2024 수능 수학 공통과목 선택형 문항(1-15번) 풀이

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\[\begin{aligned} \sqrt[3]{24} \times 3^{\frac{2}{3}} &= {24}^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}} \\[6pt] &= \left( 2^3 \times 3 \right)^{\frac{1}{3}} \times \left(3^2 \right)^{\frac{1}{3}} \\[6pt] &= \left( 2^3 \times 3 \times 3^2 \right)^{\frac{1}{3}} \\[6pt] &= \left( 2^3 \times 3^3 \right)^{\frac{1}{3}} \\[6pt] &= 2 \times 3 = 6. \end{aligned}\]

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함수 \(f\)가 다항함수이므로 모든 점에서 미분 가능하며, 문제의 극한은 미분계수 \(f ' (2)\)의 값과 같다. \[\begin{aligned} f ' (x) &= 6x^2 - 10x , \\[6pt] f ' (2) &= 6 \times 2^2 - 10 \times 2 = 24-20 = 4. \end{aligned}\]

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\(\theta\)가 제 3 사분면의 각이므로, \(\theta\)에 대한 사인, 코사인, 탄젠트의 부호는 다음과 같다. \[\sin\theta < 0 ,\quad \cos \theta > 0 ,\quad \tan \theta < 0 .\] 사인이 기함수이므로 \[\sin \theta = - \sin (-\theta ) = - \frac{1}{3}\] 이다. 따라서 \[\begin{aligned} \cos\theta &= \sqrt{1-\sin ^2 \theta} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} ,\\[6pt] \tan\theta &= \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = - \frac{1}{2\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{4} . \end{aligned}\]

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함수 \(f\)가 \(x=2\)에서 연속이므로, \(2\)에서 \(f\)의 좌극한이 수렴하고 그 값은 \(f(2)\)의 값과 같아야 한다. \[\begin{gathered} \lim_{x\rightarrow 2-} f(x) = 6-a , \\[6pt] f(2) = 4+a \end{gathered}\] 이므로 \[6-a = 4+a\] 이다. 이 방정식을 풀면 \(a=1\)이다.

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\(f ' (x) = 3x^2 - 6x\)이므로, \(f ' (x)\)의 역도함수는 다음과 같다. (단, \(C\)는 상수.) \[f(x) = x^3 - 3x^2 +C .\] 이 식에 \(x=1,\) (f(1)=6\)을 대입하면 \[f(1) = 1-3+C = 6\] 이므로 \(C = 8\)이다. 즉 \[f(x) = x^3 - 3x^2 + 8\] 이다. 그러므로 \[f(2) = 8 - 12 + 8 = 4.\]

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수열 \(\left\{ a_n \right\}\)의 첫째항을 \(a,\) 공비를 \(r\)이라고 하자. 즉 \(a_n = ar^{n-1}\)이라고 하자. \(a_5 \ne 0\)이므로 \(a\ne 0\)이고 \(r\ne 0\)이다. \[\begin{aligned} S_4 &= a+ar+ar^2 + ar^3 ,\\[6pt] S_2 &= a+ar ,\\[6pt] a_4 &= ar^3 \end{aligned}\] 이므로 \[ar^2 + ar^3 = 3ar^3\] 이다. 그런데 \(a\ne 0\)이므로, 위 식으로부터 \[r^2 = 2r^3\] 을 얻으며, 이 식을 풀면 \(r=0\) 또는 \(r= \frac{1}{2}\)을 얻는다. 여기서 \(r\ne 0\)이므로 \[r = \frac{1}{2}\] 이다. 이제 \(a_5 = \frac{3}{4}\)이라는 조건을 사용하면 \[a_5 = ar^4 = \frac{3}{4}\] 이므로 \(a=12\)이다. 그러므로 \[\begin{aligned} a_1 &= 12 ,\\[6pt] a_2 &= 12 \times \frac{1}{2} = 6 ,\\[6pt] a_1 + a_2 &= 18. \end{aligned}\]

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\(f(x)\)가 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이므로, \(\alpha < \beta\)이다. \[f ' (x) = x^2 - 4x - 12\] 이며, 방정식 \(f ' (x) = 0\)의 두 근이 \(\alpha ,\) \(\beta\)이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 \[\alpha + \beta =4 ,\quad \alpha \beta = -12\] 이므로 \[\begin{aligned} (\beta - \alpha )^2 &= (\beta + \alpha )^2 - 4\alpha\beta \\[6pt] &= 16+48 = 64, \\[6pt] \beta - \alpha & = 8. \end{aligned}\]

