노름(norm)은 실수계의 절댓값과 비슷한 역할을 하며, 노름이 주어진 공간에서는 원소의 거리를 잴 수 있다. 벡터공간에 노름이 주어진 경우 그 벡터공간을 노름벡터공간(normed vector space) 또는 노름선형공간(normed linear space)이라고 부르며, 노름이 주어진 공간이 벡터공간이 명확할 때는 간단히 노름공간이라고 부른다. 내적을 사용하여 노름을 정의할 수 있으므로 임의의 내적공간은 노름공간이다.
다양한 벡터공간에 노름을 정의하고, 노름벡터공간으로서의 성질을 연구할 수 있다. 그 중에서도 이 포스트에서는 친숙한 유한차원 벡터공간에서 정의되는 노름의 성질을 살펴보자.
체 \(\mathbb{F}\) 위에서 정의된 유한차원 벡터공간은 유클리드 공간 \(\mathbb{F}^k\)와 동형이고, \(\mathbb{F}^k\)에는 항상 표준노름을 정의할 수 있으므로, 유한차원 벡터공간에서는 항상 노름을 정의할 수 있다. 하지만 하나의 공간에 노름이 반드시 한 가지로만 정의되는 것은 아니다. 예를 들어 \(\mathbb{R}^2\)에는 다음과 같이 서로 다른 노름을 정의할 수 있다.
- \(\lVert (x,\,y) \rVert = \sqrt{ x^2 + y^2 }.\)
- \(\lVert (x,\,y) \rVert = \lvert x \rvert + \lvert y \rvert .\)
얼핏 보기에 두 노름은 많이 달라 보인다. 그렇다면 두 노름은 “얼마나” 다를까? \(\mathbb{R}^2\)에서 정의된 수열 중에 (a)의 노름에 대해서는 수렴하지만 (b)의 노름에 대해서는 발산하거나, 혹은 그 반대인 경우가 있을까? 이와 같은 경우를 논하기 위하여 노름의 “동치” 개념을 도입한다.
정의 1. (동치 노름)
\(X\)가 벡터공간이고 \(\|\cdot\|_1\)과 \(\|\cdot\|_2\)가 \(X\) 위의 두 노름이라 하자. 만약 양수 \(M,\) \(m\)이 존재하여, 모든 \(x \in X\)에 대해
\[m\|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq M\|x\|_1\]
를 만족시키면, “노름 \(\|\cdot\|_2\)가 노름 \(\|\cdot\|_1\)과 동치이다(equivalent)”라고 말한다.
“동치”라는 이름에 맞게, 두 노름이 동치인 관계는 동치관계이다. 즉 두 노름이 동치라는 관계는 반사적이고 대칭적이며 추이적이다.
정리 2. (동치인 노름의 성질)
\(X\)가 벡터공간이고 \(\|\cdot\|_1\), \(\|\cdot\|_2\), \(\|\cdot\|_3\)이 \(X\) 위의 세 노름이라 하자. 또한 \(\|\cdot\|_2\)가 \(\|\cdot\|_1\)과 동치이고 \(\|\cdot\|_3\)이 \(\|\cdot\|_2\)와 동치이라 하자.
- \(\|\cdot\|_1\)은 \(\|\cdot\|_2\)와 동치이다.
- \(\|\cdot\|_3\)은 \(\|\cdot\|_1\)과 동치이다.
증명
가정에 의해, “모든 \(x \in X\)에 대해 \(m\|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq M\|x\|_1\)”를 만족시키는 \(M,\,m > 0\)이 존재하고, “모든 \(x \in X\)에 대해 \(k\|x\|_2 \leq \|x\|_3 \leq K\|x\|_2\)”를 만족하는 \(K,\,k > 0\)이 존재한다. 따라서 다음이 성립한다.
- 모든 \(x \in X\)에 대해 \(\frac{1}{M}\|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq \frac{1}{m}\|x\|_2\)이므로 \(\|\cdot\|_1\)은 \(\|\cdot\|_2\)와 동치이다.
- 모든 \(x \in X\)에 대해 \(km\|x\|_1 \leq \|x\|_3 \leq KM\|x\|_1\)이므로 \(\|\cdot\|_3\)은 \(\|\cdot\|_1\)과 동치이다.
이제 하나의 벡터공간에 동치인 두 노름이 주어졌을 때, 각 노름으로부터 유도되는 거리공간의 성질이 동일함을 살펴보자.
