2024 수능 수학 공통과목 선택형 문항(1-15번) 풀이

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$$\begin{array}{rl}\sqrt[3]{24}\times 3^{\frac{2}{3}}& ={24}^{\frac{1}{3}}\times 3^{\frac{2}{3}}\\ & ={(2^3\times 3)}^{\frac{1}{3}}\times {\left(3^2\right)}^{\frac{1}{3}}\\ & ={(2^3\times 3\times 3^2)}^{\frac{1}{3}}\\ & ={(2^3\times 3^3)}^{\frac{1}{3}}\\ & =2\times 3=6.\end{array}$$

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함수 $f$가 다항함수이므로 모든 점에서 미분 가능하며, 문제의 극한은 미분계수 $f^{\prime }(2)$의 값과 같다. $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =6x^2-10x,\\ f^{\prime }(2)& =6\times 2^2-10\times 2=24-20=4.\end{array}$$

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$\theta$가 제 3 사분면의 각이므로, $\theta$에 대한 사인, 코사인, 탄젠트의 부호는 다음과 같다. $$\sin \theta <0,\cos \theta >0,\tan \theta <0.$$ 사인이 기함수이므로 $$\sin \theta =-\sin (-\theta )=-\frac{1}{3}$$ 이다. 따라서 $$\begin{array}{rl}\cos \theta & =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3},\\ \tan \theta & =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}.\end{array}$$

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함수 $f$가 $x=2$에서 연속이므로, $2$에서 $f$의 좌극한이 수렴하고 그 값은 $f(2)$의 값과 같아야 한다. $$\begin{array}{c}\underset{x\to 2-}{lim}f(x)=6-a,\\ f(2)=4+a\end{array}$$ 이므로 $$6-a=4+a$$ 이다. 이 방정식을 풀면 $a=1$이다.

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$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$이므로, $f^{\prime }(x)$의 역도함수는 다음과 같다. (단, $C$는 상수.) $$f(x)=x^3-3x^2+C.$$ 이 식에 $x=1,$ (f(1)=6\)을 대입하면 $$f(1)=1-3+C=6$$ 이므로 $C=8$이다. 즉 $$f(x)=x^3-3x^2+8$$ 이다. 그러므로 $$f(2)=8-12+8=4.$$

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수열 $\left\{a_n\right\}$의 첫째항을 $a,$ 공비를 $r$이라고 하자. 즉 $a_n=a{r}^{n-1}$이라고 하자. $a_5\ne 0$이므로 $a\ne 0$이고 $r\ne 0$이다. $$\begin{array}{rl}{S}_4& =a+ar+a{r}^2+a{r}^3,\\ S_2& =a+ar,\\ a_4& =a{r}^3\end{array}$$ 이므로 $$a{r}^2+a{r}^3=3a{r}^3$$ 이다. 그런데 $a\ne 0$이므로, 위 식으로부터 $$r^2=2r^3$$ 을 얻으며, 이 식을 풀면 $r=0$ 또는 $r=\frac{1}{2}$을 얻는다. 여기서 $r\ne 0$이므로 $$r=\frac{1}{2}$$ 이다. 이제 $a_5=\frac{3}{4}$이라는 조건을 사용하면 $$a_5=a{r}^4=\frac{3}{4}$$ 이므로 $a=12$이다. 그러므로 $$\begin{array}{rl}{a}_1& =12,\\ a_2& =12\times \frac{1}{2}=6,\\ a_1+a_2& =18.\end{array}$$

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$f(x)$가 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이므로, $\alpha <\beta$이다. $$f^{\prime }(x)=x^2-4x-12$$ 이며, 방정식 $f^{\prime }(x)=0$의 두 근이 $\alpha ,$ $\beta$이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $$\alpha +\beta =4,\alpha \beta =-12$$ 이므로 $$\begin{array}{rl}(\beta -\alpha {)}^2& =(\beta +\alpha {)}^2-4\alpha \beta \\ & =16+48=64,\\ \beta -\alpha & =8.\end{array}$$

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문제의 조건에 의하여 $$(x-1)f(x)=3x(x^3-1)$$ 이므로, $x\ne 1$일 때 $f(x)$는 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{3x(x^3-1)}{x-1}\\ & =\frac{3x(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}\\ & =3x(x^2+x+1)\\ & =3x^3+3x^2+3x.\end{array}$$ 그런데 $f(x)$가 연속함수이므로, 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(x)=3x^3+3x^2+3x$$ 이다. 그러므로 구하는 정적분의 값은 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}{\int }_{-2}^{2}f(x)dx& ={\int }_{-2}^{2}3x^{2}dx\\ & ={\left[x^3\right]}_{-2}^2\\ & =8-(-8)=16.\end{array}$$