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문제의 조건에 의하여 \[(x-1)f(x) = 3x(x^3 - 1)\] 이므로, \(x\ne 1\)일 때 \(f(x)\)는 다음과 같다. \[\begin{aligned} f(x) &= \frac{3x(x^3 - 1)}{x-1} \\[6pt] &= \frac{3x(x-1)(x^2 +x+1)}{x-1} \\[6pt] &= 3x(x^2 +x+1) \\[6pt] &= 3x^3 + 3x^2 +3x . \end{aligned}\] 그런데 \(f(x)\)가 연속함수이므로, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[f(x) = 3x^3 + 3x^2 + 3x\] 이다. 그러므로 구하는 정적분의 값은 다음과 같다. \[\begin{aligned} \int_{-2}^{2} f(x) dx &= \int_{-2}^2 3x^2 dx \\[6pt] &= \left[ x^3 \right] _{-2}^2 \\[6pt] &= 8-(-8)= 16. \end{aligned}\]

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선분 \(\mathrm{PQ}\)를 \(m : (1-m)\)으로 내분하는 점을 \(\mathrm{R}(1)\)이라고 하자. 그리고 선분 \(\mathrm{PR}\)의 길이를 \(a,\) 선분 \(\mathrm{QR}\)의 길이를 \(b\)라고 하자. 그러면 \[\begin{aligned} a &= 1-\log_5 3 = \log_5 \frac{5}{3} \\[5pt] b &= \log_5 12 = \log_5 \frac{12}{5} \end{aligned}\] 이며, \(4^m\)의 값은 다음과 같다. \[\begin{aligned} \frac{1}{m} -1 &= \frac{1-m}{m} = \frac{b}{a} = \frac{ \log_5 \frac{12}{5} }{ \log_5 \frac{5}{3} }, \\[6pt] \frac{1}{m} &= \frac{ \log_5 \frac{12}{5} }{ \log_5 \frac{5}{3} } +1 = \frac{ \log_5 \frac{12}{5} + \log_5 \frac{5}{3} }{ \log_5 \frac{5}{3} } = \frac{ \log_5 4 }{ \log_5 \frac{5}{3} } ,\\[6pt] m &= \frac{ \log_5 \frac{5}{3} }{ \log_5 4 } = \log_4 \frac{5}{3} ,\\[6pt] 4^m &= \frac{5}{3} . \end{aligned}\]

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시각이 \(t\)일 때 점 \(\mathrm{P}\)와 \(\mathrm{Q}\)의 위치는 각각 다음과 같다. \[\begin{aligned} P(t) &= \frac{1}{3} t^3 - 3t^2 + 5t ,\\[6pt] Q(t) &= t^2 - 7t . \end{aligned}\] 한편 \[v_1 (t) - v_2 (t) = t^2 - 8t + 12 = (t-6)(t-2)\] 이므로 \(v_1 (t) - v_2 (t)\)는 \(t\)에 대한 이차함수이며, \(t=2\) 또는 \(t=6\)일 때 \(v_1 (t) - v_2 (t) =0\)이다.

\(P(t) - Q(t)\)는 \(t\)에 대한 삼차함수이며, 최고차항의 계수가 양수이다. 이 함수가 극값을 가질 때, 즉 \(t\)의 값이 \(0,\) \(2,\) \(6\)일 때 \(P(t)\)와 \(Q(t)\)의 값의 크기를 비교하면 \[\begin{aligned} P(0) &= 0 = Q(0) ,\\[6pt] P(2) &= \frac{2}{3} > -10 = Q(2) ,\\[6pt] P(6) &= -6 = Q(6) \end{aligned}\] 이므로, \(t \ge 0\)인 모든 \(t\)에 대하여 \(P(t) \ge Q(t)\)이다. 즉 점 \(\mathrm{P}\)와 \(\mathrm{Q}\) 사이의 거리는 다음과 같다. \[f(t) = P(t) - Q(t) .\] \(f ' (t) = v_1 (t) - v_2 (t)\)이므로, 함수 \(f(t)\)는 \(0 \le t \le 2\)일 때 증가하고 \(2 \le t \le 6\)일 때 감소하며 \(6 \le t\)일 때 증가한다. 즉 \(a = 2 ,\) \(b = 6\)이다.

