2022년 11월 17일에 실시한 대학수학능력시험 수학 공통과목 선택형 문항(1번-15번) 풀이입니다. 문제의 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다. 풀이의 저작권은 이 블로그 주인에게 있습니다. (이메일: tomie＠ly4i.com)
풀이에 틀린 것이 있을 수 있어요ㅜㅜ 읽을 때 조심! 또 조심!
문제 1. 다음 값을 구하시오. [2점] \[\left( \frac{4}{2^{\sqrt{2}}} \right) ^{2+\sqrt{2}}\]
풀이
지수법칙을 사용하자. 밑(base)을 통일하는 것이 문제 풀이의 핵심이다. \[\begin{aligned} \left( \frac{4}{2^{\sqrt{2}}} \right) ^{2+\sqrt{2}} &= \left( \frac{2^2}{2^{\sqrt{2}}} \right) ^{2+\sqrt{2}} \\[6pt] &= \left( 2^{2-\sqrt{2}} \right) ^{2+\sqrt{2}} \\[6pt] &= 2^{\left( 2-\sqrt{2} \right) \left( 2+\sqrt{2} \right) } \\[6pt] &= 2^{4-2 } \\[6pt] &= 2^{2 } \\[6pt] &= 4. \\[6pt] \end{aligned}\]
문제 2. 다음 값을 구하시오. [2점] \[\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\sqrt{x^2 -2} +3x}{x+5}\]
풀이
\(x\rightarrow\infty\)인 극한이므로 \(x \ge \sqrt{2}\)인 경우만 생각해도 충분하다. [그래야 분모가 \(0\)이 되지 않고 제곱근 안의 식의 값도 음수가 되지 않으니까.] \[\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\sqrt{x^2 -2} +3x}{x+5} = \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\sqrt{1- \frac{2}{x^2}} +3}{1+\frac{5}{x}}=\frac{\sqrt{1-0}+3}{1+0}=4.\] 사실 이렇게 풀 필요도 없고, 딱 보면 제곱근 안에 이차식 있으니까 둘이 상쇄되어서 일차식처럼 커지고... 그러면 분자는 \(4x\)와 비슷한 정도로 커지니까 극한값은 사이다.
문제 3. 공비가 양수인 등비수열 \(\left\{ a_n \right\}\)이 다음 두 조건을 모두 만족시킨다. \[a_2 + a_4 = 30 ,\quad a_4 + a_6 = \frac{15}{2}.\] 이때, \(a_1\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 일반항을 \[a_n = ar^{n-1} ,\quad n=1,\,2,\,3,\,\cdots\] 이라고 두자. 여기서 \(a\ne 0,\) \(r > 0\)이다. 그리고 당연히 \(a = a_1\)이다.
문제에서 제시한 두 등식으로부터 다음을 얻는다. \[ar + ar^3 = 30 ,\quad ar^3 + ar^5 = \frac{15}{2}.\] 두 등식을 변형하면 \[ar(1+r^2 ) = 30 ,\quad r^2 \times ar(a+r^2 ) = \frac{15}{2}\tag{*}\] 이므로, 두 식을 연립하면 \[r^2 \times 30 = \frac{15}{2}\] 즉 \[r^2 = \frac{1}{4}\] 을 얻는다. 그런데 \(r\)가 양수이므로 \[r=\frac{1}{2}\] 이다. 이 값을 다시 (*)의 첫 번째 등식에 대입하면 \[a\times \frac{1}{2} \times \left( 1+ \frac{1}{4} \right) = 30\] 이므로 \(a = 48\)이다. 이 값이 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 첫째 항이다.
문제 4. 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 다음과 같이 정의하자. \[g(x) = x^2 f(x).\] \(f(2)=1,\) \(f ' (2) = 3\)일 때, \(g ' (2)\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
두 함수 \(f\)와 \(g\)가 모두 다항함수이므로, 이 두 함수는 모두 (실수 전체 구간에서) 미분 가능하다.
