\(X\)가 유한차원 벡터공간이라면 \(X\)에서 정의되는 노름은 모두 서로 동치이다. 그러나 \(X\)의 차원이 무한이라면 \(X\) 위에 동치가 아닌 서로 다른 노름이 존재할 수 있다.
보기 1. (동치가 아닌 노름)
\(\mathcal{P}\)가 구간 \([0,\,1]\)에서 정의된 모든 다항함수로 이루어진 벡터공간이라고 하자. \(\mathcal{P}\)는 \(C_\mathbb{F} ( [0,\,1])\)의 부분공간이므로 \[\lVert p \rVert_1 = \operatorname{sup} \left\{ | p(x) | \,\vert\, x\in [ 0,\,1] \right\}\] 로 정의된 노름 \(\lVert \cdot \rVert_1\)을 생각할 수 있다. 또한 \(\mathcal{P}\)는 \(L^1 [0,\,1]\)의 부분공간이므로 \[\lVert p \rVert_2 = \int_0^1 | p(x) | dx\] 로 정의된 노름 \(\lVert \cdot \rVert_2\)를 생각할 수 있다.
두 노름 \(\lVert \cdot \rVert_1\)과 \(\lVert \cdot \rVert_2\)가 동치가 아님을 보이자. 바라는 결론과는 반대로, 두 노름이 동치라고 가정하자. 그러면 양수 \(M,\) \(m\)이 존재하여, 임의의 \(p\in \mathcal{P}\)에 대하여 \[m \lVert p \rVert_1 \le \lVert p \rVert_2 \le M \lVert p \rVert_1 \] 을 만족시킨다. \(m > 0\)이므로, \(\frac{1}{n} < m\)인 자연수 \(n\)이 존재한다. 다항함수 \(p_n : [0,\,1] \rightarrow \mathbb{R}\)을 \(p_n (X) = x^n\)이라고 정의하자. 그러면 \(\lVert p_n \rVert_1 = 1\)이고 \(\lVert p_n \rVert_2 = \frac{1}{n}\)이다. 그러므로 \[m = m\lVert p_n \rVert _1 \le \lVert p_n \rVert_2 = \frac{1}{n}\] 이다. 이것은 모순이다. 그러므로 두 노름은 동치가 아니다.
더욱이, 유한차원 노름벡터공간에서 살펴보았던 정리가 무한차원 노름벡터공간으로 자연스럽게 확장되지 않는다. 예를 들어, 노름벡터공간의 유한차원 부분공간은 닫혀있지만, 무한차원 부분공간은 그렇지 않을 수 있다.
보기 2. (닫혀있지 않은 부분공간)
\(\ell^\infty\)의 부분집합 \(S\)를 다음과 같이 정의하자. \[S = \left\{ \left\{ x_n \right\} \in \ell^{\infty} \,\vert\, \text{there exists } N \in \mathbb{N} \text{ such that } x_n = 0 \text{ for } n \ge N \right\}.\] 그러면 \(S\)는 유한개의 항만 \(0\)이 아닌 수열들로 구성된 \(\ell^{\infty}\)의 부분공간이다. 그러나 \(S\)는 닫혀있지 않다. 이 사실을 증명해 보자.
\(x = \left(1,\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{3},\,\ldots\right)\)이라고 하면 \(x \in \ell^{\infty} \setminus S\)이다. 이제 \[x_n = \left(1,\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{3},\,\ldots,\,\frac{1}{n},\,0,\,0,\,\ldots\right)\] 이라고 하자. 그러면 \(x_n \in S\)이고 \[\|x - x_n\| = \left\|\left(0,\,0,\,\ldots,\,0,\,\frac{1}{n+1},\,\frac{1}{n+2},\,\ldots\right)\right\| = \frac{1}{n+1}\] 이다. 따라서 \[\lim_{n \to \infty} \|x - x_n\| = 0\] 이므로 \[\lim_{n \to \infty} x_n = x\] 이다. 그러므로 \(x \in \overline{S} \setminus S\)이고, 따라서 \(S\)는 닫혀있지 않다.
많은 경우에 닫힌 부분공간이 닫혀있지 않은 부분공간보다 더 유용하게 사용된다. 그러므로 \(S\)가 닫혀있지 않은 부분공간이라면, 그 폐포인 \(\overline{S}\)를 \(S\) 대신 사용하는 것을 고려해볼 수 있다. 그러나 우선 노름벡터공간의 부분공간의 폐포 또한 부분공간임을 보여야 한다.
보조정리 3. (부분공간의 폐포)
\(X\)가 노름벡터공간이고 \(S\)가 \(X\)의 부분공간이라 하자. 그러면 \(\overline{S}\)도 \(X\)의 부분공간이다.
증명
\(\overline{S}\)가 벡터 합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀있는지 확인하자.
