November 2025

이전 글에서 살펴본 변분법의 기본 정리(직접법)는 공간이 반사적이거나 함수가 강압적일 때 최솟값이 존재한다는 것을 보장한다. 하지만 최솟값이 존재하지 않거나, 공간이 완비거리공간이지만 반사적이지 않은 경우에는 직접법을 사용할 수 없다. 이러한 상황에서 사용할 수 있는 도구가 에켈랜드 변분 원리이다. 이 원리는 비록 최솟값은 아닐지라도, 최솟값에 충분히 가까운 점이 최솟값과 유사한 성질을 가진다는 …

지난 글에서 “컴팩트 집합 위에서 정의된 하반연속 함수는 최솟값을 가진다”라는 일반화된 바이어슈트라스 정리를 살펴보았다. 그러나 무한차원 바나흐 공간에서는 유계이고 닫힌집합이 노름 위상에서 컴팩트가 아닐 수 있다. 따라서 기존의 방식으로는 최솟값의 존재를 보장할 수 없다. 이 난관을 돌파하는 열쇠는 바로 약위상(weak topology)이다. 힐베르트 공간이나 반사적 바나흐 공간에서 유계인 닫힌집합은 약컴팩트(weakly compact) …

미분방정식을 푼다는 것은 종종 어떤 에너지 범함수 \(J(u)\)를 최소화하는 함수 \(u\)를 찾는 문제(변분 문제)로 환원된다. 미적분학에서 미분가능한 함수의 극소점을 찾을 때 \(f'(x)=0\)인 \(x\)를 찾듯이, 변분법에서도 \(J'(u)=0\)인 오일러-라그랑주 방정식을 사용한다. \(f\)가 미분 가능한 실함수일 때 \(f'(x)=0\)이라고 해서 반드시 \(f\)가 \(x\)에서 반드시 극값을 갖는 것은 아니다. 하지만 함수가 볼록(convex)하다면 이야기는 달라진다. 볼록함수에서 …