함수 \(g\)의 도함수는 다음과 같다. (함수의 곱의 미분법을 사용하자.) \[g ' (x) = 2x f(x) + x^2 f ' (x).\] 그러므로 \(g ' (2)\)의 값은 다음과 같다. \[g ' (2) = 2 \times 2 \times f(2) + 2^2 \times f ' (2) = 4 + 12 = 16.\]
문제 5. \(\tan\theta < 0\)이고 \[\cos\left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = \frac{\sqrt{5}}{5}\] 일 때, \(\cos\theta\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
우선 \[\sin\theta = -\cos\left( \frac{\pi}{2} + \theta \right) = -\frac{\sqrt{5}}{5}\] 이므로 \(\sin \theta\)와 \(\tan \theta\)는 모두 음수이다. 즉 \(\theta\)는 제 4 사분면의 각이다.
그러므로 \(\cos\theta\)는 양수이며 그 값은 다음과 같다. \[\cos\theta = \sqrt{1-\sin^2 \theta} = \sqrt{ 1- \frac{1}{5} } = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}.\]
문제 6. 함수 \[f(x) = 2x^3 - 9x^2 + ax +5\] 는 \(x=1\)에서 극대이고, \(x=b\)에서 극소이다. 이때 \(a+b\)의 값을 구하시오. (단, \(a,\) \(b\)는 상수이다.) [3점]
풀이
\(f\)가 다항함수이고 \(x=1\)에서 극댓값을 가지므로, \(f ' (1) = 0,\) \(f '' (1) < 0\)을 만족시켜야 한다. \[\begin{aligned} f ' (x) &= 6x^2 - 18x + a, \\[6pt] f ' ' (x) &= 12x - 18, \\[6pt] f ' (1) &= 6 - 18 + a = 0 ,\\[6pt] f ' ' (1) &= -6 < 0 \end{aligned}\] 이므로 \(a=12\)이다. 이 값을 위에서 구한 \(f ' (x)\)의 식에 대입하면 \[\begin{aligned} f ' (x) &= 6x^2 - 18x +12 = 6(x-1)(x-2),\\[6pt] f ' (2) &= 0 ,\\[6pt] f ' ' (2) &= 4 > 0 \end{aligned}\] 이므로 \(f\)는 \(x=2\)에서 극솟값을 가지며, \(f\)가 극솟값을 갖는 점은 \(2\)뿐이다. 그러므로 \(b=2\)이다.
따라서 \(a+b = 12+2 = 14\)이다.
문제 7. 모든 항이 양수이고 첫째항과 공차가 같은 등차수열 \(\left\{ a_n \right\}\)이 다음 등식을 만족시킨다. \[\sum_{k=1}^{15} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = 2.\] 이때, \(a_4\)의 값을 구하시오. [3점]
풀이
수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 첫째항과 공차가 같으므로, 이 수열의 일반항을 \[a_n = nd,\quad n=1,\,2,\,3,\,\cdots \] 이라고 두자. \(\left\{ a_n \right\}\)의 모든 항이 양수이므로 \(d > 0\)이다. 한편 \[\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} &= \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_{k}}}{a_{k+1} - a_{k}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_{k}}}{d} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{d} ( \sqrt{k+1} - \sqrt{k} )}{d} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{d}} \end{aligned}\] 이므로 \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{15} \frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} &= \sum_{k=1}^{15} \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{d}} \\[6pt] &= \frac{1}{\sqrt{d}} \left( \sqrt{16} - \sqrt{1} \right) \\[6pt] &= \frac{3}{\sqrt{d}} = 2 \end{aligned}\] 이다. 이 식을 \(d\)에 대하여 풀면 \[d= \frac{9}{4}\] 이므로, \[a_4 = 4d = 9\] 이다.
