December 2025

선형 함수해석학에서 힐베르트 공간 \(H\) 위의 선형연산자 \(T\)가 양연산자(positive operator)라는 것은 모든 \(x \in H\)에 대하여 \(\langle Tx,\, x \rangle \geq 0\)임을 의미한다. 이를 일변수함수 \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)에 비유하면, 원점을 지나는 직선의 기울기가 양수라는 것과 유사하다. 비선형 해석학에서는 이를 일반화하여, 함수의 도함수가 양수인 성질, 즉 함수가 증가하는(또는 단조인) …

지난 글에서 살펴본 변분법의 직접법은 범함수가 하반연속이고 강압적일 때 전역 최솟값의 존재를 보장한다. 그러나 많은 비선형 문제, 특히 불안정한 평형 상태를 기술하는 문제에서는 최솟값이 아닌 임계점, 즉 안장점(saddle point)을 찾아야 할 필요가 있다. 안장점을 찾는 이론을 임계점 이론(critical point theory)이라고 부르며, 그 중 가장 기본이 되는 정리가 산악 통행로 정리(mountain …