노름벡터공간의 개념

벡터공간 \(\mathbb{R}^2\)와 \(\mathbb{R}^3\)를 통상적인 방법으로 시각화할 때, 우리는 각 벡터의 길이를 생각할 수 있다. 벡터의 ‘길이’를 생각함으로써 벡터공간에서 극한을 다룰 수 있다. 차원이 무한인 경우를 포함하는 일반적인 벡터공간에서도 벡터의 길이와 같은 개념을 도입하면 더욱 다양한 벡터의 성질을 기하학적으로 추론할 수 있고, 그와 같은 벡터공간에서 극한을 다룰 수 있다.

이 포스트에서는 노름벡터공간을 정의하고, 해석학에서 자주 사용되는 벡터공간에서 정의되는 노름을 살펴본다.

먼저 벡터공간 \(\mathbb{R}^2\)와 \(\mathbb{R}^3\)에서 다루었던 벡터의 ‘길이’ 개념을 일반화하여 다음 정의를 도입한다.

정의 1. (노름과 노름벡터공간)

\(X\)가 체 \(\mathbb{F}\) 위의 벡터공간이라 하자. 함수 \(\|\cdot\| : X \to \mathbb{R}\)이 \(X\) 위의 노름(norm)이라 함은 이 함수가 다음 성질을 모두 만족시킴을 의미한다.

임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(\|x\| \geq 0\)이다.
\(x\in X\)에 대하여, \(\|x\| = 0\)이면 \(x = 0\)이다.
임의의 \(\alpha \in \mathbb{F}\)와 \(x\in X\)에 대하여, \(\|\alpha x\| = |\alpha|\|x\|\)이다.
임의의 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\)이다.

노름이 정의된 벡터공간 \(X\)를 노름벡터공간(normed vector space) 또는 간단히 노름공간(normed space)이라고 부른다.

노름의 정의에서 조건 (iv)는 보통 삼각부등식(triangle inequality)이라고 불린다. 이는 \(\mathbb{R}^2\)에서 삼각형의 한 변의 길이가 다른 두 변의 길이의 합보다 작거나, 또는 그와 같다는 사실을 나타낸다.

벡터공간의 벡터가 영벡터 뿐일 때, 즉 \(X=\left\{ \mathbf{0} \right\}\)일 때, \(X\)에서 정의할 수 있는 노름은 \(\lVert \mathbf{0} \rVert = 0\)으로 정의된 함수 하나 뿐이다. 지금부터 살펴볼 노름은 벡터공간의 차원이 \(0\)일 때 주어진 식으로 잘 정의되지 않을 수 있다. 그러나 차원이 \(0\)일 때, 보기에서 주어진 식이 잘 정의되지 않는다면, 단순히 \(\lVert \mathbf{0} \rVert = 0\)인 것으로 간주한다.

보기 2. (유클리드 공간의 표준노름)

다음과 같이 정의된 함수 \(\|\cdot\| : \mathbb{F}^n \to \mathbb{R}\)은 \(\mathbb{F}^n\) 위의 노름이다. \[\|(x_1,\,\ldots,\,x_n)\| = \left( \sum_{j=1}^n |x_j|^2 \right)^{1/2} .\] 이것을 \(\mathbb{F}^n\)의 표준노름(standard norm)이라고 부른다.

차원이 유한인 임의의 벡터공간은 그 위에 노름을 정의할 수 있다. 다음 보기를 살펴보자.

보기 3. (임의의 유한차원 벡터공간의 노름)

\(X\)가 기저 \(\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_n\}\)를 가진 체 \(\mathbb{F}\) 위의 유한차원 벡터공간이라 하자. 임의의 \(x \in X\)에 대하여 \(\lambda_1,\,\lambda_2,\,\ldots,\,\lambda_n \in \mathbb{F}\)가 존재하여 대해 \(x = \sum_{j=1}^n \lambda_j \,e_j\) 꼴로 나타낼 수 있으며, 여기서 각 \(j\)에 대하여 \(\lambda_j\)가 유일하게 결정된다. 이때 다음과 같이 정의된 함수 \(\|\cdot\| : X \to \mathbb{R}\)은 \(X\) 위의 노름이다.

\[\|x\| = \left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2} .\]

증명

벡터 \(x,\,y \in X\)가 주어졌다고 하고, 이 벡터가 다음과 같이 표현된다고 하자. \[x = \sum_{j=1}^n \lambda_j \,e_j ,\quad y = \sum_{j=1}^n \mu_j e_j .\] 그리고 \(\alpha \in \mathbb{F}\)라 하자. 그러면 \[\alpha x = \sum_{j=1}^n \alpha\lambda_j \,e_j\] 이다. 이제 \(\lVert \cdot \rVert\)가 노름의 조건을 모두 만족시킴을 보이자.