\(x,\,y \in \overline{S}\)이고 \(\alpha \in \mathbb{F}\)라 하자. \(x,\,y \in \overline{S}\)이므로 \(S\)의 수열 \(\{x_n\}\)과 \(\{y_n\}\)이 존재하여 \[x = \lim_{n \to \infty} x_n, \quad y = \lim_{n \to \infty} y_n\] 을 만족시킨다. \(S\)가 부분공간이므로 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(x_n + y_n \in S\)이고, \[x + y = \lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) \in \overline{S}\] 이다. 마찬가지로 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(\alpha x_n \in S\)이므로, \[\alpha x = \lim_{n \to \infty} \alpha x_n \in \overline{S}\] 이다. 따라서 \(\overline{S}\)는 \(X\)의 부분공간이다.
\(X\)가 노름벡터공간이고 \(E\)가 \(X\)의 부분집합이며 공집합이 아니라고 하자. \(\operatorname{span}E\)는 \(E\)의 모든 원소의 일차결합의 집합 또는 \(E\)를 포함하는 모든 부분공간의 교집합으로 정의된다. \(X\)는 \(E\)를 포함하는 \(X\)의 닫힌 부분공간이므로, 닫힌 부분공간들로도 유사한 교집합을 형성할 수 있다.
정의 4. (닫힌 생성)
\(X\)가 노름벡터공간이고 \(E\)가 \(X\)의 부분집합며, 공집합이 아니라고 하자. \(E\)를 포함하는 모든 닫힌 부분공간의 교집합을 \(E\)의 닫힌 생성(closed linear span)이라고 부르며, \(\overline{\operatorname{span}}(E)\)로 나타낸다.
이제 \(\overline{\operatorname{span}}(E)\)와 \(\operatorname{span}(E)\) 사이의 관계를 살펴보자.
보조정리 5. (닫힌생성과 생성의 관계)
\(X\)가 노름공간이고 \(E\)가 \(X\)의 부분집합이며 공집합이 아니라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
- \(\overline{\operatorname{span}}(E) = \overline{\operatorname{span}(E)}\), 즉, \(\overline{\operatorname{span}}(E)\)는 \(\operatorname{span}(E)\)의 폐포이다.
- \(\overline{\operatorname{span}}(E)\)는 \(E\)를 포함하는 가장 작은 닫힌 부분공간이다.
- \(\overline{\operatorname{span}}(E) = \overline{\operatorname{span}}(\overline{E})\).
증명
- \(\operatorname{span}(E)\)는 정의에 의해 \(E\)를 포함하는 가장 부분공간이다. 따라서 모든 닫힌 부분공간 \(Y\)에 대해, \(E \subset Y\)이면 \(\operatorname{span}(E) \subset Y\)이다. 그리고 \(Y\)는 닫혀있으므로 \(\overline{\operatorname{span}(E)} \subset Y\)이다. 따라서 \(\overline{\operatorname{span}(E)} \subset \overline{\operatorname{span}}(E)\)이다.
한편, 보조정리 3에 의해 \(\overline{\operatorname{span}(E)}\)는 부분공간이고, 또한 \(\overline{\operatorname{span}(E)}\)는 닫혀있으므로, \(\overline{\operatorname{span}(E)}\)는 \(E\)를 포함하는 닫힌 부분공간이다. 따라서 \(\overline{\operatorname{span}}(E) \subset \overline{\operatorname{span}(E)}\)이다. 그러므로 \(\overline{\operatorname{span}}(E) = \overline{\operatorname{span}(E)}\)이다. - (a)에 의해 \(\overline{\operatorname{span}}(E) = \overline{\operatorname{span}(E)}\)이다. \(\operatorname{span}(E) \subset \overline{\operatorname{span}(E)}\)이므로 \(E \subset \overline{\operatorname{span}(E)}\)이다. 또한 \(\overline{\operatorname{span}(E)}\)는 닫힌 부분공간이다. 만약 \(Y\)가 \(E\)를 포함하는 임의의 닫힌 부분공간이라면, \(\operatorname{span}(E) \subset Y\)이고 \(Y\)는 닫혀있으므로 \(\overline{\operatorname{span}(E)} \subset Y\)이다. 따라서 \(\overline{\operatorname{span}}(E) = \overline{\operatorname{span}(E)}\)는 \(E\)를 포함하는 가장 작은 닫힌 부분공간이다.
- \(E \subset \overline{E}\)이므로 \(\operatorname{span}(E) \subset \operatorname{span}(\overline{E})\)이고, 따라서 \(\overline{\operatorname{span}(E)} \subset \overline{\operatorname{span}(\overline{E})}\)이다. 즉, \(\overline{\operatorname{span}}(E) \subset \overline{\operatorname{span}}(\overline{E})\)이다.
