필요는 없다.
$A$ 가 $M$ 에서 조밀하기 위한 필요충분조건은, 임의의 원소 $x \in M$ 과 임의의 수 $ϵ > 0$ 에 대하여, $d (x, y) < ϵ$ 을 만족하는 점 $y \in A$ 가 존재하는 것이다. (이것은 임의의 원소 $x \in M$ 에 대하여 $y_{n} \to x$ 를 만족하는 수열 ${y_{n}} \subset A$ 가 존재하는 것과 동치이다.)

직관적으로, 집합 $A$ 가 $M$ 에서 조밀하다는 것은 $M$ 의 임의의 원소 $x$ 가 $M$ 의 거리의 의미에서 “ $A$ 의 원소들로 임의로 가깝게 근사될 수 있다”는 것을 의미한다.

$(M, d)$ 가 거리공간이고 $N \subset M$ 이면, $(N, d)$ 도 거리공간이다. 따라서 위의 모든 개념은 $(N, d)$ 에서도 의미가 있다. 그러나 주어진 맥락에서 이 공간들 중 어느 것이 사용되는지 명확히 하는 것이 중요하다. 결과가 다를 수 있기 때문이다.

보기 10. (전체공간에 따라 달라지는 성질)

$M = R$ 을 표준거리를 가진 공간이라 하고, $N = (0, 1] \subset M$ 이라 하자. $A = (0, 1)$ 이면, $N$ 에서의 $A$ 의 폐포는 $N$ 과 같다. 즉 $A$ 는 $N$ 에서 조밀하다. 그러나 $M$ 에서의 $A$ 의 폐포는 $[0, 1]$ 이다.

연속함수

실해석학에서 “연속 함수”의 개념은 $R$ 에서의 표준거리를 사용하여 정의된다. 이제 이 개념을 일반적인 거리공간에서 정의된 함수로 확장한다.

정의 11. (함수의 연속성)

$(M, d_{M})$ 과 $(N, d_{N})$ 을 거리공간이라 하고 $f : M \to N$ 을 함수라 하자.

$f$ 가 점 $x \in M$ 에서 연속이라는 것은, 임의의 $ϵ > 0$ 에 대하여, $δ > 0$ 가 존재하여, 임의의 $y \in M$ 에 대하여, $d_{M} (x, y) < δ ⟹ d_{N} (f (x), f (y)) < ϵ$ 을 만족시키는 것이다.
$f$ 가 $M$ 에서 연속이라는 것은 $f$ 가 $M$ 의 각 점에서 연속인 것이다.
$f$ 가 $M$ 에서 균등연속이라는 것은, 임의의 $ϵ > 0$ 에 대하여, $δ > 0$ 이 존재하여, 임의의 $x, y \in M$ 에 대하여, $d_{M} (x, y) < δ ⟹ d_{N} (f (x), f (y)) < ϵ$ 을 만족시키는 것이다. (즉, $δ$ 를 $x, y \in M$ 과 무관하게 독립적으로 선택할 수 있다.)

실해석학에서와 마찬가지로 연속성의 개념은 수열, 열린 집합 및 닫힌 집합과 밀접하게 연관되어 있다.

정리 12. (연속성과 동치인 명제)

$(M, d_{M})$ , $(N, d_{N})$ 을 거리공간이라 하고 $f : M \to N$ 을 함수라 하자.

$f$ 가 $x \in M$ 에서 연속이기 위한 필요충분조건은, $x_{n} \to x$ 를 만족시키는 $(M, d_{M})$ 에서의 임의의 수열 ${x_{n}}$ 에 대하여, $(N, d_{N})$ 에서의 수열 ${f (x_{n})}$ 이 $f (x_{n}) \to f (x)$ 를 만족시키는 것이다.
$f$ 가 $M$ 에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $N$ 의 임의의 열린 집합 $A$ 에 대하여, 집합 $f^{- 1} (A) \subset M$ 이 열린 집합인 것이다.
$f$ 가 $M$ 에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $N$ 의 임의의 닫힌 집합 $B$ 에 대하여, 집합 $f^{- 1} (B) \subset M$ 이 닫힌 집합인 것이다.