문제 8. 점 \((0,\,4)\)에서 곡선 \(y=x^3 -x+2\)에 그은 접선의 \(x\)절편을 구하시오. [3점]
풀이
\(f(x) = x^3 - x+2\)라고 두고, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((a,\,f(a))\)에서 이 곡선에 접하는 직선의 방정식을 구하자. \[\begin{aligned} f ' (x) &= 3x^2 -1 ,\\[6pt] f ' (a) &= 3a^2 - 1 \end{aligned}\] 이므로 점 \((a,\,f(a))\)에서 이 곡선에 접하는 직선의 방정식은 \[y = f ' (a)(x-a) + f(a)\] 즉 \[y = (3a^2 - 1)(x-a) + (a^3 -a+2)\tag{*}\] 이다. 이 직선이 점 \((0,\,4)\)를 지나야 하므로, \(x=0,\) \(y=4\)를 대입하여 \(a\)의 값을 구하자. \[4 = (3a^2 - 1)(0-a) + (a^3 -a+2)\] 이므로 이 식을 \(a\)에 대하여 풀면 \[\begin{aligned} 4 &= -3a^3 +a+a^3 -a+2, \\[6pt] 4 &= -2a^3 +2, \\[6pt] a^3 &= -1, \\[6pt] a &= -1 \end{aligned}\] 이다. (\(a\)의 값이 허수일 리는 없겠지?) 구한 값을 (*)에 대입하면, 직선의 방정식은 \[y = 2(x+1) + 2\] 즉 \[y = 2x +4\] 이다. 이 식에 \(y=0\)을 대입하고 \(x\)에 대하여 풀면 \(x=-2\)이다. 그러므로 구하는 \(x\)절편은 \(-2\)이다.
문제 9. 함수 \[f(x) = a - \sqrt{3} \tan 2x\] 가 닫힌구간 \(\left[ -\frac{\pi}{6} ,\, b \right]\)에서 최댓값 \(7,\) 최솟값 \(3\)을 가질 때, \(a\times b\)의 값을 구하시오. (단, \(a,\) \(b\)는 상수이다.) [4점]
풀이
함수 \(f\)는 열린구간 \(\left( -\frac{\pi}{4} ,\, \frac{\pi}{4}\right)\)에서 연속이고 순감소한다. 또한 \[\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4} -} f(x) = - \infty\] 이므로, \(f\)가 닫힌구간 \(\left[ -\frac{\pi}{6} ,\, b \right]\)에서 최솟값을 가지려면 \(b < \frac{\pi}{4}\)이어야 한다.
함수 \(f\)가 닫힌구간 \(\left[ -\frac{\pi}{6} ,\, b \right]\)에서 순감소하므로, \(f\)는 이 구간의 왼쪽 끝점에서 최댓값을 가지며, 이 구간의 오른쪽 끝점에서 최솟값을 가진다. 즉 \[\begin{aligned} f\left( -\frac{\pi}{6} \right) &= a - \sqrt{3} \tan \left( - \frac{\pi}{3} \right) = 7 ,\\[6pt] f(b) &= a-\sqrt{3} \tan (2b) = 3 \end{aligned}\] 이다. 첫 번째 등식을 \(a\)에 대하여 풀면 \[\begin{aligned} a-\sqrt{3} \times \left(-\sqrt{3}\right) &= 7 ,\\[6pt] a+3 &= 7, \\[6pt] a &= 4 \end{aligned}\] 이며, 두 번째 등식을 \(b\)에 대하여 풀면 \[\begin{aligned} 4-\sqrt{3} \tan(2b) &= 3, \\[6pt] \tan (2b) &= \frac{1}{\sqrt{3}},\\[6pt] 2b &= \frac{\pi}{6} ,\\[6pt] b&= \frac{\pi}{12} \end{aligned}\] 이다. 그러므로 구하는 값은 \[ab = 4\times \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3}\] 이다.