보조정리 3. (동치인 노름으로부터 유도된 거리의 성질)
\(X\)가 벡터공간이고 \(\|\cdot\|\)과 \(\|\cdot\|_1\)이 \(X\) 위의 노름이라 하자. \(d\)와 \(d_1\)이 각각 \[\begin{aligned} d(x,\,y) &= \|x - y\| ,\\[6pt] d_1(x,\,y) &= \|x - y\|_1 \end{aligned} \] 과 같이 정의된 거리라 하자. “임의의 \(x \in X\)에 대해 \(\|x\| \leq K\|x\|_1\)”을 만족시키는 \(K > 0\)이 존재한다고 가정하자. 그리고 \(\{x_n\}\)이 \(X\)의 수열이라 하자.
- 만약 \(\{x_n\}\)이 거리공간 \((X,\,d_1)\)에서 \(x\)로 수렴한다면, \(\{x_n\}\)은 거리공간 \((X,\,d)\)에서 \(x\)로 수렴한다.
- 만약 \(\{x_n\}\)이 거리공간 \((X,\,d_1)\)에서 코시 수열이라면, \(\{x_n\}\)은 거리공간 \((X,\,d)\)에서 코시 수열이다.
증명
(a)를 증명하자. \(\epsilon > 0\)이라 하자. \(n \geq N\)일 때 \(\|x_n - x\|_1 < \frac{\epsilon}{K}\)인 \(N \in \mathbb{N}\)이 존재한다. 따라서 \(n \geq N\)일 때, \[\|x_n - x\| \leq K\|x_n - x\|_1 < \epsilon\] 이다. 그러므로 \(\{x_n\}\)은 거리공간 \((X,\,d)\)에서 \(x\)로 수렴한다.
(b) 또한 (a)와 유사한 방법으로 증명된다.
따름정리 4. (동치인 노름으로부터 유도된 거리의 성질)
\(X\)가 벡터공간이고 \(\|\cdot\|\)과 \(\|\cdot\|_1\)이 \(X\) 위의 동치 노름이라 하자. \(d\)와 \(d_1\)이 \(d(x,\,y) = \|x - y\|\)와 \(d_1(x,\,y) = \|x - y\|_1\)로 정의된 거리라 하자. 그리고 \(\{x_n\}\)이 \(X\)의 수열이라 하자.
- \(\{x_n\}\)이 거리공간 \((X,\,d)\)에서 \(x\)로 수렴하는 것과 \(\{x_n\}\)이 거리공간 \((X,\,d_1)\)에서 \(x\)로 수렴하는 것은 동치이다.
- \(\{x_n\}\)이 거리공간 \((X,\,d)\)에서 코시 수열인 것과 \(\{x_n\}\)이 거리공간 \((X,\,d_1)\)에서 코시 수열인 것은 동치이다.
- \((X,\,d)\)가 완비인 것과 \((X,\,d_1)\)이 완비인 것은 동치이다.
증명
\(\|\cdot\|\)과 \(\|\cdot\|_1\)이 \(X\) 위의 동치 노름이므로 모든 \(x \in X\)에 대해 \(m\|x\| \leq \|x\|_1 \leq M\|x\|\)를 만족하는 \(M,\,m > 0\)이 존재한다.
- 모든 \(x \in X\)에 대해 \(\|x\|_1 \leq M\|x\|\)이므로, 만약 \(\{x_n\}\)이 거리공간 \((X,\,d)\)에서 \(x\)로 수렴한다면, 보조정리 3에 의해 \(\{x_n\}\)은 거리공간 \((X,\,d_1)\)에서 \(x\)로 수렴한다.
역으로, 모든 \(x \in X\)에 대해 \(\|x\| \leq \frac{1}{m}\|x\|_1\)이므로, 만약 \(\{x_n\}\)이 거리공간 \((X,\,d_1)\)에서 \(x\)로 수렴한다면, 보조정리 3에 의해 \(\{x_n\}\)은 거리공간 \((X,\,d)\)에서 \(x\)로 수렴한다. - (a)와 같은 방법으로 증명된다.
- \((X,\,d)\)가 완비라고 가정하고 \(\{x_n\}\)이 거리공간 \((X,\,d_1)\)에서 코시 수열이라 하자. 그러면 (b)에 의해 \(\{x_n\}\)은 거리공간 \((X,\,d)\)에서 코시 수열이고, 따라서 \((X,\,d)\)가 완비이므로 \(\{x_n\}\)은 거리공간 \((X,\,d)\)에서 어떤 점 \(x\)로 수렴한다. 그러므로 (a)에 의해 \(\{x_n\}\)은 거리공간 \((X,\,d_1)\)에서 \(x\)로 수렴하고, 따라서 \((X,\,d_1)\)은 완비이다. 대칭성에 의해 역도 성립한다.