역으로, (b)에 의해 \(\overline{\operatorname{span}}(E)\)는 \(E\)를 포함하는 닫힌 부분공간이므로 \(\overline{E} \subset \overline{\operatorname{span}}(E)\)이다. 따라서 \(\operatorname{span}(\overline{E}) \subset \overline{\operatorname{span}}(E)\)이고, \(\overline{\operatorname{span}}(E)\)는 닫혀있으므로 \(\overline{\operatorname{span}(\overline{E})} \subset \overline{\operatorname{span}}(E)\)이다.
그러므로 \(\overline{\operatorname{span}}(E) = \overline{\operatorname{span}}(\overline{E})\)이다.
다음 정리는 닫힌 부분공간의 중요성을 설명한다. 이 정리에서 “닫힌”이라는 조건을 빼면 결과가 더 이상 성립하지 않을 수 있다.
정리 6. (Riesz 보조정리)
\(X\)가 노름벡터공간이고, \(Y\)가 \(Y \neq X\)인 \(X\)의 닫힌 부분공간이며, \(\alpha\)가 \(0 < \alpha < 1\)인 실수라 하자. 그러면 \(\|x_\alpha\| = 1\)이고 모든 \(y \in Y\)에 대해 \(\|x_\alpha - y\| > \alpha\)를 만족하는 \(x_\alpha \in X\)가 존재한다.
증명
\(Y \neq X\)이므로 \(x \in X \setminus Y\)인 점 \(x\)가 존재한다. 또한, \(Y\)는 닫힌 집합이므로 \[d = \inf\{\|x - z\| : z \in Y\} > 0\] 이다. 따라서 \(0 < \alpha < 1\)이므로 \(d < d\alpha^{-1}\)이다. 그러므로 \(\|x - z\| < d\alpha^{-1}\)을 만족하는 \(z \in Y\)가 존재한다. \[x_\alpha = \frac{x - z}{\|x - z\|}\] 라고 정의하자. 그러면 \(\|x_\alpha\| = 1\)이고, 임의의 \(y \in Y\)에 대해
\[\begin{aligned} \|x_\alpha - y\| &= \left\|\frac{x - z}{\|x - z\|} - y\right\| \\[6pt] &= \left\|\frac{x}{\|x - z\|} - \frac{z}{\|x - z\|} - y\right\| \\[6pt] &= \frac{1}{\|x - z\|}\left\|x - z - \|x - z\|y\right\| \end{aligned}\] 이다. \(Y\)가 부분공간이므로 \(z + \|x - z\|y \in Y\)이다. 따라서 \(d\)의 정의에 의해, \[\|x - (z + \|x - z\|y)\| \geq d\] 이다. 그러므로 \[\begin{aligned} \|x_\alpha - y\| &= \frac{\|x - (z + \|x - z\|y)\|}{\|x - z\|} \\ &\geq \frac{d}{\|x - z\|} > \frac{d}{d\alpha^{-1}} = \alpha \end{aligned}\] 이다. 그러므로 임의의 \(y \in Y\)에 대해 \(\|x_\alpha - y\| > \alpha\)이다.
정리 7. (무한차원 닫힌구면의 비컴팩트성)
\(X\)가 무한차원 노름벡터공간이면 두 집합 \[\begin{aligned} D &= \{x \in X : \|x\| \leq 1\} ,\\[6pt] K &= \{x \in X : \|x\| = 1\} \end{aligned}\] 중 어느것도 컴팩트가 아니다.
증명
\(x_1 \in K\)라 하자. \(X\)가 무한차원이므로 \(\operatorname{span}\{x_1\} \neq X\)이고, \(\operatorname{span}\{x_1\}\)은 유한차원이므로 \(\operatorname{span}\{x_1\}\)은 닫혀있다. 따라서 Riesz 보조정리에 의해, 임의의 \(\alpha \in \mathbb{F}\)에 대해 \[\|x_2 - \alpha x_1\| \geq \frac{3}{4}\] 을 만족시키는 \(x_2 \in K\)가 존재한다. 마찬가지로 \(\operatorname{span}\{x_1,\,x_2\} \neq X\)이고 \(\operatorname{span}\{x_1,\,x_2\}\)는 유한차원이므로 \(\operatorname{span}\{x_1,\,x_2\}\)는 닫혀있다. 따라서 Riesz 보조정리에 의해, 임의의 \(\alpha,\,\beta \in \mathbb{F}\)에 대해 \[\|x_3 - \alpha x_1 - \beta x_2\| \geq \frac{3}{4}\] 을 만족시키는 \(x_3 \in K\)가 존재한다.
이러한 방식으로 계속하면 \(n \neq m\)일 때 \[\|x_n - x_m\| \geq \frac{3}{4}\] 을 만족시키는 \(K\)의 수열 \(\{x_n\}\)을 얻는다. 이 수열은 수렴하는 부분수열을 가질 수 없으므로 \(D\)와 \(K\) 중 어느것도 컴팩트가 아니다.