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선분 $\mathrm{PQ}$를 $m:(1-m)$으로 내분하는 점을 $\mathrm{R}(1)$이라고 하자. 그리고 선분 $\mathrm{PR}$의 길이를 $a,$ 선분 $\mathrm{QR}$의 길이를 $b$라고 하자. 그러면 $$\begin{array}{rl}a& =1-{\log }_{5}3={\log }_5\frac{5}{3}\\ b& ={\log }_{5}12={\log }_5\frac{12}{5}\end{array}$$ 이며, $4^m$의 값은 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}\frac{1}{m}-1& =\frac{1-m}{m}=\frac{b}{a}=\frac{{\log }_5\frac{12}{5}}{{\log }_5\frac{5}{3}},\\ \frac{1}{m}& =\frac{{\log }_5\frac{12}{5}}{{\log }_5\frac{5}{3}}+1=\frac{{\log }_5\frac{12}{5}+{\log }_5\frac{5}{3}}{{\log }_5\frac{5}{3}}=\frac{{\log }_{5}4}{{\log }_5\frac{5}{3}},\\ m& =\frac{{\log }_5\frac{5}{3}}{{\log }_{5}4}={\log }_4\frac{5}{3},\\ 4^m& =\frac{5}{3}.\end{array}$$

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시각이 $t$일 때 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$의 위치는 각각 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}P(t)& =\frac{1}{3}{t}^3-3t^2+5t,\\ Q(t)& =t^2-7t.\end{array}$$ 한편 $$v_1(t)-v_2(t)=t^2-8t+12=(t-6)(t-2)$$ 이므로 $v_1(t)-v_2(t)$는 $t$에 대한 이차함수이며, $t=2$ 또는 $t=6$일 때 $v_1(t)-v_2(t)=0$이다.

$P(t)-Q(t)$는 $t$에 대한 삼차함수이며, 최고차항의 계수가 양수이다. 이 함수가 극값을 가질 때, 즉 $t$의 값이 $0,$ $2,$ $6$일 때 $P(t)$와 $Q(t)$의 값의 크기를 비교하면 $$\begin{array}{rl}P(0)& =0=Q(0),\\ P(2)& =\frac{2}{3}>-10=Q(2),\\ P(6)& =-6=Q(6)\end{array}$$ 이므로, $t\ge 0$인 모든 $t$에 대하여 $P(t)\ge Q(t)$이다. 즉 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$ 사이의 거리는 다음과 같다. $$f(t)=P(t)-Q(t).$$ $f^{\prime }(t)=v_1(t)-v_2(t)$이므로, 함수 $f(t)$는 $0\le t\le 2$일 때 증가하고 $2\le t\le 6$일 때 감소하며 $6\le t$일 때 증가한다. 즉 $a=2,$ $b=6$이다.

한편 $a=2$와 $b=6$ 사이의 값 중에서 점 $\mathrm{Q}$가 움직이는 방향이 바뀌는 점, 즉 $v_2(t)$의 부호가 바뀌는 점은 $t=\frac{7}{2}$이다. 그러므로 시각 $t=a$에서 $t=b$까지 점 $\mathrm{Q}$가 움직인 거리는 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}(\mathrm{distance})& =\{Q(6)-Q\left(\frac{7}{2}\right)\}+\{Q(2)-Q\left(\frac{7}{2}\right)\}\\ & =\{-6-\frac{49}{4}\}+\{-10-\frac{49}{4}\}\\ & =\frac{17}{2}.\end{array}$$

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$\left|a_6\right|=a_8$이고 공차가 $0$이 아니므로, $a_8>0$이고 $a_6<0$이며, 공차는 $a_8-a_6$의 값의 반이다. 등차중항의 성질에 의하여 $a_7=0$이므로, $a_8$의 값이 곧 공차와 같다. 따라서 $\left\{a_n\right\}$의 일반항은 다음과 같다. $$a_n=(n-7)d,d=a_8.$$ 문제의 두 번째 조건을 사용하면 $$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^5\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}& =\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_2{a}_3}+\cdots +\frac{1}{a_5{a}_6}\\ & =\frac{1}{5\times 6d^2}+\frac{1}{4\times 5d^2}+\cdots +\frac{1}{1\times 2d^2}\\ & =\{(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+\cdots +(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})\}\frac{1}{d^2}\\ & =(1-\frac{1}{6})\frac{1}{d^2}=\frac{5}{6d^2}\\ & =\frac{5}{96}\end{array}$$ 이다. 이 등식으로부터 $d$의 값을 구하면 $$6d^2=96,d^2=16,d=4$$ 이다. 그러므로 문제에서 요구하는 합을 구하면 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{15}{a}_k& =(a_1+a_2+\cdots +a_6)+(a_8+a_9+\cdots +a_{13})+a_{14}+a_{15}\\ & =(a_1+a_2+\cdots +a_6)-(a_6+a_5+\cdots +a_1)+a_{14}+a_{15}\\ & =a_{14}+a_{15}\\ & =7d+8d=15d=60.\end{array}$$

