이 포스트에서는 수학의 다양한 분야를 공부하기 위해 필요한 측도와 르베그 적분의 개념을 간략하게 살펴봅니다.
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거리공간 리뷰(포스트 보기)에서 연속함수의 공간 \(C[a,\,b]\)에 균등 거리 \(d\)를 도입하였고, 거리공간 \((C[a,\,b],\,d)\)가 완비임을 살펴보았다. 그러나 \(C[a,\,b]\)에는 적분으로 정의되는 다른 유용한 거리가 있다. \(\int_a^b f(x)\,dx\)를 기초해석학 과정에서 정의된 대로 함수 \(f \in C[a,\,b]\)의 통상적인 리만 적분이라고 하자. 그러면 \(1 \leq p < \infty\)인 \(p\)에 대하여, 함수 \(d_p : C[a,\,b] \times C[a,\,b] \to \mathbb{R}\)을 다음과 같이 정의할 수 있다. \[d_p(f,\,g) = \left( \int_a^b |f(x) - g(x)|^p\,dx \right)^{1/p} .\] 이 함수는 \(C[a,\,b]\)에서의 거리이다. 안타깝게도 거리공간 \((C[a,\,b],\,d_p)\)는 완비가 아니다. 즉 \((C[a,\,b],\,d_p)\)에서 코시 수열이 \(C[a,\,b]\)에 속하지 않고 리만 적분이 불가능할 수도 있는 함수에 “수렴”할 수 있다는 것이다. 이는 리만 적분의 약점이므로, 이를 해결하기 위해 리만 적분을 이른바 “르베그 적분”으로 대체해야 한다. 르베그 적분은 더 넓은 종류의 함수를 적분할 수 있게 해주는 적분이다.
이 포스트에서는 르베그 적분의 개념과 성질을 간략하게 살펴볼 것이다. 르베그 적분 이론을 깊이 연구하고자 하는 사람이 아니라면, 리만 적분보다 더 많은 종류의 함수를 적분할 수 있는 “르베그 적분”이 존재하고, 이 적분이 아래에 설명된 성질들을 가지며, 이 같은 성질 대부분은 리만 적분의 성질을 확장한 것과 같다는 사실을 받아들이는 것으로 충분할 것이다.
연속함수 공간 \((C[a,\,b],\,d_p)\)가 완비가 아니라는 문제는 거리공간 \(L^p[a,\,b]\)를 도입함으로써 해결된다. 이 공간은 \(C[a,\,b]\)를 포함하고 동일한 거리 \(d_p\)를 갖는다. 더욱이 \(C[a,\,b]\)는 \(L^p[a,\,b]\)에서 조밀하고, \(L^p[a,\,b]\)는 완비거리공간이다. (추상적인 거리공간 이론의 관점에서, \(L^p[a,\,b]\)는 공간 \((C[a,\,b],\,d_p)\)의 “완비화”라고 말할 수 있다.) 더불어 \(\ell^p\)과 같은 공간도 종종 매우 유용하게 사용된다.
측도의 개념
르베그 적분 이론의 기본은 집합의 크기를 나타내는 “측도”의 개념이다. 예를 들어, \(a\le b\)일 때 유계 구간 \(I = [a,\,b]\)에 대하여, \(I\)의 길이를 \(\ell(I) = b - a\)라고 정의할 수 있다. \(\mathbb{R}\)에서 르베그 적분을 정의하기 위해서는 단순히 구간뿐만 아니라 훨씬 더 넓은 종류의 집합에 “측도”를 할당할 수 있어야 한다. 안타깝게도, 일반적으로 \(\mathbb{R}\)의 모든 부분집합에 적용되는 의미있는 “측도”를 구성하는 것은 불가능하다. 이 때문에 유용한 성질을 가진 \(\mathbb{R}\)의 특정 종류의 부분집합들을 모은 뒤, 그러한 집합의 “측도”를 구성할 것이다. 명백한 첫 번째 단계는 서로소인 유한개 구간의 합집합의 “측도”를 단순히 그 길이들의 합으로 정의하는 것이다. 그러나 극한을 취하는 것과 관련하여 적절한 성질을 가진 적분을 정의하기 위해서는 집합들의 가산 합집합의 측도를 다루어야 하고, 그 측도를 개별 집합들의 측도로부터 계산할 수 있어야 바람직하다. 더욱이, 일반적인 이론에서는 \(\mathbb{R}\)을 추상적인 집합 \(X\)로 대체하고 \(X\)의 적당한 부분집합의 추상적인 측도를 고려해야 한다.