문제 10. 두 곡선 \(y=x^3 +x^2\)과 \(y=-x^2 +k,\) 그리고 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A\)라고 하자. 또한 두 곡선 \(y=x^3 +x^2\)과 \(y=-x^2 +k,\) 그리고 직선 \(x=2\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(B\)라고 하자.
\(A=B\)일 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오. (단, \(4 < k < 5 .\)) [4점]
풀이
\(f(x) = x^3 +x^2 ,\) \(g(x) = -x^2 +k\)라고 하자. \(A=B\)이려면 \[\int_{0}^{2} (f(x)-g(x)) dx =0\] 이 성립하면 된다. (문제에서 그래프가 주어지지 않았다면 확인할 게 많지만, 문제에서 그래프가 주어졌으니 이 조건을 바로 사용할 수 있다.) \[\begin{aligned} \int_{0}^{2} (f(x)-g(x))dx &= \int_{0}^{2} ( x^3 +x^2 +x^2 -k)dx \\[6pt] &= \left[ \frac{1}{4} x^4 + \frac{2}{3} x^3 -kx \right] _{0} ^{2} \\[6pt] &= 4+ \frac{16}{3} - 2k =0 \end{aligned}\] 이므로 \[k=\frac{14}{3}\] 이다.
문제 11. 그림과 같이 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)가 한 원에 내접하고, \[\overline{\mathrm{AB}} =5 ,\quad \overline{\mathrm{AC}} = 3\sqrt{5} ,\quad \overline{\mathrm{AD}} =7 ,\quad \angle\mathrm{BAC} = \angle\mathrm{CAD}\] 이다.
이때 이 원의 반지름의 길이를 구하시오. [4점]
풀이
\(\angle\mathrm{BAC} = \theta\)라고 하고, \(\overline{\mathrm{BC}} = x\)라고 하자. 원주각의 크기 같으면 호의 길이가 같고, 호의 길이가 같으면 현의 길이가 같으므로, \[\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}} = x\] 이다. 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)와 삼각형 \(\mathrm{ADC}\)에 코사인 법칙을 사용하면 \[\begin{aligned} x^2 &= \overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2 \overline{\mathrm{AB}} \overline{\mathrm{AC}} \cos\theta ,\\[6pt] x^2 &= \overline{\mathrm{CD}}^2 = \overline{\mathrm{AD}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2 \overline{\mathrm{AD}} \overline{\mathrm{AC}} \cos\theta \end{aligned}\] 이며, 문제에서 주어진 변의 길이를 대입하면 다음 두 등식을 얻는다. \[\begin{aligned} x^2 &= 25+49 - 30\sqrt{5} \cos\theta ,\\[6pt] x^2 &= 49+45 - 42\sqrt{5} \cos\theta . \end{aligned}\] 두 식을 연립하여 \(\cos \theta\)를 구하자. 두 번째 식에서 첫 번째 식을 변마다 빼면 \[0 = -24 + 12 \sqrt{5} \cos\theta\] 이므로 \[\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}\] 이다. 이 값을 사용하여 \(x\)를 구하면 \[\begin{aligned} x^2 &= 70 - 30\sqrt{5} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = 70-60 = 10, \\[6pt] x &= \sqrt{10} \end{aligned}\] 이다. 한편 \(\theta\)가 예각이므로 \[\sin\theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sqrt{ 1-\left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)^2 } = \frac{1}{\sqrt{5}}\] 이다. 그러므로 원의 반지름을 \(R\)라고 하면 사인 법칙에 의하여 다음을 얻는다. \[\begin{aligned} 2R &= \frac{x}{\sin\theta} = \sqrt{5} \times \sqrt{10} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ,\\[6pt] R&= \frac{5\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}\]
문제 12. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
\(n-1 \le x < n\)일 때, \(\lvert f(x) \rvert = \lvert 6(x-n+1)(x-n) \rvert\)이다. (단, \(n\)은 자연수이다.)