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함수 $g(x)$는 임의의 실수 $x$에 대하여 연속이다. 또한 $x\ne t$인 점 $x$에서 $g$의 도함수는 다음과 같다. $$g^{\prime }(x)=\{\begin{array}{lc}{f}^{\prime }(x)& (x<t),\\ -1& (x>t).\end{array}$$ 즉 함수 $y=g(x)$의 그래프는 $x\le t$인 구간에서 함수 $y=f(x)$의 그래프와 일치하고, $x\ge t$인 구간에서는 점 $(t,f(t))$에서 시작하고 기울기가 $-1$인 반직선 $y=-(x-t)+f(t)$와 일치한다.

함수 $y=g(x)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이가 최대가 되려면 직선 $$L:y=-(x-t)+f(t)$$이 원점으로부터 가장 멀리 떨어지도록 하는 $t$의 값을 구해야 한다. 직선 $L$이 원점으로부터 가장 멀리 떨어질 때는 점 $x=t$에서 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $L$이 접하도록 $t$의 값을 정했을 때이다. $f$의 도함수가 $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x^2-10x+18)$$ 이므로, 방정식 $f^{\prime }(t)=-1$을 풀면 $$\begin{array}{rl}\frac{1}{3}(t^2-10t+18)& =-1\\ t^2-10t+21& =0\\ (t-3)(t-7)& =0\\ t& =3\end{array}$$ 이다. ($0<t<6$이므로 $t=7$은 방정식의 근에서 제외된다.)

이제 $t=3$을 대입하면 함수 $y=g(x)$의 그래프는 $x=0$일 때와 $x=9$일 때 $x$축과 만나고, $0<x<9$일 때 $g(x)>0$이다. 그러므로 문제에서 요구하는 넓이를 구하면 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{9}g(x)dx& ={\int }_0^{3}g(x)dx+{\int }_3^{9}g(x)dx\\ & ={\int }_0^{3}f(x)dx+{\int }_3^9\{-(x-3)+f(3)\}dx\\ & ={[\frac{1}{36}{x}^4-\frac{5}{9}{x}^3+3x^2]}_0^3+\frac{36}{2}\\ & =\frac{57}{4}+\frac{72}{4}=\frac{129}{4}.\end{array}$$

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$\mathrm{\angle }\mathrm{ADC}$의 크기를 $x$라고 하고, $\overline{\mathrm{AC}}$의 길이를 $y$라고 하자. 사인 함수를 사용하는 삼각형의 넓이 공식에 의하여 $S_1$과 $S_2$는 각각 다음과 같다. $$\begin{array}{rl}{S}_1& =\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\cdot \overline{\mathrm{AC}}\cdot \sin \frac{\pi }{3}\\ & =\frac{3}{2}\cdot y\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ & =\frac{3\sqrt{3}}{4}y,\\ S_2& =\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AD}}\cdot \overline{\mathrm{CD}}\cdot \sin x\\ & =\frac{9}{2}\sin x.\end{array}$$ 두 등식과 문제의 조건 $6S_2=5S_1$을 결합하면 $$\frac{9}{2}\sin x=\frac{5}{6}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}y=\frac{5\sqrt{3}}{8}y$$ 이므로 $$y=\frac{12\sqrt{3}}{5}\sin x$$ 이다. 한편 삼각형 $\mathrm{ACD}$에 사인 법칙을 적용하면 $$\begin{array}{}\text{(*)}& \frac{y}{\sin x}=2R\end{array}$$ 이므로, $$R=\frac{y}{2\sin x}=\frac{12\sqrt{3}}{5}\sin x\cdot \frac{1}{2\sin x}=\frac{6\sqrt{3}}{5}$$ 이다. 다음으로 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 코사인 법칙을 적용하면 $${\left(\sqrt{13}\right)}^2=3^2+y^2-2\times 3\times y\times \cos \frac{\pi }{3}$$ 이며, 이 방정식을 $y$에 대하여 풀면 $$\begin{array}{c}{y}^2-3y+9=13,\\ y^2-3y-4=0,\\ (y-4)(y+1)=0,\\ y=4\end{array}$$ 이다. ($y$가 선분의 길이이므로, $y=-1$은 근에서 제외된다.) 이 값 $y=4$를 (*)에 대입하면 $$\frac{4}{\sin x}=2R=\frac{12\sqrt{3}}{5}$$ 이므로 $$\sin x=\frac{5}{3\sqrt{3}}$$ 이다. 그러므로 구하는 값은 $$\frac{R}{\sin x}=\frac{3\sqrt{3}}{5}\times \frac{6\sqrt{3}}{5}=\frac{54}{25}$$ 이다.