측도의 정의를 살펴보기 전에, 측도가 무한인 집합이 존재할 수 있다는 사실을 생각하자. 예를 들어, \(\mathbb{R}\)은 무한한 길이를 가진다. 그러므로 무한대를 유한인 실수처럼 대수적으로 다루기 위해, 확장된 실수 집합 \(\overline{\mathbb{R}}\)을 도입하는 것이 편리하다. 우선 양의 무한대와 음의 무한대를 확장실수에 포함하여 \[\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty,\,\infty\}\] 라고 정의한다. 또한 \[\overline{\mathbb{R}}^+ = [0,\,\infty) \cup \{\infty\}\] 라고 정의한다. 표준 대수 연산은 명백한 방식으로 정의된다. 예를 들어 \(\infty+\infty = \infty\)이다. 단 곱 \(0 \cdot \infty\)와 \(0 \cdot (-\infty)\)는 \(0\)으로 정의되고, 연산 \(\infty-\infty\)와 \(\infty/\infty\)는 정의되지 않는다.
정의 1. (\(\sigma\)-대수)
\(X\)가 집합이고 \(\Sigma\)가 \(X\)의 부분집합의 모임이라고 하자. \(\Sigma\)가 \(\sigma\)-대수(sigma algebra)라는 것은 다음 성질을 모두 만족시키는 것을 뜻한다.
- \(\varnothing \in \Sigma\)이고 \(X \in \Sigma\)이다.
- \(S \in \Sigma\)이면 \(X \setminus S \in \Sigma\)이다.
- \(S_1 ,\) \(S_2 ,\) \(\cdots\)이 \(\Sigma\)의 원소이면 \(\cup_{n=1}^{\infty} S_n \in \Sigma\)이다.
\(S \in \Sigma\)인 집합 \(S\)를 가측집합(measurable set)이라고 부른다.
\(\sigma\)-대수를 “\(\sigma\)-필드”(sigma field)라고 부르기도 한다. 이 용어에서 ‘\(\sigma\)’라는 표현은 “가산 개의 대상”을 고려한다는 의미로 생각하면 좋다.
정의 2. (측도)
\(X\)를 집합이라 하고 \(\Sigma\)를 \(X\)의 부분집합들의 \(\sigma\)-대수라 하자. 함수 \(\mu : \Sigma \to \overline{\mathbb{R}}^+\)가 다음 성질을 가지면 \(\mu\)를 측도라고 부른다.
- \(\mu(\varnothing) = 0 .\)
- \(\mu\)는 가산 가법적이다. 즉, 만약 \(S_j \in \Sigma\), \(j = 1,\,2,\,\ldots\)가 쌍마다 서로소인 집합들이면, \[\mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty} S_j\right) = \sum_{j=1}^{\infty} \mu(S_j).\]
이때 집합 \(X,\) \(\sigma\)-대수 \(\Sigma, \) 측도 \(\mu\)를 순서쌍으로 묶은 \((X,\,\Sigma,\,\mu)\)를 측도공간이라고 부른다.
문맥상 \(\sigma\)-대수와 측도가 명확하거나, 또는 이를 구분할 필요가 없을 때는 측도공간 \((X,\,\Sigma,\,\mu)\)를 단순하게 \(X\)와 같이 나타낸다.
측도론의 많은 응용에서, 측도가 \(0\)인 집합은 “무시할 만한” 것으로 간주된다. 그러한 집합은 자주 사용되기 때문에, 이 같은 성질을 갖는 집합을 부르는 용어가 존재한다.
정의 3. (영측도와 “거의 모든”)
\((X,\,\Sigma,\,\mu)\)를 측도공간고 \(S\in\Sigma\)라고 하자. 만약 \(\mu(S) = 0\)이면 “집합 \(S\)가 영측도(measure zero)를 가진다”라고 말한다. 측도가 \(0\)인 집합을 영집합(null set)이라고 부르기도 한다.