\(\|x\| = \left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2} \geq 0\).
\(x = 0\)이면 \(\|x\| = 0\)이다. 역으로, \(\|x\| = 0\)이면 \(\left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2} = 0\)이므로 \(1 \leq j \leq n\)인 모든 \(j\)에 대해 \(\lambda_j = 0\)이다. 따라서 \(x = 0\)이다.
\(\|\alpha x\| = \left(\sum_{j=1}^n |\alpha\lambda_j|^2\right)^{1/2} = |\alpha|\left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2} = |\alpha|\|x\|\).
코시-슈바르츠 부등식에 의해 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} \|x + y\|^2 &= \sum_{j=1}^n |\lambda_j + \mu_j|^2 \\[3pt] &= \sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2 + \sum_{j=1}^n \lambda_j\overline{\mu_j} + \sum_{j=1}^n \overline{\lambda_j}\mu_j + \sum_{j=1}^n |\mu_j|^2 \\[3pt] &= \sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2 + 2\sum_{j=1}^n \Re(\lambda_j\overline{\mu_j}) + \sum_{j=1}^n |\mu_j|^2 \\[3pt] &\leq \sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2 + 2\sum_{j=1}^n |\lambda_j||\mu_j| + \sum_{j=1}^n |\mu_j|^2 \\[3pt] &\leq \sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2 + 2\left(\sum_{j=1}^n |\lambda_j|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{j=1}^n |\mu_j|^2\right)^{1/2} + \sum_{j=1}^n |\mu_j|^2 \\[6pt] &= \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 \\[6pt] &= (\|x\| + \|y\|)^2 . \end{aligned}\] 따라서 \(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\)이다.

이제 차원이 유한이 아닌 벡터공간에서 정의되는 노름의 예를 살펴보자.

보기 4. (연속함수 공간의 표준노름)

\(M\)을 컴팩트 거리공간이라 하고 \(C_{\mathbb{F}}(M)\)을 \(M\) 위에서 정의된 연속인 \(\mathbb{F}\)-값 함수들의 벡터공간이라 하자. 그리고 함수 \(\|\cdot\| : C_{\mathbb{F}}(M) \to \mathbb{R}\)가 다음과 같이 정의되었다고 하자. \[\|f\| = \sup\{|f(x)| : x \in M\}\] 이 함수는 \(C_{\mathbb{F}}(M)\) 위의 노름이다. 이 노름을 \(C_{\mathbb{F}}(M)\)의 표준노름(standard norm)이라고 부른다.

증명

\(f,\,g \in C_{\mathbb{F}}(M)\)이고 \(\alpha \in \mathbb{F}\)라 하자.

\(\|f\| = \sup\{|f(x)| : x \in M\} \geq 0\).
\(f\)가 영함수(함숫값이 항상 \(0\)인 상수함수)이면 모든 \(x \in M\)에 대해 \(f(x) = 0\)이므로 \[\|f\| = \sup\{|f(x)| : x \in M\} = 0\] 이다. 역으로, \(\|f\| = 0\)이면 \[\sup\{|f(x)| : x \in M\} = 0\] 이므로 모든 \(x \in M\)에 대해 \(f(x) = 0\)이다. 따라서 \(f\)는 영함수이다.
\(\|\alpha f\| =\)\(\sup\{|\alpha f(x)| : x \in M\} =\)\(|\alpha|\sup\{|f(x)| : x \in M\} =\)\(|\alpha|\|f\|\).
\(y \in M\)이면 \[|(f + g)(y)| \leq |f(y)| + |g(y)| \leq \|f\| + \|g\|.\] 따라서 \[\|f + g\| = \sup\{|(f + g)(x)| : x \in M\} \leq \|f\| + \|g\|\] 이다.

다음 보기서는 정의된 적분 가능한 함수들의 벡터공간 중 일부가 노름을 가짐을 보인다. \((X,\,\Sigma,\,\mu)\)가 측도공간이고 \(1 \leq p \leq \infty\)일 때, \( | f |^p\)의 적분이 유한인 함수의 모임에 동치관계를 부여하여 만든 공간 \(L^p (X)\)를 생각하자.