따름정리 13. (연속함수의 일치 정리)

$(M, d_{M})$ , $(N, d_{N})$ 을 거리공간이라 하고, $A$ 를 $M$ 의 조밀한 부분집합이라 하며, $f, g : M \to N$ 을 모든 $x \in A$ 에 대하여 $f (x) = g (x)$ 를 만족하는 연속 함수라 하자. 그러면 $f = g$ 이다. (즉, 모든 $x \in M$ 에 대하여 $f (x) = g (x)$ 이다.)

완비거리공간

정리 6의 (c)의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉 $(M, d)$ 가 거리공간이고 ${x_{n}}$ 이 $M$ 에서 정의된 코시 수열이지만, ${x_{n}}$ 이 $M$ 의 어느 점에도 수렴하지 않을 수 있다.

하지만 만약 거리공간 $(M, d)$ 에서 정리 6의 (c)의 역이 성립한다면, 이 공간은 매우 유용하게 사용될 수 있다.

정의 14. (완비거리공간)

거리공간 $(M, d)$ 가 완비라는 것은 $(M, d)$ 에서의 임의의 코시 수열이 $(M, d)$ 의 점에 수렴하는 것을 의미한다. 집합 $A \subset M$ 이 $(M, d)$ 에서 완비라는 것은 $A$ 에 속하는 모든 코시 수열이 $A$ 의 원소로 수렴하는 것을 의미한다.

표준기저가 주어진 유한 차원 유클리드 거리공간은 완비이다.

정리 15. (유클리드 공간의 완비성)

각 $k \geq 1$ 에 대하여, 표준거리를 가진 공간 $F^{k}$ 은 완비이다.

다음 정리는 거리공간 이론의 중요한 결과로서, 해석학에서 자주 사용된다. 이것은 완비 거리공간이 해석학에서 매우 중요한 이유 중 하나이다.

정리 16. (Baire 범주 정리.)

$(M, d)$ 가 완비 거리공간이고 $A_{1},$ $A_{2},$ $\dots$ 가 $M$ 의 닫힌 부분집합이며 $M = ⋃_{j = 1}^{\infty} A_{j}$ 라고 하자. 그러면 $A_{j}$ 중 적어도 하나는 열린 공을 포함한다.

컴팩트 거리공간

실해석학에서 집합의 컴팩트성은 균등연속, 균등수렴 등의 개념과 결합하여 중요한 역할을 한다. 거리공간에서도 마찬가지로 컴팩트성이 매우 중요한 개념이다.

정의 17. (컴팩트 집합)

$(M, d)$ 를 거리공간이라 하자. 집합 $A \subset M$ 이 컴팩트라는 것은 $A$ 에서의 모든 수열 ${x_{n}}$ 이 $A$ 의 원소로 수렴하는 부분수열을 포함하는 것이다. 집합 $A \subset M$ 이 상대적 컴팩트라는 것은 폐포 $\overset{―}{A}$ 가 컴팩트인 것이다. 집합 $M$ 자체가 컴팩트이면 $(M, d)$ 를 컴팩트 거리공간이라고 부른다.

“열린 덮개”를 사용하여 컴팩트성을 정의할 수도 있다. 위상공간에서는 “열린 덮개”를 사용한 정의가 더 일반적이다. 그러나 거리공간에서는 수렴하는 부분수열을 사용한 정의와 열린 덮개를 사용한 정의가 동치이다.

정리 18. (완비성 및 컴팩트성과 관련된 성질)

$(M, d)$ 를 거리공간이라 하고 $A \subset M$ 이라 하자.