\(P(x)\)를 점 \(x \in X\)에 대한 성질이라고 하자. (즉 \(x\)의 값에 따라 참 또는 거짓이 결정되는 문장이라고 하자.) 만약 집합 \(\{x \,\vert\, P(x) \text{ is false}\}\)가 영측도를 가지면, “\(P(x)\)가 거의 모든 \(x\)에 대하여 성립한다”라고 표현한다. “거의 모든 \(x\)에 대하여”를 간단히 “a.e. \(x\)”와 같이 나타낸다. (almost everywhere.)
위 정의에서 ‘영측도’는 측도가 \(0\)임을 의미한다. 수학자 Young이 고안안 측도를 ‘Young 측도’라고 부르기 때문에 ‘영측도’가 의미하는 바가 무엇인지 혼동하지 않도록 주의해야 한다.
보기 4. (셈측도)
\(X = \mathbb{N}\)이라고 하고, \(\Sigma_c\)를 \(\mathbb{N}\)의 모든 부분집합의 모임이라 하자. 그리고 임의의 \(S \subset \mathbb{N}\)에 대해 \(\mu_c(S)\)를 \(S\)의 원소 개수로 정의하자. (단, \(S\)가 무한집합이면 \(\mu _c (S) = \infty\)이다.) 그러면 \(\Sigma_c\)는 \(\sigma\)-대수이고 \(\mu_c\)는 \(\Sigma_c\)에서의 측도이다. 이 측도를 \(\mathbb{N}\)에서의 셈측도(counting measure)라고 부른다. 이 측도공간에서 영측도 집합은 공집합 뿐이다.
보기 5. (르베그 측도)
\(\mathbb{R}\)에는 \(\sigma\)-대수 \(\Sigma_L\)과 \(\Sigma_L\)에서의 측도 \(\mu_L\)이 존재하여, 임의의 유한 구간 \(I\)에 대하여 \(I = [a,\,b] \in \Sigma_L\)이고 \(\mu_L(I) = \ell(I)\)를 만족시킨다. 이 공간에서 집합 \(A\)가 영측도일 필요충분조건은 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대해, 다음을 만족하는 구간들의 수열 \(I_j \subset \mathbb{R}\), \(j = 1,\,2,\,\ldots\)가 존재하는 것이다. \[A \subset \bigcup_{j=1}^{\infty} I_j \quad \text{and} \quad \sum_{j=1}^{\infty} \ell(I_j) < \epsilon.\] 이 측도를 르베그 측도라고 부르며, \(\Sigma_L\)에 속하는 집합을 르베그 가측집합이라고 부른다.
위 보기에서 르베그 측도의 두 성질은 르베그 측도공간을 딱 하나로 결정하게 해준다. 한편 임의의 구간에 대하여 르베그 측도와 일치하지만, 그 외의 집합은 가측이 아닐 수도 있는 측도(예를 들어, 보렐 측도)가 존재한다. 이와 관련하여 더 깊은 내용을 논하지는 않겠다.
르베그 적분의 개념
임의의 정수 \(k > 1\)에 대해, \(\mathbb{R}^k\)에는 \(\sigma\)-대수 \(\Sigma_L\)과 르베그 측도 \(\mu_L\)이 존재한다. 특히 \(k = 2\)일 때 르베그 측도는 집합의 넓이를 나타내고, \(k = 3\)일 때는 부피를 나타낸다. \(k \geq 4\)일 때 르베그 측도는 “일반화된 부피”의 개념을 가진다.
이제 고정된 측도공간 \((X,\,\Sigma,\,\mu)\)가 있다고 가정하자. 일련의 과정을 통하여 함수 \(f : X \to \mathbb{R}\)의 적분을 구성하고자 한다.