보기 5. (\(L^p\) 공간의 표준노름)

\((X,\,\Sigma,\,\mu)\)가 측도공간이라 하자.

\(1 \leq p < \infty\)일 때, \[\|f\|_p = \left(\int_X |f|^p d\mu\right)^{1/p}\] 은 \(L^p(X)\) 위의 노름이다. 이 노름을 \(L^p(X)\)의 표준노름이라고 부른다.
\(\|f\|_{\infty} = \operatorname{esssup}\{|f(x)| : x \in X\}\)는 \(L^{\infty}(X)\) 위의 노름이다. 이 노름을 \(L^{\infty}(X)\)의 표준노름이라고 부른다.

증명

(a) \(f,\,g \in L^p(X)\)이고 \(\alpha \in \mathbb{F}\)라 하자. 그러면 \(\|f\|_p \geq 0\)이다. 또한, \(\|f\|_p = 0\)이면 거의 모든 곳에서 \(f = 0\)이다. 다음으로 \[\|\alpha f\|_p = \left(\int_X |\alpha f|^p d\mu\right)^{1/p} = |\alpha|\left(\int_X |f|^p d\mu\right)^{1/p} = |\alpha|\|f\|_p\] 이다. 그리고 삼각부등식은 민콥스키 부등식에 의하여 성립한다.

(b) \(f,\,g \in L^{\infty}(X)\)이고 \(\alpha \in \mathbb{F}\)라 하자. 그러면 \(\|f\|_{\infty} \geq 0\)이이다. 더욱이, \(\|f\|_{\infty} = 0\)이면 거의 모든 곳에서 \(f = 0\)이다. \(\alpha = 0\)이면 자명하게 \(\|\alpha f\|_{\infty} = |\alpha|\|f\|_{\infty}\)이므로 \(\alpha \neq 0\)이라 가정하자. \(|\alpha f(x)| \leq |\alpha|\|f\|_{\infty}\) a.e. \(x\)이므로 \[\|\alpha f\|_{\infty} \leq |\alpha|\|f\|_{\infty}\] 이다. 같은 논리를 \(\alpha^{-1}f\)에 적용하면 다음을 얻는다. \[\|f\|_{\infty} = \|\alpha^{-1}\alpha f\|_{\infty} \leq |\alpha^{-1}|\|\alpha f\|_{\infty} \leq |\alpha^{-1}||\alpha|\|f\|_{\infty} = \|f\|_{\infty}.\] 따라서 \(\|\alpha f\|_{\infty} = |\alpha|\|f\|_{\infty}\)이다. 삼각부등식은 민콥스키 부등식에 의하여 성립한다.

공간 \(\mathbb{N}\)에 셈측도(counting measure)가 주어졌다고 하자. \(1 \leq p < \infty\)일 때, \(\ell^p\)는 \(\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty\)를 만족시키는 \(\mathbb{F}\)의 모든 수열 \(\{x_n\}\)의 벡터공간이고, \(\ell^{\infty}\)는 \(\mathbb{F}\)의 유계인 모든 수열의 벡터공간이다.

보기 6. (\(\ell ^p\) 공간의 표준노름)

\(1 \leq p < \infty\)라고 하자.

\(\|\{x_n\}\|_p = \left(\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p\right)^{1/p}\)는 \(\ell^p\) 위의 노름이다. 이 노름을 \(\ell^p\)의 표준노름이라고 부른다.
\(\|\{x_n\}\|_{\infty} = \sup\{|x_n| : n \in \mathbb{N}\}\)는 \(\ell^{\infty}\) 위의 노름이다. 이 노름을 \(\ell^{\infty}\)의 표준노름이라고 부른다.

지금까지 살펴본 공간에서 “표준노름”을 정의하였다. 별다른 언급 없이 이들 공간을 다룰 때는, 위 보기에서 정의한 표준노름이 주어진 것으로 간주한다.

벡터공간의 부분공간과 거리공간의 부분공간을 생각한 것처럼, 노름공간의 부분공간을 생각할 수 있다.

보기 7. (노름공간의 부분공간)

그러므로, \(X\)가 노름공간이고 \(S\)가 \(X\)의 부분집합이면, 별다른 언급이 없는 한, \(S\)를 위 보기와 같은 노름이 주어진 노름공간으로 간주한다. 이 같은 관점에서 \(S\)를 \(X\)의 부분공간(subspace)이라고 부른다.