한편 \(a=2\)와 \(b=6\) 사이의 값 중에서 점 \(\mathrm{Q}\)가 움직이는 방향이 바뀌는 점, 즉 \(v_2 (t)\)의 부호가 바뀌는 점은 \(t = \frac{7}{2}\)이다. 그러므로 시각 \(t=a\)에서 \(t=b\)까지 점 \(\mathrm{Q}\)가 움직인 거리는 다음과 같다. \[\begin{aligned} (\mathrm{distance}) &= \left\{ Q(6) - Q\left( \frac{7}{2} \right) \right\} + \left\{ Q(2) - Q\left( \frac{7}{2} \right) \right\} \\[6pt] &= \left\{ -6 - \frac{49}{4} \right\} + \left\{ -10 - \frac{49}{4} \right\} \\[6pt] &= \frac{17}{2}. \end{aligned}\]

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\(\left\lvert a_6 \right\rvert = a_8\)이고 공차가 \(0\)이 아니므로, \(a_8 > 0\)이고 \(a_6 < 0\)이며, 공차는 \(a_8 - a_6\)의 값의 반이다. 등차중항의 성질에 의하여 \(a_7 = 0 \)이므로, \(a_8\)의 값이 곧 공차와 같다. 따라서 \(\left\{ a_n \right\}\)의 일반항은 다음과 같다. \[a_n = (n-7) d ,\quad d=a_8 .\] 문제의 두 번째 조건을 사용하면 \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{5} \frac{1}{a_k \,a_{k+1}} &= \frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \cdots + \frac{1}{a_5 a_6} \\[6pt] &= \frac{1}{5\times 6d^2} + \frac{1}{4\times 5 d^2} + \cdots + \frac{1}{1\times 2d^2} \\[6pt] &= \left\{ \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) \right\} \frac{1}{d^2} \\[6pt] &= \left( 1 - \frac{1}{6} \right) \frac{1}{d^2} = \frac{5}{6d^2}\\[6pt] &= \frac{5}{96} \end{aligned}\] 이다. 이 등식으로부터 \(d\)의 값을 구하면 \[6d^2 = 96 ,\quad d^2 = 16 ,\quad d=4 \] 이다. 그러므로 문제에서 요구하는 합을 구하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{15} a_k &= (a_1 + a_2 + \cdots + a_6 ) + (a_8 + a_9 + \cdots + a_{13} ) + a_{14} + a_{15} \\[0pt] &= (a_1 + a_2 + \cdots + a_6 ) - (a_6 + a_5 + \cdots + a_1 ) + a_{14} + a_{15} \\[6pt] &= a_{14} + a_{15} \\[8pt] &= 7d + 8d = 15d = 60. \end{aligned}\]

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함수 \(g(x)\)는 임의의 실수 \(x\)에 대하여 연속이다. 또한 \(x\ne t\)인 점 \(x\)에서 \(g\)의 도함수는 다음과 같다. \[g ' (x) = \left\{ \begin{array}{lc} f ' (x) \quad & (x < t ), \\[6pt] -1 \quad & (x > t ) . \end{array} \right.\] 즉 함수 \(y=g(x)\)의 그래프는 \(x \le t\)인 구간에서 함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 일치하고, \(x \ge t\)인 구간에서는 점 \((t ,\,\, f(t))\)에서 시작하고 기울기가 \(-1\)인 반직선 \(y = -(x-t) + f(t)\)와 일치한다.

함수 \(y=g(x)\)의 그래프와 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이가 최대가 되려면 직선 \[L :\quad y = -(x-t) + f(t)\]이 원점으로부터 가장 멀리 떨어지도록 하는 \(t\)의 값을 구해야 한다. 직선 \(L\)이 원점으로부터 가장 멀리 떨어질 때는 점 \(x=t\)에서 \(y=f(x)\)의 그래프와 직선 \(L\)이 접하도록 \(t\)의 값을 정했을 때이다. \(f\)의 도함수가 \[f ' (x) = \frac{1}{3} \left( x^2 - 10x +18 \right)\] 이므로, 방정식 \(f'(t) = -1\)을 풀면 \[\begin{aligned} \frac{1}{3} \left( t^2 - 10t + 18\right) & = -1 \\[6pt] t^2 - 10t + 21 &= 0 \\[6pt] (t-3)(t-7) &= 0 \\[6pt] t&=3 \end{aligned}\] 이다. (\(0 < t < 6\)이므로 \(t = 7\)은 방정식의 근에서 제외된다.)