임의의 부분집합 \(A \subset X\)에 대해, \(A\)의 특성함수 \(\chi_A : X \to \mathbb{R}\)은 다음과 같이 정의된다. (characteristic function.) \[\chi_A(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } x \in A, \\ 0, & \text{if } x \not\in A. \end{cases}\] 함수 \(\phi : X \to \mathbb{R}\)가 다음 형태이면, 이 함수를 단순함수(simple function)라고 부른다. \[\phi = \sum_{j=1}^{k} \alpha_j \chi_{S_j}.\] 여기서 \(k \in \mathbb{N}\)이고, \(\alpha_j \in \mathbb{R}\)이며 \(S_j \in \Sigma\), \(j = 1,\,\ldots,\,k\)이다. 함수 \(\phi\)가 음이 아닌 값을 갖는 단순함수일 때, 집합 \(X\) 위에서 \(\mu\)에 대한 \(\phi\)의 적분을 다음과 같이 정의한다. \[\int_X \phi \, d\mu = \sum_{j=1}^{k} \alpha_j \, \mu(S_j) .\] 단, 여기서 \(\mu(S_j) = \infty\)도 허용하며, 앞에서 언급한 \(\overline{\mathbb{R}}^+\)에서의 대수 규칙을 사용하여 우변을 계산한다. (\(\phi\)가 음이 아니므로 \(\infty-\infty\) 형태의 뺄셈이 나타나지 않는다.) 적분의 값은 \(\infty\)일 수 있다. 함수 \(f : X \to \mathbb{R}\)이 모든 \(\alpha \in \mathbb{R}\)에 대해 \(\{x \in X : f(x) > \alpha\} \in \Sigma\)를 만족시키면, \(f\)를 가측함수라고 부른다.
만약 \(f\)가 가측함수라면, 함수 \(|f| : X \to \mathbb{R}\)과 함수 \(f^{\pm} : X \to \mathbb{R}\)은 다음과 같이 정의된다. \[|f|(x) = |f(x)|, \quad f^{\pm}(x) = \max\{\pm f(x),\,\,0\}.\] 이 세 함수는 가측함수이다. \(f\)가 음이 아니고 가측이면, \(f\)의 적분은 다음과 같이 정의된다. \[\int_X f \, d\mu = \sup \left\{ \int_X \phi \, d\mu : \phi \text{ is simple and } 0 \leq \phi \leq f \right\}.\] 함수 \(f\)가 가측이고 \(\int_X |f| \, d\mu < \infty\)일 때, “\(f\)는 적분 가능하다”라고 말하며, 이때 \(f\)의 적분을 다음과 같이 정의한다. \[\int_X f \, d\mu = \int_X f^+ \, d\mu - \int_X f^- \, d\mu\] 만약 \(f\)가 적분 가능하면, 이 정의의 우변에 있는 각 항이 유한함을 보일 수 있으므로, 이 정의에서 \(\infty-\infty\)와 같은 뺄셈이 나타나는 문제는 없다. 복소숫값을 갖는 함수 \(f\)가 적분 가능하다는 것은 실수부 \(\text{Re } f\)와 허수부 \(\text{Im } f\)가 모두 적분 가능하다는 것을 뜻하며, 이때 \(f\)의 적분은 다음과 같이 정의된다. \[\int_X f \, d\mu = \int_X \text{Re } f \, d\mu + i \int_X \text{Im } f \, d\mu.\] 마지막으로, \(S \in \Sigma\)라 하고 \(f\)가 \(S\) 위에서 정의된 실수 또는 복소숫값을 갖는 함수라고 하자. \(f\)를 \(X\) 위로 확장한 함수 \(\tilde{f}\)를 구성하되, \(x \not\in S\)에 대해 \(\tilde{f}(x) = 0\)으로 정의한다. 그러면, 만약 \(\tilde{f}\)가 집합 \(X\) 위에서 적분 가능하면, \(f\)는 집합 \(S\) 위에서 적분 가능하다고 정의하며, 적분값을 다음과 같이 정의한다. \[\int_S f \, d\mu = \int_X \tilde{f} \, d\mu.\] 집합 \(X\) 위에서 \(\mathbb{F}\)-값을 갖는 적분 가능한 함수들의 집합을 \(\mathcal{L}^1_{\mathbb{F}}(X)\) 또는 \(\mathcal{L}^1 ( X ,\, \mathbb{F} )\)로 나타낸다. \(\mathcal{L}^1_{\mathbb{F}}(S)\)과 \(\mathcal{L}^1 ( S ,\, \mathbb{F} )\)도 마찬가지로 정의한다. 앞서 공간 \(C(M)\)을 살펴볼 때 언급한 바와 같이, 실수와 복소수 버전의 공간을 구분하는 것이 중요한 경우를 제외하고는 \(\mathcal{L}^1_{\mathbb{F}}(X)\)에서 \(\mathbb{F}\)를 생략하고 단순히 \(\mathcal{L}^1(X)\)로 나타낸다. 또한, \(M\)이 컴팩트 구간 \([a,\,b]\)일 때는 \(\mathcal{L}^1 [a,\,b]\)로 쓴다.