컴팩트성은 매우 유용한 거리공간 성질이다. 우리는 유한차원 노름공간에서 유계이고 닫힌 모든 집합이 컴팩트임을 살펴보았다. 그러나 정리 7에 의하면 불행히도 무한차원 노름공간에서는 유한차원 공간처럼 컴팩트 집합이 흔하지 않다. 이는 유한차원 노름공간과 무한차원 노름공간의 거리공간 구조 사이의 주요한 차이점이다. 따라서 차원이 무한일 때 유용한 다양한 성질은 완비인 공간에서만 나타날 가능성이 높다.
정의 8. (바나흐 공간)
\(X\)가 노름벡터공간이라고 하자. 만약 \(X\)의 노름으로부터 유도된 거리에 대하여 거리공간 \(X\)가 완비일 때, 노름공간 \(X\)를 바나흐 공간(Banach space)이라고 부른다.
이전 포스트에서 살펴본 노름벡터공간의 여러 예들이 바나흐 공간이다. 이것을 다음과 같이 정리한다.
정리 9. (자주 사용되는 바나흐 공간)
- 모든 유한차원 노름벡터공간은 바나흐 공간이다.
- \(X\)가 컴팩트 거리공간이면 \(C_{\mathbb{F}}(X)\)는 바나흐 공간이다.
- \((X,\,\Sigma,\,\mu)\)가 측도공간이면 \(1 \leq p \leq \infty\)에 대해 \(L^p(X)\)는 바나흐 공간이다.
- \(1 \leq p \leq \infty\)에 대해 \(\ell^p\)는 바나흐 공간이다.
- \(X\)가 바나흐 공간이고 \(Y\)가 \(X\)의 부분공간이라면, \(Y\)가 바나흐 공간인 것과 \(Y\)가 \(X\)에서 닫혀있는 것은 동치이다.
증명
(a), (b), (c)는 이전 포스트에서 증명하였다.
(d)는 \(\mathbb{N}\)에 셈측도를 부여하였을 때 (c)로부터 성립한다.
(e) \(Y\)는 노름이 주어진 부분공간이므로, \(Y\)가 바나흐 공간인 것은 \(Y\)가 완비인 것과 동치이다. 그러나 완비거리공간의 부분집합은 그것이 닫혀있을 때만 완비이다. 따라서 \(Y\)가 바나흐 공간인 것은 \(Y\)가 \(X\)에서 닫혀있는 것과 동치이다.
완비성이 얼마나 중요한 역할을 하는지 확인하는 일환으로, 기초해석학에서 살펴본 절대수렴하는 급수의 성질을 바나흐 공간으로 일반화한 결과를 살펴보자.
정의 10. (급수의 수렴)
\(X\)가 노름공간이고 \(\{x_k\}\)가 \(X\)의 수열이라 하자. 각 양의 정수 \(n\)에 대해 \[s_n = \sum_{k=1}^n x_k\] 를 수열의 \(n\)번째 부분합이라 하자. 급수 \(\sum_{k=1}^{\infty} x_k\)가 수렴한다(converge)는 것은 \(\lim_{n \to \infty} s_n\)이 \(X\)에 존재함을 의미한다. 이 경우 \[\sum_{k=1}^{\infty} x_k = \lim_{n \to \infty} s_n\] 으로 정의한다.
정리 11. (바나흐 공간에서 급수의 절대수렴)
\(X\)가 바나흐 공간이고 \(\{x_n\}\)이 \(X\)의 수열이라 하자. 만약 급수 \(\sum_{k=1}^{\infty} \|x_k\|\)가 수렴하면 급수 \(\sum_{k=1}^{\infty} x_k\)도 수렴한다.
증명
\(\epsilon > 0\)이라 하고 \(s_n = \sum_{k=1}^n x_k\)를 급수의 \(n\)번째 부분합이라 하자.
\(\sum_{k=1}^{\infty} \|x_k\|\)가 수렴하므로 \(\sum_{k=1}^{\infty} \|x_k\|\)의 부분합은 코시 수열이다. 따라서 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재하여, \(m > n \geq N\)일 때 \(\sum_{k=n+1}^{m} \|x_k\| < \epsilon\)을 만족시킨다. 이와 같은 \(N\)에 대하여, 삼각부등식에 의해, \(m > n \geq N\)일 때 \[\|s_m - s_n\| = \left\|\sum_{k=n+1}^{m} x_k\right\| \leq \sum_{k=n+1}^{m} \|x_k\| < \epsilon\] 이 성립한다. 따라서 \(\{s_n\}\)은 코시 수열이다.
\(X\)가 완비이므로 \(\{s_n\}\)은 수렴한다. 즉, \(\sum_{k=1}^{\infty} x_k\)가 수렴한다.