$A$ 가 완비이면 $A$ 는 닫힌 집합이다.
$M$ 이 완비일 때, $A$ 가 완비일 필요충분조건은 $A$ 가 닫힌 집합인 것이다.
$A$ 가 컴팩트이면 $A$ 는 닫힌 집합이고 유계이다.
(볼차노-바이어슈트라스 정리) $K$ 가 $F^{k}$ 의 부분집합이고 유계이며 닫힌 집합이면, $K$ 는 컴팩트 집합이다.

컴팩트성은 매우 강력하고 유용한 성질이지만, 어떤 집합이 컴팩트 집합인지를 증명하는 것이 어려울 때가 많다. 볼차노-바이어슈트라스 정리는 $F^{k}$ 에서 집합의 컴팩트성을 판별하는 매우 간편한 방법을 제공한다.

정리 19. (컴팩트 집합 위에서 연속함수의 최대 최소 정리)

$(M, d)$ 를 컴팩트 거리공간이라 하고 함수 $f : M \to F$ 가 연속이라 하자. 그러면 상수 $b > 0$ 이 존재하여, 임의의 $x \in M$ 에 대하여 $| f (x) | \leq b$ 를 만족시킨다. (즉 $f$ 가 유계이다.) 특히, $F = R$ 이면 $sup {f (x) : x \in M}, inf {f (x) : x \in M}$ 이 존재하고 유한하다. 더욱이, $f (x_{s}) = sup {f (x) | x \in M}, f (x_{i}) = inf {f (x) : x \in M}$ 을 만족시키는 점 $x_{s}, x_{i} \in M$ 이 존재한다.

정의 20. (연속 함수 공간과 균등 거리)

$(M, d)$ 를 컴팩트 거리공간이라고 하자. 연속함수 $f : M \to F$ 의 집합을 $C_{F} (M)$ 또는 $C (M, F)$ 로 표기한다. $C_{F} (M)$ 에 다음과 같이 거리를 정의한다. $d (f, g) = sup {| f (x) - g (x) | : x \in M} .$ $f, g \in C_{F} (M)$ 일 때, 함수 $| f - g |$ 가 연속이므로 $d (f, g)$ 가 잘 정의되며, $d$ 가 $C_{F} (M)$ 에서의 거리임을 확인할 수 있다. 이 거리를 균등 거리(uniform metric)라고 부르며, 달리 명시하지 않는 한 $C_{F} (M)$ 은 항상 이 거리를 갖는 것으로 가정한다.

연속함수 공간 $C_{F} (M)$ 의 대부분의 성질은 실수와 복소수 경우 동일하게 성립하므로, 이 두 경우를 구분하는 것이 중요한 경우를 제외하고는 첨자를 생략하고 단순히 $C (M)$ 으로 표기한다. 또한, $M$ 이 유계인 닫힌 구간 $[a, b] \subset R$ 일 때는 $C [a, b]$ 로 표기한다.

정의 21. (함수열의 수렴 유형)

$(M, d)$ 를 컴팩트 거리공간이라 하고 ${f_{n}}$ 을 $C (M)$ 에서의 수열이라 하며, $f : M \to F$ 를 함수라 하자.

${f_{n}}$ 이 $f$ 에 점별수렴한다는 것은 모든 $x \in M$ 에 대하여 $| f_{n} (x) - f (x) | \to 0$ 인 것을 뜻한다.
${f_{n}}$ 이 $f$ 에 균등수렴한다는 것은 $sup {| f_{n} (x) - f (x) | | x \in M} \to 0$ 인 것을 뜻한다.

$M$ 에서 함수열 ${f_{n}}$ 이 $f$ 에 균등수렴하면, 이 함수열은 $f$ 에 점별수렴한다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 또한, ${f_{n}}$ 이 $f$ 에 균등수렴하면 $f \in C (M)$ 이 성립하지만, 점별수렴할 때는 이것이 성립하지 않는다. 따라서 균등수렴은 점별수렴보다 $C (M)$ 에서 더 유용한 수렴 정의를 제공한다.

이제 $C (M)$ 에 관한 다음과 같은 중요한 결과를 확인하자.