보기 6. (셈측도 공간에서의 르베그 적분)
측도공간 \((X,\,\Sigma,\,\mu) = (\mathbb{N},\,\Sigma_c,\,\mu_c)\)를 생각하자. 함수 \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{F}\)는 \(\mathbb{F}\)의 원소를 값으로 갖는 수열 \(\{a_n\}\)으로 간주될 수 있다. \(\mathbb{N}\)의 임의의 부분집합이 가측이기 때문에, 그러한 모든 수열 \(\{a_n\}\)은 가측함수이다. 적분 가능성의 정의로부터, 수열 \(\{a_n\}\)이 셈측도에 대하여 적분 가능하다는 것은 \(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| < \infty\)임을 의미한다. 이 경우 \(\{a_n\}\)의 적분은 단순히 합 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이다. 일반적인 표기법 \(\mathcal{L}^1(\mathbb{N})\) 대신, 그러한 수열들의 공간은 \(\ell^1\) 또는 \(\ell^1_{\mathbb{F}}\)로 나타낸다.
정의 7. (르베그 적분)
측도공간 \((X,\,\Sigma,\,\mu) = (\mathbb{R}^k,\,\Sigma_L,\,\mu_L)\)이 주어져 있고, \(k \geq 1\)이라고 하자. \(f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^k)\)일 때, “함수 \(f\)는 르베그 적분 가능하다”라고 말한다.
\(\mathbb{R}^k\)를 \(\mathbb{R}^k\)의 부분집합 \(S\)로 바꾸었을 때도 마찬가지로 정의한다.
르베그 적분 가능한 함수들의 종류는 리만 적분 가능한 함수들의 종류보다 훨씬 더 크다. 그러나, 두 적분이 모두 정의될 때 그들은 일치한다.
정리 8. (르베그 적분과 리만 적분의 관계)
\(I = [a,\,b] \subset \mathbb{R}\)이 유계인 구간이고 함수 \(f : I \to \mathbb{R}\)이 유계이며 리만 적분 가능하다고 하자. 그러면 \(f\)는 \(I\)에서 르베그 적분 가능하며, \(I\)에서 \(f\)의 리만 적분값과 르베그 적분값이 일치한다. 특히, \(I\)에서 연속인 함수는 모두 르베그 적분 가능하다.
위 정리에 따라 \(I = [a,\,b]\) 위에서의 \(f\)의 르베그 적분을 리만 적분과 마찬가지로 다음과 같이 나타낸다. \[\int_I f(x) \, dx \quad \text{or} \quad \int_a^b f(x) \, dx\] 또한 리만 적분 가능한 함수의 르베그 적분을 계산할 때는 리만 적분을 계산할 때 잘 알려진 방법들이 그대로 적용된다.
르베그 적분의 성질
이제 르베그 적분의 기본 성질을 살펴보자.
정리 9. (르베그 적분의 기본성질)
\((X,\,\Sigma,\,\mu)\)가 측도공간이고 \(f \in \mathcal{L}^1(X)\)라고 하자.
- 만약 \(f(x) = 0\) a.e. \(x\)이면, \(f \in \mathcal{L}^1(X)\)이고 \(\int_X f \, d\mu = 0\)이다.
- 만약 \(\alpha \in \mathbb{R}\)이고 \(f, g \in \mathcal{L}^1(X)\)이면, 함수 \(f + g\)와 \(\alpha f\)는 \(\mathcal{L}^1(X)\)에 속하고 다음이 성립한다. \[\begin{gathered}\int_X (f + g) \, d\mu = \int_X f \, d\mu + \int_X g \, d\mu, \\[6pt] \int_X \alpha f \, d\mu = \alpha \int_X f \, d\mu.\end{gathered}\] 특히, \(\mathcal{L}^1(X)\)는 벡터공간이다.
- 만약 \(f,\,g \in \mathcal{L}^1(X)\)이고 모든 \(x \in X\)에 대해 \(f(x) \leq g(x)\)이면, \(\int_X f \, d\mu \leq \int_X g \, d\mu\)이다. 또한, 만약 \(\mu(S) > 0\)인 집합 \(S\)에 속하는 모든 \(x\)에 대해 \(f(x) < g(x)\)이면, \(\int_X f \, d\mu < \int_X g \, d\mu\)이다.