열린구간 \((0,\,4)\)에서 정의된 함수 \[g(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt - \int_{x}^{4} f(t)dt\] 가 \(x=2\)에서 최솟값 \(0\)을 가질 때, \[\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x)dx\] 의 값을 구하시오. [4점]
풀이
\(f_n (x) = 6\left\{ x-(n-1) \right\} (x-n)\)이라고 하자. (단, \(n\)은 자연수.) \(n=1,\,2,\,3\,\,4\)일 때 \(y=f_n (x)\)의 그래프는 다음과 같다.
\(f\)가 구간 \([0,\,1]\)에서 연속이므로 이 구간의 내부의 모든 점 \(x\)에 대하여 \(f(x) = f_1(x)\) 또는 \(f(x) = -f_1 (x)\) 중 하나만 성립한다. [결론을 부정하면 사잇값 정리에 의하여 모순이 발생한다.] 마찬가지로, \(n = 1,\,2,\,3,\,4\)인 각 자연수 \(n\)에 대하여, 구간 \([n-1 ,\,n]\)의 내부에서 \(f(x) = f_n (x)\) 또는 \(f(x) = -f_n (x)\) 중 하나만 성립한다. 그러므로 구간 \([0,\,4]\)에서 문제의 ‘다음 조건’을 만족시키는 함수 \(f\)는 총 \(16\)가지를 생각할 수 있다. 그런데 \(g(2)=0\)이려면 \[\int_0^2 f(t) dt = \int_2^4 f(t)dt\] 이어야 한다. 이 조건을 추가하면 구간 \([0,\,4]\)에서 함수 \(f\)는 다음과 같이 \(6\)가지를 생각할 수 있다.
이 중에서 (Case 1), (Case 5), (Case 6)은 \(g(1) < 0 = g(2)\)가 되므로 \(g(2)\)가 최솟값이 될 수 없다. (Case 2)와 (Case 4)는 \(g(3) < 0 = g(2)\)가 되므로 \(g(2)\)가 최솟값이 될 수 없다.
이제 (Case 3)이 함수 \(f\)의 조건을 만족시킴을 보이자. 미적분학의 기본정리에 의하여 \[ g ' (x) = f (x) - (- f (x)) = 2 f (x)\] 이므로, \(f(x)\)의 값이 양수인 곳에서 \(g\)가 증가하고, \(f(x)\)의 값이 음수인 곳에서 \(g\)가 감소한다.
(Case 3)의 그래프를 보면 \(0 < x < 1\)일 때 \(g\)가 양수인 값을 가지면서 증가하다가 \(1 < x < 2\)일 때 \(g\)가 양수인 값을 가지면서 감소하고 \(g(2) =0\)이 된다. 그리고 \(2 < x < 3\)일 때 \(g\)가 양수인 값을 가지면서 증가하다가 \(3 < x < 4\)일 때 \(g\)가 양수인 값을 가지면서 감소한다. 따라서 \(g(x)=0\)인 점은 \(x=2\)일 때뿐이며, 구간 \((0,\,4)\)에서 \(x=2\) 외의 점에서는 \(g(x) > 0\)이다. 즉 \(g\)는 \(x=2\)에서 최솟값을 가진다.
문제에서 요구하는 적분을 계산하자. 다음 그래프를 살펴보자.