\(X\)가 두 노름 \(\|\cdot\|\)과 \(\|\cdot\|_1\)을 가진 벡터공간이고 \(x \in X\)라고 하자. \(\|\cdot\|\)과 \(\|\cdot\|_1\)가 동치인 노름이더라도 \(\|x\| \neq \|x\|_1\)일 수 있다. 하지만 따름정리 4에 의하면, 거리공간의 관점에서 수렴과 관련된 논의를 할 때 두 노름 중 어느 것을 사용하덜하도 같은 결과를 얻는다. 그러므로 노름벡터공간에서 수렴과 관련된 성질을 논할 땐 다루기 더 쉬운 노름을 택하면 좋을 것이다.
\(X\)가 유한차원 공간이면 \(X\)는 적어도 하나의 노름을 가진다. 이제 \(X\) 위의 모든 노름이 서로 동치임을 보이고, 이를 통해 유한차원 노름벡터공간의 많은 성질을 끌어내고자 한다.
정리 5. (유한차원 벡터공간의 노름의 동치성)
\(X\)가 노름 \(\|\cdot\|\)을 가진 유한차원 벡터공간이고 \(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\)이 \(X\)의 기저라 하자. 다음과 같이 \(X\) 위의 또 다른 노름을 정의하자. \[\left\|\sum_{j=1}^n \lambda_j e_j\right\|_1 = \left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2}.\tag{*}\] 이때 두 노름 노름 \(\|\cdot\|\)과 \(\|\cdot\|_1\)은 동치이다.
증명
\(M = \left(\sum_{j=1}^n \|e_j\|^2\right)^{1/2}\)이라 하자. 그러면 \(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\)이 \(X\)의 기저이므로 \(M > 0\)이다. 또한 \[\begin{aligned} \left\|\sum_{j=1}^n \lambda_j e_j\right\| &\leq \sum_{j=1}^n \|\lambda_j e_j\| \\[6pt] &= \sum_{j=1}^n |\lambda_j|\|e_j\| \\[6pt] &\leq \left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2} \left(\sum_{j=1}^n \|e_j\|^2\right)^{1/2} \\[6pt] &= M\left\|\sum_{j=1}^n \lambda_j e_j\right\|_1 \end{aligned}\] 이다. 이제 함수 \(f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}\)를 다음과 같이 정의하자. \[f(\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_n) = \left\|\sum_{j=1}^n \lambda_j \, e_j \,\right\|.\] 함수 \(f\)는 \(\mathbb{F}^n\) 위의 표준거리에 대해 연속이다. 이제 \[S = \left\{(\lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots,\,\lambda_n) \in \mathbb{F}^n \,\bigg\vert\, \sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2 = 1\right\}\] 이라고 하면, \(S\)는 컴팩트이므로 \((\mu_1,\,\mu_2,\,\ldots,\,\mu_n) \in S\)가 존재하여, 모든 \((\lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots,\,\lambda_n) \in S\)에 대해 \[m = f(\mu_1,\,\mu_2,\,\ldots,\,\mu_n) \leq f(\lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots,\,\lambda_n)\]을 만족시킨다.
\(m = 0\)이라면 \(\left\|\sum_{j=1}^n \mu_j \,e_j\right\| = 0\)이므로 \(\sum_{j=1}^n \mu_j \,e_j = 0\)이고, 이는 \(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\)이 \(X\)의 기저라는 사실에 모순이다. 따라서 \(m > 0\)이다. 더욱이, \(\|\cdot\|_1\)의 정의에 의해, \(\|x\|_1 = 1\)이면 \(\|x\| \geq m\)이다. 그러므로, \(y \in X \setminus \{0\}\)이면, \(\left\|\frac{y}{\|y\|_1}\right\|_1 = 1\)이므로 \(\left\|\frac{y}{\|y\|_1}\right\| \geq m\)이고, 따라서 \[\|y\| \geq m\|y\|_1\]이다.
\(y = 0\)일 때도 \(\|y\| \geq m\|y\|_1\)이므로 \(\|\cdot\|\)과 \(\|\cdot\|_1\)은 동치이다.
따름정리 6. (유한차원 벡터공간의 노름의 동치성)
\(\|\cdot\|\)과 \(\|\cdot\|_2\)가 유한차원 벡터공간 \(X\) 위의 두 노름이라면, 그들은 동치이다.
증명
\(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\)을 \(X\)의 기저라 하고 \(\|\cdot\|_1\)을 (*)에서 정의한 \(X\) 위의 노름이라 하자. 그러면 \(\|\cdot\|\)과 \(\|\cdot\|_2\) 모두 정리 5에 의해 \(\|\cdot\|_1\)과 동치이므로, \(\|\cdot\|_2\)는 \(\|\cdot\|\)과 동치이다.