이제 \(t=3\)을 대입하면 함수 \(y=g(x)\)의 그래프는 \(x=0\)일 때와 \(x=9\)일 때 \(x\)축과 만나고, \(0 < x < 9\)일 때 \(g(x) > 0\)이다. 그러므로 문제에서 요구하는 넓이를 구하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \int_{0}^{9} g(x) dx &= \int_{0}^{3} g(x) dx + \int_{3}^{9} g(x) dx \\[6pt] &= \int_{0}^{3} f(x) dx + \int_{3}^{9} \left\{ -(x-3) + f(3) \right\} dx \\[6pt] &= \left[ \frac{1}{36} x^4 - \frac{5}{9} x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{3} + \frac{36}{2} \\[6pt] &= \frac{57}{4} + \frac{72}{4} = \frac{129}{4}. \end{aligned}\]

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\(\angle\mathrm{ADC}\)의 크기를 \(x\)라고 하고, \(\overline{\mathrm{AC}}\)의 길이를 \(y\)라고 하자. 사인 함수를 사용하는 삼각형의 넓이 공식에 의하여 \(S_1\)과 \(S_2\)는 각각 다음과 같다. \[\begin{aligned} S_1 &= \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{AC}} \cdot \sin \frac{\pi}{3} \\[6pt] &= \frac{3}{2} \cdot y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\[6pt] &= \frac{3\sqrt{3}}{4} y ,\\[6pt] S_2 &= \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AD}} \cdot \overline{\mathrm{CD}} \cdot \sin x \\[6pt] &= \frac{9}{2} \sin x. \end{aligned}\] 두 등식과 문제의 조건 \(6S_2 = 5S_1\)을 결합하면 \[\frac{9}{2} \sin x = \frac{5}{6} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} y = \frac{5\sqrt{3}}{8} y\] 이므로 \[y = \frac{12\sqrt{3}}{5} \sin x\] 이다. 한편 삼각형 \(\mathrm{ACD}\)에 사인 법칙을 적용하면 \[\frac{y}{\sin x} = 2R\tag{*}\] 이므로, \[R = \frac{y}{2\sin x} = \frac{12\sqrt{3}}{5} \sin x \cdot \frac{1}{2\sin x} = \frac{6\sqrt{3}}{5}\] 이다. 다음으로 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 코사인 법칙을 적용하면 \[\left( \sqrt{13} \right)^2 = 3^2 + y^2 - 2 \times 3 \times y \times \cos \frac{\pi}{3}\] 이며, 이 방정식을 \(y\)에 대하여 풀면 \[\begin{gathered} y^2 - 3y + 9 = 13 ,\\[6pt] y^2 - 3y -4 =0, \\[6pt] (y-4)(y+1) = 0 ,\\[6pt] y=4 \end{gathered}\] 이다. (\(y\)가 선분의 길이이므로, \(y=-1\)은 근에서 제외된다.) 이 값 \(y=4\)를 (*)에 대입하면 \[\frac{4}{\sin x} = 2R = \frac{12\sqrt{3}}{5}\] 이므로 \[\sin x = \frac{5}{3\sqrt{3}}\] 이다. 그러므로 구하는 값은 \[\frac{R}{\sin x} = \frac{3\sqrt{3}}{5} \times \frac{6\sqrt{3}}{5} = \frac{54}{25}\] 이다.

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\(x > 2\)일 때 함수의 그래프는 두 점 \((2,\,\,9)\)와 \((b,\,\,9)\)를 잇는 이차함수의 그래프의 일부이며, 아래쪽으로 볼록하다. 만약 \(b=1\) 또는 \(b=2\)라면, 문제의 조건 (*)을 만족시키는 \(k\)의 개수가 \(0\)이 되므로 \(b\)는 \(3\) 이상인 자연수이다. 또한 문제의 조건 (*)을 만족시키는 \(k\)의 개수가 \(1\)이 되려면 \(2 < x \le b\)의 범위에서 함수 \(y=f(x)\)의 그래프에 해당하는 포물선의 꼭짓점의 \(y\)좌표가 \(-3\)이 되어야 한다.

