일변수 미적분학에서 함수의 도함수 \(f'\)가 다시 미분가능하면 이계도함수 \(f''\)을 정의할 수 있다. 이와 마찬가지로, 바나흐 공간 사이의 함수 \(F : X \rightarrow Y\)에 대해서도 프레셰 도함수 \(F' : X \rightarrow B(X, Y)\)가 다시 미분가능하다면 이계도함수를 정의할 수 있다.
이 글에서는 고계도함수의 정의를 살펴보고, 이것을 바탕으로 무한차원 공간에서의 테일러 정리(Taylor's Theorem)를 유도한다. 이 글에서 \(X,\) \(Y\)는 실바나흐 공간이며, \(U\)는 \(X\)의 열린 부분집합이다.
정의 1. (이계 프레셰 도함수)
\(F : U \rightarrow Y\)가 \(U\)에서 프레셰 미분가능하다고 하자. 도함수 \(F' : U \rightarrow B(X, Y)\)가 \(x \in U\)에서 프레셰 미분가능할 때, 그 도함수를 \(F\)의 이계 프레셰 도함수(second Fréchet derivative)라고 부르며 \(F''(x)\)로 표기한다.
여기서 \(F''(x)\)가 어떤 공간에 속하는지 주의 깊게 살펴볼 필요가 있다. 정의에 따라 \(F''(x)\)는 \(X\)에서 \(B(X, Y)\)로 가는 선형연산자이다. 즉, \[F''(x) \in B(X, B(X, Y))\] 이다. 그러나 이 형태는 직관적으로 다루기 어렵다. 다행히도, 우리는 등거리 동형사상을 통해 이 공간을 이중 선형연산자(bilinear operator)의 공간과 동일시할 수 있다.
보조정리 2. (공간의 동일시)
\(B(X, B(X, Y))\)는 \(X \times X\)에서 \(Y\)로 가는 유계 이중 선형연산자들의 공간 \(B(X \times X, Y)\)와 등거리 동형이다. 즉, 임의의 \(A \in B(X, B(X, Y))\)에 대하여, 다음과 같이 정의된 \(\tilde{A}\)는 이중 선형연산자이다. \[\tilde{A}(h, k) = (Ah)(k) \quad \text{for all }\, h,\, k \in X .\]
따라서 우리는 \(F''(x)\)를 두 개의 벡터 \(h, k \in X\)를 입력받아 \(Y\)의 원소를 내놓는 이중 선형연산자로 간주한다. 즉, \(F''(x)(h, k)\)로 표기한다.
일반적으로 \(k\)계 도함수 \(F^{(k)}(x)\)는 \(X\)의 \(k\)개 원소를 입력받는 \(k\)-중 선형연산자(k-multilinear operator)로 정의된다. \[F^{(k)}(x) \in B(\underbrace{X \times \cdots \times X}_{k\, \text{ times}}, Y) .\]
유한차원 미적분학에서 \(f_{xy} = f_{yx}\)라는 클레로의 정리(Clairaut’s theorem)가 있듯이, 바나흐 공간에서도 고계 도함수는 대칭성을 가진다.
정리 3. (이계도함수의 대칭성)
\(F : U \rightarrow Y\)가 \(x \in U\)의 근방에서 두 번 프레셰 미분가능하고 \(F''\)가 \(x\)에서 연속이라면, \(F''(x)\)는 대칭 이중 선형연산자이다. 즉, 임의의 \(h, k \in X\)에 대하여 \[F''(x)(h, k) = F''(x)(k, h)\] 가 성립한다.
이제 고계 도함수를 사용하여 함수를 다항식으로 근사하는 테일러 정리를 살펴보자. 이를 위해서는 먼저 적분 형태의 평균값 정리가 필요하다. 바나흐 공간에서는 1차원과 달리 \(F(x+h) - F(x) = F'(c)h\)를 만족하는 \(c\)가 존재하지 않을 수 있다. 따라서 평균값 정리를 기술할 때 적분 형태를 사용하거나 부등식 형태를 사용한다.
보조정리 4. (적분 형태의 평균값 정리)
\(F : U \rightarrow Y\)가 프레셰 미분가능하다고 하자. \(x\)와 \(x+h\)를 잇는 선분 \(\{x + th \,\mid\, 0 \leq t \leq 1\}\)이 \(U\)에 포함되면, 다음이 성립한다. \[F(x + h) - F(x) = \int_0^1 F'(x + th)h \, dt .\] 여기서 적분은 보흐너 적분(Bochner integral) 또는 리만 적분의 확장으로 이해할 수 있다.