이차함수의 그래프의 대칭성을 활용하면 다음을 얻는다. \[\begin{aligned} \int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x) dx &= \int_{\frac{7}{2}}^{4} f(x) dx \\[6pt] &= - \int_{0}^{\frac{1}{2}} f(x) dx \\[6pt] &= - \int_{0}^{\frac{1}{2}} (-6x(x-1))dx \\[6pt] &= - \left[ -2x^3 +3x^2 \right] _{0} ^{\frac{1}{2}} \\[6pt] &= - \left( -2 \times \frac{1}{8} +3 \times \frac{1}{4} \right) \\[6pt] &= \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = - \frac{1}{2}. \end{aligned}\]
문제 13. 자연수 \(m\)에 대하여 \(m^{12}\)의 \(n\)제곱근 중에서 정수가 존재하도록 하는 \(2\) 이상의 자연수 \(n\)의 개수를 \(f(m)\)이라고 하자. (단, \(m \ge 2.\)) 이때 \[\sum_{m=2}^{9} f(m)\] 의 값을 구하시오. [4점]
풀이
\(m=2\)일 때 \(2^{12}\)의 \(n\)제곱근이 정수가 되려면 \(n\)은 \(12\)의 약수여야 한다. 이때 \(12\)의 약수 중 \(1\)이 아닌 것은 \(5\)개이다. 이것은 \(m\)이 제곱수가 아닌 경우, 즉 \(m=3,\,5,\,6,\,7\)일 때 모두 마찬가지이다.
\(m=4\)일 때 \(m^{12} = 2^{24}\)이므로, 이 수의 \(n\)제곱근이 정수가 되려면 \(n\)은 \(24\)의 약수여야 한다. \(24\)의 약수 중 \(1\)이 아닌 것은 \(7\)개이다. 이것은 \(m=9\)일 때도 \(m^{12} = 3^{24}\)이므로 마찬가지이다.
끝으로 \(m=8\)일 때 \(m^{12} = 2^{36}\)이므로, 이 수의 \(n\)제곱근이 정수가 되려면 \(n\)은 \(36\)의 약수여야 한다. \(36\)의 약수 중 \(1\)이 아닌 것은 \(8\)개이다.
따라서 구하는 값은 \[5+5+7+5+5+5+8+7 = 47\] 이다.
문제 14. 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 다음과 같이 정의한다. \[g(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x \,&\, (x < -1 \,\,\, \text{or} \,\,\, x > 1 ) \\[6pt] f(x) \,&\, ( -1 \le x \le 1) \end{array} \right. \] 함수 \[h(x) = \lim_{t\rightarrow 0+} g(x+t) \times \lim_{t\rightarrow 2+} g(x+t)\] 에 대하여, 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고르시오. [4점]
- \(h(1)=3\)
- 함수 \(h(x)\)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
- 함수 \(g(x)\)가 닫힌구간 \([-1,\,1]\)에서 감소하고 \(g(-1)=-2\)이면 함수 \(h(x)\)는 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는다.
풀이
우선 \[\begin{aligned} h(1) &= \lim_{t\rightarrow 0+} g(1+t) \times \lim_{t\rightarrow 2+} g(1+t) \\[5pt] &= \lim_{s\rightarrow 1+} g(s) \times \lim_{s\rightarrow 3+} g(s) \\[5pt] &= 1\times 3 = 3 \end{aligned}\] 이므로 [1]은 참이다.
이것을 조금 더 일반화해보면 \(x \ge 1\) 또는 \(x < -3\)일 때 \[h(x) = x(x+2)\] 임을 알 수 있다. 한편, 만약 \(f(x)=0\)이라면 \[h(-3) = -3 \times 0 = 0 \ne 3 = \lim_{x\rightarrow -3-} h(x)\] 이므로 \(h\)는 연속이 아닐 수 있다. 즉 [2]는 거짓이다.
끝으로 만약 \(f(x) = -x-3\)이라면 함수 \(g\)는 [3]의 조건을 만족시킨다. 그런데 \(x \ge 1\) 또는 \(x < -3\)일 때 \[h(x) = x(x+2) > 3 > -12\] 이고, \(-3 \le x < -1\)일 때 \[h(x) = x(-(x+2)-3) = -x^2 -5x > 4 > -12\] 이며, \(-1 \le x < 1\)일 때 \[h(x) = (-x-3)(x+2) = -x^2 -5x-6 > -12\] 이다. 또한 \[\lim_{x\rightarrow 1-}h(x) = \lim_{x\rightarrow 1-} (-x^2 -5x-6) = -12\] 이다. 그러므로 \(h\)는 \(-12\)에 얼마든지 가까운 값을 가질 수는 있지만 \(-12\)를 함숫값으로 가질 수는 없으며, \(-12\)보다 더 작은 값도 함숫값으로 가질 수 없다. 즉 \(h\)는 최솟값을 갖지 않는다. 그러므로 [3]은 거짓이다.