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$x>2$일 때 함수의 그래프는 두 점 $(2,9)$와 $(b,9)$를 잇는 이차함수의 그래프의 일부이며, 아래쪽으로 볼록하다. 만약 $b=1$ 또는 $b=2$라면, 문제의 조건 (*)을 만족시키는 $k$의 개수가 $0$이 되므로 $b$는 $3$ 이상인 자연수이다. 또한 문제의 조건 (*)을 만족시키는 $k$의 개수가 $1$이 되려면 $2<x\le b$의 범위에서 함수 $y=f(x)$의 그래프에 해당하는 포물선의 꼭짓점의 $y$좌표가 $-3$이 되어야 한다.

$2<x\le b$의 범위에서 함수 $y=f(x)$의 그래프에 해당하는 포물선의 꼭짓점의 $y$좌표는 다음과 같다. $$f\left(\frac{2+b}{2}\right)=a(\frac{b}{2}+1-2)(\frac{b}{2}+1-b)+9.$$ 이 값이 $-3$이 되도록 하는 $a$와 $b$의 관계를 구하면 다음과 같다. $$\begin{array}{c}a(\frac{b}{2}-1)(1-\frac{b}{2})+12=0,\\ a{(\frac{b}{2}-1)}^2=12,\\ {(\frac{b}{2}-1)}^2=\frac{12}{a},\\ \frac{b}{2}-1=\sqrt{\frac{12}{a}},\\ b=2+2\sqrt{\frac{12}{a}},\\ b=2+\sqrt{\frac{48}{a}}.\end{array}$$ 그런데 $48=2^4\times 3$이므로, $a=3\times 2^n,$ $n=0,1,2$일 때에만 $b$도 자연수가 된다. 이와 같은 $a,$ $b$의 쌍 $(a,b)$를 모두 찾으면 다음과 같다. $$(3,6),(12,4),(48,3).$$ 그러므로 $a+b$의 최댓값은 $a=48,$ $b=3$일 때, 즉 $a+b=51$이다.

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(Case 1) $a_6$이 홀수인 경우, $$a_6+a_7=a_6+2^{a_6}=3$$ 이므로 $a_6=1$이다. $a_6=1$이려면 $a_5=2$가 되어야 한다. $a_5=2$이려면 $a_4=1$ 또는 $a_4=4$이다.

(Case 1.1) $a_4=1$인 경우, $a_3=2$이다. $a_3=2$이려면 $a_2=1$ 또는 $a_2=4$이다.
    (Case 1.1.1) $a_2=1$이면 $a_1=2$이다.
    (Case 1.1.2) $a_2=4$이면 $a_1=2$ 또는 $a_1=8$이다.

(Case 1.2) $a_4=4$인 경우 $a_3=8$이다. $a_3=8$이려면 $a_2=3$ 또는 $a_2=16$이다.
    (Case 1.2.1) $a_2=3$이면 $a_1=6$이다.
    (Case 1.2.2) $a_2=16$이면 $a_1=32$이다.

(Case 2) $a_6$이 짝수인 경우, $$a_6+a_7=a_6+\frac{1}{2}{a}_6=3$$ 이므로 $a_6=2$이다. 이때 (1)의 과정에서 살펴본 결과에 의하여 $a_2$의 값은 $2,$ $8,$ $6,$ $32$ 중 하나이다.

(Case 2.1) $a_2=2$이면, $a_1=1$ 또는 $a_1=4$이다.
(Case 2.2) $a_2=8$이면, $a_1=3$ 또는 $a_1=16$이다.
(Case 2.3) $a_2=6$이면, $a_1=12$이다.
(Case 2.4) $a_2=32$이면, $a_1=5$ 또는 $a_1=64$이다.

그러므로 $a_6+a_7=3$이 되도록 하는 모든 $a_1$의 값은 다음과 같다. $$1,2,3,4,5,6,8,12,16,32,64.$$ 이 값을 모두 더하면 $153$이다.