정리 22. (연속함수 공간의 완비성)

거리공간 $C (M)$ 은 완비이다.

$M$ 이 $R$ 의 컴팩트 부분집합이라고 가정하자. 실다항식의 집합을 $P_{R}$ 로 표기한다. 임의의 다항식 $p \in P_{R}$ 은 $p$ 의 정의역을 $M$ 으로 제한함으로써 함수 $p : M \to R$ 로 간주될 수 있으므로, 이런 의미에서 $P_{R} \subset C_{R} (M)$ 이다. 다음 정리는 일반적인 연속 함수를 “단순한” 함수(즉, 다항식)로 근사할 수 있음을 설명한다.

정리 23. (Stone-Weierstrass 정리)

$R$ 의 임의의 컴팩트 집합 $M$ 에 대하여, $P_{R}$ 은 $C_{R} (M)$ 에서 조밀하다.

이 결과를 다르게 표현하면, $f$ 가 $M$ 에서 실숫값을 갖는 연속함수이면, 집합 $M$ 에서 $f$ 에 균등수렴하는 다항식 함수열 ${p_{n}}$ 이 존재한다는 것이다. 다항식 ${p_{n}}$ 은 물론 $R$ 전체에서 정의되지만, 집합 $M$ 외부에서의 이 다항식의 값은 무관하다.

가분공간

일반적인 거리공간은 어떤 의미에서 매우 크고 병리적일 수 있다. 이 포스트에서 살펴보는 마지막 정의는 우리가 만나는 일부 공간의 “크기”를 제한하고 특정 유형의 “나쁜” 행동을 피하는 데 사용될 개념을 설명한다.

정의 24. (가산집합과 가분공간)

집합 $X$ 가 가산이라는 것은 유한개의 원소로 이루어져 있거나, 무한히 많은 원소를 가지면서 $X = {x_{n} : n \in N}$ 형태로 쓸 수 있는 것을 뜻한다. 후자의 경우 $X$ 를 가산무한집합(countable infinite set) 또는 가부번집합이라고 부른다.

거리공간 $(M, d)$ 가 가분공간(separable)이라는 것은 가산이고 조밀한 부분집합을 포함하는 것이다. 공집합은 가분공간으로 간주된다.

직관적으로, 가산 무한 집합은 양의 정수 집합 $N$ 과 같은 크기이므로 “가장 작은” 무한 집합으로 간주될 수 있다. 또한, 위의 정의에서 집합 $X = {x_{n} : n \in N}$ 은 수열로 간주될 수 있으며, 실제로 우리는 종종 수열 형태로 가산 집합을 구성한다. 따라서, 위의 가분성 정의에서, “가산 부분집합”은 “수열”로 대체될 수 있다.

보기 25. (실직선의 가분성)

공간 $R$ 은 유리수 집합이 가산 무한이고 $R$ 에서 조밀하기 때문에 가분이다.

가분 공간은 모든 원소가 “작은”(가산무한) 집합의 원소들에 의해 임의로 가깝게 근사될 수 있는 공간이다. 실제로, 이같이 근사화된 집합의 원소들이 공간의 일반적인 원소들보다 “더 좋은” 성질을 가지기를 바랄 것이다. 예를 들어, 정리 23은 $C_{R} (M)$ 공간의 일반적인 원소들이 다항식에 의해 근사될 수 있음을 보여준다. 집합 $P_{R}$ 은 가산이 아니지만, 우리는 이로부터 $C_{R} (M)$ 이 가분임을 유도할 수 있다.

다음은 자주 사용되는 가분공간의 성질이다.

정리 26. (가분공간의 성질)

$(M, d)$ 를 거리공간이라 하고 $A \subset M$ 이라 하자.

$A$ 가 컴팩트이면 $A$ 는 가분이다.
$A$ 가 가분이고 $B \subset A$ 이면 $B$ 는 가분이다.

거리공간 리뷰

거리공간의 개념

수열의 극한

열린집합과 닫힌집합

연속함수

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