\(X\)가 유한차원 벡터공간일 때 \(X\)에서 정의되는 모든 노름이 서로 동치임을 보였으므로, 이제 노름벡터공간에서 거리공간과 관련된 성질을 논할 때 특정 노름 하나만 고려하면 된다.
보조정리 7. (유한차원 노름공간의 완비성)
\(X\)가 체 \(\mathbb{F}\) 위의 유한차원 벡터공간이고 \(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\)이 \(X\)의 기저라 하자. 만약 \(\|\cdot\|_1 : X \to \mathbb{R}\)이 (*)에 의해 정의된 \(X\) 위의 노름이라면, \(X\)는 완비거리공간이다.
증명
\(\{x_m\}\)이 \(X\)에서 코시 수열이라고 하고, \(\epsilon > 0\)이라고 하자. 수열의 각 원소를 \[x_m = \sum_{j=1}^n \lambda_{j,\,m}\,e_j\] 로 표현할 수 있다. (그와 같은 \(\lambda_{j,\,m} \in \mathbb{F}\)가 존재한다는 뜻이다.) \(\{x_m\}\)이 코시 수열이므로 \(N\in\mathbb{N}\)이 존재하여, \(k,\,m \geq N\)일 때, \[\sum_{j=1}^n |\lambda_{j,k} - \lambda_{j,m}|^2 = \|x_k - x_m\|_1^2 \leq \epsilon^2\] 을 만족시킨다. 따라서 \(k,\,m \geq N\)일 때, \(1 \leq j \leq n\)인 \(j\)에 대해 \[|\lambda_{j,k} - \lambda_{j,m}|^2 \leq \epsilon^2\] 이다. 그러므로 \(\{\lambda_{j,m}\}\)은 \(1 \leq j \leq n\)인 \(j\)에 대해 \(\mathbb{F}\)에서 코시 수열이고, \(\mathbb{F}\)가 완비이므로 \[\lim_{m \to \infty} \lambda_{j,m} = \lambda_j\] 인 \(\lambda_j \in \mathbb{F}\)가 존재한다. 따라서 \(1 \leq j \leq n\)인 \(j\)에 대해, \(m \geq N_j\)일 때 \[|\lambda_{j,m} - \lambda_j|^2 \leq \frac{\epsilon^2}{n}\] 을 만족하는 \(N_j \in \mathbb{N}\)이 존재한다.
\(N_0 = \max(N_1,\,N_2,\,\ldots,\,N_n)\)이라 하고 \(x = \sum_{j=1}^n \lambda_j \,e_j\)라 하자. 그러면 \(m \geq N_0\)일 때, \[\|x_m - x\|_1^2 = \sum_{j=1}^n |\lambda_{j,m} - \lambda_j|^2 \leq \sum_{j=1}^n \frac{\epsilon^2}{n} = \epsilon^2\] 이다. 따라서 \(\{x_m\}\)이 \(x\)로 수렴한다. 즉 \(X\)는 완비이다.
따름정리 8. (유한차원 노름공간의 완비성)
\(\|\cdot\|\)이 유한차원 공간 \(X\) 위의 임의의 노름이라면, \(X\)는 완비 거리공간이다.
증명
\(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\)을 \(X\)의 기저라 하고 \(\|\cdot\|_1 : X \to \mathbb{R}\)을 (*)에 의해 정의한 \(X\) 위의 노름이라 하자. 따름정리 6에 의하여 노름 \(\|\cdot\|\)과 \(\|\cdot\|_1\)은 동치이고, 보조정리 7에 의하여 노름 \(\|\cdot\|_1\)을 가진 \(X\)는 완비이다. 따라서 따름정리 4에 의하여 노름 \(\|\cdot\|\)을 가진 \(X\) 또한 완비이다.
따름정리 9. (유한차원 부분공간의 닫힘성)
\(Y\)가 노름벡터공간 \(X\)의 유한차원 부분공간이라면, \(Y\)는 닫혀있다.
증명
\(Y\) 자체가 노름벡터공간이므로 따름정리 8에 의해 완비거리공간이다. 거리공간의 완비부분집합은 닫혀있으므로 \(Y\)는 닫혀있다.
이 결과들은 거리공간의 관점에서 모든 유한차원 노름공간의 성질이 \(\mathbb{F}^n\)의 성질과 유사함을 보여준다. 그러나 유한차원 공간의 각 노름은 서로 다른 노름공간 성질을 가질 수 있다.