March 2025

벡터공간에 내적이 정의되어 있을 때, 내적을 사용하여 노름을 정의하고 ‘벡터의 길이’ 개념을 사용할 수 있다. 그러나 내적공간은 ‘벡터의 길이’ 뿐만 아니라 벡터의 직교성이라는 개념을 추가로 사용할 수 있으며, 이 개념으로부터 풍부한 성질을 끌어낼 수 있다.

벡터공간에 노름(norm)을 정의하면 벡터의 길이를 다룰 수 있게 된다. 그러나 유클리드 공간에서 볼 수 있다시피, 벡터의 기하학적인 특성이 길이만 있는 것은 아니다. 유클리드 공간에서 사용하는 내적은 매우 유용한 개념이기 때문에 이를 더 다양한 공간으로 확장하고자 한다.

유한차원 벡터공간에서 정의되는 노름은 모두 서로 동치이다. 그러나 무한차원 벡터공간 위에서는 동치가 아닌 서로 다른 노름이 존재할 수 있다. 더욱이, 유한차원 노름벡터공간에서 살펴보았던 정리가 무한차원 노름벡터공간으로 자연스럽게 확장되지 않는다.

노름(norm)은 실수계의 절댓값과 비슷한 역할을 하며, 노름이 주어진 공간에서는 원소의 거리를 잴 수 있다. 벡터공간에 노름이 주어진 경우 그 벡터공간을 노름벡터공간(normed vector space) 또는 노름선형공간(normed linear space)이라고 부르며, 노름이 주어진 공간이 벡터공간이 명확할 때는 간단히 노름공간이라고 부른다. 내적을 사용하여 노름을 정의할 수 있으므로 임의의 내적공간은 노름공간이다.

2차원 유클리드 공간과 3차원 유클리드 공간을 통상적인 방법으로 시각화할 때, 우리는 각 벡터의 길이를 생각할 수 있다. 벡터의 ‘길이’를 생각함으로써 벡터공간에서 극한을 다룰 수 있다. 차원이 무한인 경우를 포함하는 일반적인 벡터공간에서도 벡터의 길이와 같은 개념을 도입하면 더욱 다양한 벡터의 성질을 기하학적으로 추론할 수 있고, 그와 같은 벡터공간에서 극한을 다룰 수 …

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