이 보조정리를 반복해서 적용하면(부분적분을 사용), 우리는 다음과 같은 테일러 공식을 얻는다.
정리 5. (테일러 정리)
\(F : U \rightarrow Y\)가 \(U\)에서 \((n+1)\)번 프레셰 미분가능하다고 하자. \(x \in U\)이고 \(x+h\)를 잇는 선분이 \(U\)에 포함되면, 다음 등식이 성립한다. \[F(x + h) = F(x) + F'(x)h + \frac{1}{2!}F''(x)(h, h) + \cdots + \frac{1}{n!}F^{(n)}(x)(h)^n + R_{n+1}(h) .\] 여기서 \(F^{(k)}(x)(h)^k\)는 \(k\)-중 선형연산자 \(F^{(k)}(x)\)에 \( (h, h, \ldots, h) \)를 대입한 것을 의미하며, 나머지 항 \(R_{n+1}(h)\)는 다음과 같은 적분 형태로 주어진다. \[R_{n+1}(h) = \frac{1}{n!} \int_0^1 (1 - t)^n F^{(n+1)}(x + th)(h)^{n+1} \, dt .\]
또한, 만약 \(F^{(n+1)}\)이 \(U\)에서 유계라면, 즉 적당한 양수 \(M\)에 대하여 \(\lVert F^{(n+1)}(z) \rVert \leq M\)이라면, 나머지 항의 크기는 다음과 같이 추정된다. \[\lVert R_{n+1}(h) \rVert \leq \frac{M}{(n+1)!} \lVert h \rVert^{n+1} .\] 이것은 \(h \rightarrow 0\)일 때 나머지 항이 \(\lVert h \rVert^{n+1}\)의 속도로 작아짐을 의미한다.
보기 6. (범함수의 테일러 전개)
실힐베르트 공간 \(H\)에서, 유계인 자기수반연산자 \(T \in B(H)\)에 대하여 함수 \(F : H \rightarrow \mathbb{R}\)을 다음과 같이 정의하자. \[F(x) = \frac{1}{2} \langle Tx, x \rangle .\] \(F\)의 테일러 전개를 구하시오.
풀이
먼저 일계도함수를 구하자. 임의의 \(h \in H\)에 대하여 \[\begin{aligned} F(x+h) - F(x) &= \frac{1}{2}\langle T(x+h), x+h \rangle - \frac{1}{2}\langle Tx, x \rangle \\[6pt] &= \frac{1}{2} \left( \langle Tx, x \rangle + \langle Tx, h \rangle + \langle Th, x \rangle + \langle Th, h \rangle \right) - \frac{1}{2}\langle Tx, x \rangle \\[6pt] &= \frac{1}{2} \left( \langle Tx, h \rangle + \langle h, T^*x \rangle \right) + \frac{1}{2}\langle Th, h \rangle \end{aligned}\] 이다. \(T\)가 자기수반(\(T=T^*\))이고 실힐베르트 공간이므로 \(\langle h, Tx \rangle = \langle Tx, h \rangle\)이다. 따라서 \[F(x+h) - F(x) = \langle Tx, h \rangle + \frac{1}{2}\langle Th, h \rangle .\] 여기서 선형 부분은 \(h \mapsto \langle Tx, h \rangle\)이므로, \(F'(x)h = \langle Tx, h \rangle\)이다. (또는 Riesz 표현 정리에 의해 \(F'(x) = Tx\)로 볼 수 있다.)
다음으로 이계도함수를 구하자. \(G(x) = F'(x) = Tx\)라고 하자. \(G\)는 이미 선형연산자이므로, 그 미분은 자기 자신이다. \[G(x+h) - G(x) = T(x+h) - Tx = Th .\] 따라서 \(G'(x)h = Th\)이다. 이를 이중 선형 형식으로 표현하면 \[F''(x)(h, k) = \langle Th, k \rangle\] 이다.
다음으로 삼계도함수를 구하자. \(F''(x)\)는 상수 연산자(\(x\)에 의존하지 않음)이므로, \(F'''(x) = 0\)이다.
이제 \(F(x+h)\)의 테일러 전개는 다음과 같이 정확히 2차항에서 끝난다. \[F(x+h) = F(x) + \langle Tx, h \rangle + \frac{1}{2}\langle Th, h \rangle .\]