\(2 < x \le b\)의 범위에서 함수 \(y=f(x)\)의 그래프에 해당하는 포물선의 꼭짓점의 \(y\)좌표는 다음과 같다. \[f\left( \frac{2+b}{2} \right) = a \left( \frac{b}{2} +1-2 \right) \left( \frac{b}{2} +1-b \right) +9 .\] 이 값이 \(-3\)이 되도록 하는 \(a\)와 \(b\)의 관계를 구하면 다음과 같다. \[\begin{gathered} a\left( \frac{b}{2} -1 \right) \left( 1 - \frac{b}{2} \right) + 12 =0, \\[6pt] a \left( \frac{b}{2} -1 \right)^2 = 12, \\[6pt] \left( \frac{b}{2} -1 \right)^2 = \frac{12}{a} ,\\[6pt] \frac{b}{2} -1 = \sqrt{\frac{12}{a}} ,\\[6pt] b = 2 + 2 \sqrt{\frac{12}{a}} ,\\[6pt] b = 2 + \sqrt{\frac{48}{a}} . \end{gathered}\] 그런데 \(48 = 2^4 \times 3\)이므로, \(a = 3 \times 2^n ,\) \(n=0 ,\,\,1,\,\,2\)일 때에만 \(b\)도 자연수가 된다. 이와 같은 \(a,\) \(b\)의 쌍 \((a,\,\,b)\)를 모두 찾으면 다음과 같다. \[(3,\,\,6) ,\,\, (12 ,\,\,4 ),\,\, (48 ,\,\, 3).\] 그러므로 \(a+b\)의 최댓값은 \(a=48,\) \(b=3\)일 때, 즉 \(a+b = 51\)이다.

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(Case 1) \(a_6\)이 홀수인 경우, \[a_6 + a_7 = a_6 + 2^{a_6} = 3\] 이므로 \(a_6 = 1\)이다. \(a_6 = 1\)이려면 \(a_5 = 2\)가 되어야 한다. \(a_5 = 2\)이려면 \(a_4 = 1\) 또는 \(a_4 = 4\)이다.

(Case 1.1) \(a_4 = 1\)인 경우, \(a_3 = 2\)이다. \(a_3 = 2\)이려면 \(a_2 = 1\) 또는 \(a_2 = 4\)이다.
    (Case 1.1.1) \(a_2 = 1\)이면 \(a_1 = 2\)이다.
    (Case 1.1.2) \(a_2 = 4\)이면 \(a_1 = 2\) 또는 \(a_1 = 8\)이다.

(Case 1.2) \(a_4 = 4\)인 경우 \(a_3 = 8\)이다. \(a_3 = 8\)이려면 \(a_2 = 3\) 또는 \(a_2 = 16\)이다.
    (Case 1.2.1) \(a_2 = 3\)이면 \(a_1 = 6\)이다.
    (Case 1.2.2) \(a_2 = 16\)이면 \(a_1 = 32\)이다.

(Case 2) \(a_6\)이 짝수인 경우, \[a_6 + a_7 = a_6 + \frac{1}{2} a_6 = 3\] 이므로 \(a_6 = 2\)이다. 이때 (1)의 과정에서 살펴본 결과에 의하여 \(a_2\)의 값은 \(2,\) \(8,\) \(6,\) \(32\) 중 하나이다.

(Case 2.1) \(a_2 = 2\)이면, \(a_1 = 1\) 또는 \(a_1 = 4\)이다.
(Case 2.2) \(a_2 = 8\)이면, \(a_1 = 3\) 또는 \(a_1 = 16\)이다.
(Case 2.3) \(a_2 = 6\)이면, \(a_1 = 12\)이다.
(Case 2.4) \(a_2 = 32\)이면, \(a_1 = 5\) 또는 \(a_1 = 64\)이다.

그러므로 \(a_6 + a_7 = 3\)이 되도록 하는 모든 \(a_1\)의 값은 다음과 같다. \[1,\,\,2,\,\,3,\,\,4,\,\,5,\,\,6,\,\,8,\,\,12,\,\,16,\,\,32,\,\,64 .\] 이 값을 모두 더하면 \(153\)이다.