위 정리의 (a)로부터, 영측도 집합에서의 함수 \(f\)의 값은 \(f\)의 적분값에 영향을 미치지 않는다. 그러므로 함수 \(f\)의 유계성을 정의할 때, \(f\)의 정의역의 모든 점을 고려하기보다는 \(f\)의 정의역의 거의 모든 점을 고려하는 것이 적절하다. 즉 다음과 같은 정의를 도입한다.
정의 10. (본질적 상한)
\(f\)가 가측함수이고, 실수 \(b\)가 존재하여 \(f(x) \leq b\) a.e. \(x\)를 만족시킨다고 하자. 이때 \(f\)의 본질적 상한(essential supremum)을 다음과 같이 정의한다. \[\operatorname{esssup} f = \inf\{b : f(x) \leq b \text{ a.e. }x\}.\] 이 정의의 결과로, \(f(x) \leq \operatorname{esssup} f\) a.e. \(x\)임을 알 수 있다. \(f\)의 본질적 하한도 같은 방법으로 정의한다.
가측함수 \(f\)가 본질적으로 유계(essentially bounded)라는 것은 \(|f(x)| \leq b\) a.e. \(x\)를 만족하는 수 \(b\)가 존재하는 것을 뜻한다.
이제 우리는 공간 \(\mathcal{L}^1(X)\)에 거리를 정의하고자 한다. 거리의 명백한 후보는 다음 함수이다. \[d_1(f,\,g) = \int_X |f - g| \, d\mu\] 적분의 성질로부터, 이 함수는 조건 \[d_1 (f,\,g)=0 \quad\Longrightarrow\quad f=g\] 를 제외한 거리에 대한 모든 요구 사항을 만족한다. 안타깝게도, \(f = g\) a.e. \(x\)이지만 \(f \neq g\)인 함수 \(f,\,g \in \mathcal{L}^1(X)\)가 존재한다. 즉, 위와 같이 정의된 함수 \(d_1\)은 \(L^1(X)\)에서의 거리가 아니다. 이 문제를 해결하기 위해, 거의 모든 \(x\)에 대하여 같은 두 함수 \(f,\,g\)를 “동일시”하거나 “동등”하다고 간주하기로 한다. 더 정확히는, \(\mathcal{L}^1(X)\)에서 동치 관계 \(\equiv\)를 다음과 같이 정의한다. \[f \equiv g \quad\Longleftrightarrow\quad f(x) = g(x) \text{ for a.e. } x \in X .\] 이 동치관계에 의하여 집합 \(\mathcal{L}^1(X)\)를 동치류로 분할한 상공간을 생각할 수 있다. 이 상공간을 \(L^1(X)\)로 표기하기로 하자. 이 상공간의 동치류에 대해 덧셈과 스칼라 곱셈을 적절히 정의함으로써 공간 \(L^1(X)\)는 벡터공간이 되며, \(f \equiv g\)일 필요충분조건은 \(d_1(f,\,g) = 0\)이고, 결과적으로 함수 \(d_1\)은 집합 \(\mathcal{L}^1(X)\)의 거리가 된다. 따라서 이제부터는 공간 \(\mathcal{L}^1(X)\) 대신 공간 \(L^1(X)\)를 사용할 것이다.
엄밀히 말하면, 공간 \(L^1(X)\)를 사용할 때 \(\mathcal{L}^1(X)\)의 함수 \(f\)와, 거의 모든 \(x\)에 대하여 \(f\)와 같은 모든 함수로 구성된 \(L^1(X)\)의 해당 동치류를 구분해야 한다. 그러나 이는 번거롭고 실제로는 거의 고려되지 않으므로, 우리는 일관되게 적절한 동치류의 “함수” \(f \in L^1(X)\)에 대해 이야기할 것이며, 이는 그 동치류의 대표함수를 의미한다. 특히, \(X = I\)가 \(\mathbb{R}\)에서 양의 길이를 가진 구간인 경우, 동치류는 최대 하나의 연속 함수를 포함할 수 있으며(연속함수를 포함하지 않을 수도 있다), 그러한 경우 우리는 항상 이 함수를 동치류의 대표자로 선택할 것이다. 이런 의미에서, \(I\)가 컴팩트이면, \(I\) 위의 연속함수는 공간 \(L^1(I)\)에 속한다.
Lp 공간
이제 다른 적분 가능 함수 공간을 정의하자.