요컨대 [1], [2], [3] 중 참인 것은 [1]뿐이다.
문제 15. 모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 \(\left\{ a_n \right\}\)에 대하여 \(a_9\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M,\) \(m\)이라 할 때, \(M+m\)의 값을 구하시오. [4점]
- \(a_7 = 40\)
- \(n\)이 자연수이고 \(a_{n+1}\)이 \(3\)의 배수가 아닐 때 \[a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\] 이며, \(n\)이 자연수이고 \(a_{n+1}\)이 \(3\)의 배수일 때 \[\frac{1}{3} a_{n+1}\] 이다.
풀이
만약 \(a_6\)의 값이 \(3\)의 배수라면 \[\frac{1}{3} a_6 = a_7 = 40\] 이므로 \(a_6 = 120\)이고, \(a_8 = 160,\) \(a_9 = 200\)이 된다. 한편 \[a_5 = a_6 \times 3 = 360 ,\quad a_4 = a_5 \times 3 = 1080 , \quad \cdots\] 와 같이 정의하면 \(a_6 = 120\)은 가능한 값이다.
다음으로 \(a_6\)의 값이 \(3k+1\) 꼴인 경우를 살펴보자. (단, \(k\)는 자연수.) 그러면 \(a_6\)의 값의 \(3\)의 배수가 아니므로 \[a_5 + a_6 = a_7\] 즉 \[a_5 = a_7 - a_6 = 40 - (3k+1) = -3k + 39\] 이다. 여기서 \(a_5\)가 \(3\)의 배수이므로 \[\frac{1}{3} a_5 = a_6\] 즉 \[-k+13 = 3k+1\] 이 성립해야 한다. 이 식을 만족시키는 \(k\)의 값은 \(k=3\) 뿐이다. 이때 \[a_6 = 10 ,\quad a_7 = 40 ,\quad a_8 = 50 ,\quad a_9 = 90\] 이 된다. 한편 앞에서 \(a_6 = 120\)일 때와 마찬가지로 \(a_5 = 30\) 또한 가능한 값이다.
끝으로 \(a_6\)의 값이 \(3k+2\) 꼴인 경우를 살펴보자. (당연히 \(k\)는 자연수이다.) 그러면 \(a_6\)의 값이 \(3\)의 배수가 아니므로 \[a_5 + a_6 = a_7\] 즉 \[a_5 = a_7 - a_6 = 40 - (3k+2) = -3k + 38\] 이다. 여기서 \(a_5 = -3k+38\)이 \(3\)의 배수가 아니므로 \[a_4 = a_6 - a_5 = (3k+2) - (-3k+38) = 6k-36\] 이다. 이 값이 \(3\)의 배수이므로 \[\frac{1}{3} a_4 = a_5\] 즉 \[2k-12 = -3k+38\] 이다. 이 식을 만족시키는 \(k\)의 값은 \(k=10\) 뿐이다. 이때 \[a_6 = 32 ,\quad a_7 = 40 ,\quad a_8 = 72 ,\quad a_9 = 24\] 이다. 한편 앞에서와 마찬가지로 \(a_4 = 24\) 또한 가능한 값이다.
요컨대 \(a_9\)의 값으로 가능한 값은 \(200,\) \(90,\) \(24\)이므로 \(M=200,\) \(m=24\)이다.
따라서 \(M+m = 224\)이다.