정의 11. (\(L^p\) 공간)
\(0\le p < \infty\)인 \(p\)에 대하여 다음 공간을 정의한다. \[\begin{aligned} \mathcal{L}^p(X) &= \{f : f \text{ is measurable and } \left(\int_X |f|^p \, d\mu\right)^{1/p} < \infty\},\\[6pt] \mathcal{L}^{\infty}(X) &= \{f : f \text{ is measurable and esssup } |f| < \infty\}. \end{aligned}\]
또한 앞에서와 마찬가지로 \(L^p(X)\) 공간을 정의한다. 즉 \(\mathcal{L}^p(X)\)에서, 거의 모든 점 \(x\)에서 같은 함수들을 동일시하고, 해당 동치류의 상공간을 \(L^p(X)\)로 정의한다.
\(X\)가 유계 구간 \([a,\,b] \subset \mathbb{R}\)이고 \(1 \leq p \leq \infty\)일 때, \(L^p (X)\)를 \(L^p[a,\,b]\)와 같이 나타낸다.
위 정의에서 \(p = 1\)인 경우는 이전 정의와 일치한다.
정리 12. (\(L^p\)와 관련된 부등식)
\(f\)와 \(g\)가 가측함수라고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다. (좌변이나 우변의 식이 무한인 경우도 허용된다.)
- 민콥스키 부등식 (\(1 \leq p < \infty\)인 경우) \[\begin{gathered} \left(\int_X |f + g|^p \, d\mu\right)^{1/p} \leq \left(\int_X |f|^p \, d\mu\right)^{1/p} + \left(\int_X |g|^p \, d\mu\right)^{1/p},\\[6pt] \operatorname{esssup} |f + g| \leq \operatorname{esssup} |f| + \operatorname{esssup} |g|. \end{gathered} \]
- 횔더 부등식 (\(1 < p < \infty\)이고 \(p^{-1} + q^{-1} = 1\)인 경우) \[\begin{gathered} \int_X |fg| \, d\mu \leq \left(\int_X |f|^p \, d\mu\right)^{1/p} \left(\int_X |g|^q \, d\mu\right)^{1/q},\\[6pt] \int_X |fg| \, d\mu \leq \operatorname{esssup} |f| \int_X |g| \, d\mu. \end{gathered} \]
민콥스키 부등식과 적분의 성질에 의해 다음 결과를 얻는다.
따름정리 13. (\(L^p\) 거리)
\(1 \leq p \leq \infty\)라고 하자.
- \(L^p(X)\)는 벡터공간이다.
- 함수 \[d_p(f,\,g) = \begin{cases} \left(\int_X |f - g|^p \, d\mu\right)^{1/p}, & 1 \leq p < \infty, \\[6pt] \operatorname{esssup} |f - g|, & p = \infty, \end{cases}\] 는 \(L^p(X)\)에서의 거리이다. 이 거리를 \(L^p(X)\)의 표준거리라고 부르며, 달리 명시하지 않는 한 \(L^p(X)\)는 이 거리를 갖는 것으로 약속한다.
보기 14. (수열 공간 \(\ell^p\))
\(1 \leq p \leq \infty\)라고 가정하자. 특별한 경우로, 측도공간 \((X,\,\Sigma,\,\mu) = (\mathbb{N},\,\Sigma_c,\,\mu_c)\)에서, 공간 \(L^p(\mathbb{N})\)은 다음 성질을 갖는 \(\mathbb{F}\)에서의 수열 \(\{a_n\}\)의 집합으로 구성된다.
- \(1\le p < \infty\)일 때 \[\left(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^p\right)^{1/p} < \infty,\]
- \(p = \infty\)일 때 \[\sup\{|a_n| : n \in \mathbb{N}\} < \infty .\]
이 공간을 \(\ell^p\) 또는 \(\ell^p_{\mathbb{F}}\)로 나타낸다. 셈측도가 주어진 측도공간에는 공집합 외에 영측도 집합이 없으므로, \(\ell^p\)에서는 동치류를 취하는 문제가 없다. 공간 \(\ell^p\)는 벡터공간인 동시에 거리공간이다. \(\ell^p\)에서의 표준거리는 \(L^p\)에서와 마찬가지로 정의된다.
셈측도가 주어진 공간에서 \(\mathbb{F}\) 또는 \(\mathbb{F}^k\)의 수열 \(x\)와 \(y\)를 생각하자. 그러면 \(L^p\)와 관련된 부등식은 다음과 같이 표현된다.
따름정리 15. (\(\ell ^p\)와 관련된 부등식)
- 민콥스키 부등식 (\(1 \leq p < \infty\)인 경우) \[\left(\sum_{j=1}^{k} |x_j + y_j|^p\right)^{1/p} \leq \left(\sum_{j=1}^{k} |x_j|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{j=1}^{k} |y_j|^p\right)^{1/p}.\]
- 횔더 부등식 (\(1 < p < \infty\)이고 \(p^{-1} + q^{-1} = 1\)인 경우) \[\sum_{j=1}^{k} |x_j y_j| \leq \left(\sum_{j=1}^{k} |x_j|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{j=1}^{k} |y_j|^q\right)^{1/q}.\]
여기서, \(k\)와 합의 값은 \(\infty\)일 수 있다.
횔더 부등식에서 \(p = q = 2\)인 경우가 특히 자주 사용된다.
따름정리 16. (코시-슈바르츠 부등식)
\[\sum_{j=1}^{k} |x_j| |y_j| \leq \left(\sum_{j=1}^{k} |x_j|^2\right)^{1/2} \left(\sum_{j=1}^{k} |y_j|^2\right)^{1/2}.\]공간 \(\ell^p\)의 일부 특별한 원소들을 소개한다. 이 집합은 해석학의 다양한 상황에서 유용하게 사용된다.
정의 17. (\(\ell^p\)에서의 표준기저 수열)
\(\tilde{e}_n\)을 다음과 같이 정의한다. \[\begin{aligned} \tilde{e}_1 &= (1,\,0,\,0,\,0,\,\ldots), \\[6pt] \tilde{e}_2 &= (0,\,1,\,0,\,0,\,\ldots), \\[6pt] \tilde{e}_3 &= (0,\,0,\,1,\,0,\,\ldots), \\[6pt] &\vdots \ldots \end{aligned}\] \(1 \leq p \leq \infty\)일 때, 임의의 \(n \in \mathbb{N}\)에 대하여 \(\tilde{e}_n \in \ell^p\)이다.
위 정의에서 소개한 무한차원공간 \(\ell^p\)의 벡터 \(\tilde{e}_n\)은 유한차원 공간 \(\mathbb{F}^k\)의 벡터 \(\tilde{e}_n\)과 유사하다. 그러나, 벡터들의 모음 \(\{\tilde{e}_1,\,\ldots,\,\tilde{e}_k\}\)가 \(\mathbb{F}^k\)의 기저인 것과는 달리, 현재로서는 집합 \(\{\tilde{e}_n \,\vert\, n \in \mathbb{N}\}\)에 대하여 유사한 주장을 할 수 없다.
마지막으로, 다음 두 정리를 소개한다.
정리 18. (\(L^p\) 공간의 완비성)
\(1 \leq p \leq \infty\)라고 가정하자. 그러면 거리공간 \(L^p(X)\)는 완비이다. 특히, 수열 공간 \(\ell^p\)는 완비이다.
정리 19. (연속함수 공간과 \(L^p\) 공간의 관계)
\([a,\,b]\)가 유계 구간이고 \(1 \leq p < \infty\)라고 가정하자. 그러면 집합 \(C[a,\,b]\)는 \(L^p[a,\,b]\)에서 조밀하다.
이 포스트를 시작할 때 말한 것처럼, 위 두 정리는 공간 \(L^p[a,\,b]\)가 거리공간 \((C[a,\,b],\,d_p)\)의 “완비화”(completion)임을 보여준다. 특히 정리 19는 공간 \(L^p[a,\,b]\)가 공간 \((C[a,\,b],\,d_p)\)와 매우 유사함을 보여준다. 즉 \(f \in L^p[a,\,b]\)이면 \(L^p[a,\,b]\) 거리공간에서 \(f\)로 수렴하는 \(C[a,\,b]\)의 함수열 \(\{f_n\}\)이 존재함을 의미한다. 이는 상대적으로 약한 형태의 수렴이지만 매우 유용한 수렴이다. 특히, 이 수렴은 점별수렴과는 다르며, 거의 모든 \(x \in [a,\,b]\)에 대한 점별수렴과도 다르다.