보기 8. (택시 거리)

\(X\)와 \(Y\)가 \(\mathbb{F}\) 위의 벡터공간이고 \(Z = X \times Y\)가 \(X\)와 \(Y\)의 데카르트 곱이라 하자. 그러면 \(X\times Y\)는 곱공간으로서 벡터공간이다. \(\|\cdot\|_1\)이 \(X\) 위의 노름이고 \(\|\cdot\|_2\)가 \(Y\) 위의 노름이라고 하자. 그러면 \(\|(x,\,y)\| = \|x\|_1 + \|y\|_2\)는 \(Z\) 위의 노름이다.

내적을 사용하여 노름을 정의할 수 있는 것처럼, 노름을 사용하여 거리를 정의할 수 있다.

정리 9. (노름으로부터 유도된 거리)

\(X\)가 노름 \(\|\cdot\|\)을 가진 벡터공간이라 하자. 만약 함수 \(d : X \times X \to \mathbb{R}\)을 \[d(x,\,y) = \|x - y\|\] 라고 정의하면, \(d\)는 \(X\)의 거리이며, \((X,\,d)\)는 거리공간이다.

증명

\(x,\,y,\,z \in X\)라 하자. 노름의 성질을 사용하면 다음을 알 수 있다.

\(d(x,\,y) = \|x - y\| \geq 0 .\)
\(d(x,\,y) = 0 \,\,\Leftrightarrow\,\, \|x - y\| = 0 \)\(\,\,\Leftrightarrow\,\, x - y = 0 \)\(\,\,\Leftrightarrow\,\, x = y .\)
\(d(x,\,y) = \|x - y\| =\)\( \|(-1)(y - x)\| =\)\( |(-1)|\|y - x\| = \)\(\|y - x\| = d(y,\,x). \)
\(d(x,\,z) = \|x - z\| =\)\( \|(x - y) + (y - z)\| \leq \)\( \|(x - y)\| + \|(y - z)\| = \)\( d(x,\,y) + d(y,\,z) .\)

따라서 \(d\)는 거리의 조건을 만족시킨다.

노름공간에서 수열과 함수의 수렴, 연속성, 완비성과 같은 거리공간 개념을 사용할 때마다, 항상 명시적으로 언급하지 않더라도 노름으로부터 유도된 거리를 사용한다.

보기 10. (표준노름과 표준거리의 관계)

다음 공간들의 표준노름으로부터 유도된 거리는 표준거리이다.

\(\mathbb{F}^n\)
\(M\)이 컴팩트 거리공간일 때 \(C_{\mathbb{F}}(M)\)
\((X,\,\Sigma,\,\mu)\)가 측도공간이고 \(1 \leq p < \infty\)일 때 \(L^p(X)\)
\((X,\,\Sigma,\,\mu)\)가 측도공간일 때 \(L^{\infty}(X)\)

증명

\(x,\,y \in \mathbb{F}^n\)이면 \[d(x,\,y) = \|x - y\| = \left(\sum_{j=1}^n |x_j - y_j|^2\right)^{1/2},\] 따라서 \(d\)는 \(\mathbb{F}^n\)의 표준거리이다.
\(f,\,g \in C_{\mathbb{F}}(M)\)이면 \[d(f,\,g) = \|f - g\| = \sup\{|f(x) - g(x)| : x \in M\},\] 따라서 \(d\)는 \(C_{\mathbb{F}}(M)\)의 표준거리이다.
\(f,\,g \in L^p(X)\)이면 \[d(f,\,g) = \|f - g\| = \left(\int_X |f - g|^p d\mu\right)^{1/p},\] 따라서 \(d\)는 \(L^p(X)\)의 표준거리이다.
\(f,\,g \in L^{\infty}(X)\)이면 \[d(f,\,g) = \|f - g\| = \operatorname{esssup}\{|f(x) - g(x)| : x \in X\},\] 따라서 \(d\)는 \(L^{\infty}(X)\)의 표준거리이다.

\(\mathbb{N}\) 위의 셈측도를 사용하면 \(\ell^p\)와 \(\ell^{\infty}\)의 표준노름과 관련된 거리도 이들 공간의 표준거리임을 알 수 있다.

끝으로 노름벡터공간에서 수열 수렴에 관한 성질을 살펴보자

정리 11. (노름공간에서 수열의 극한)

\(X\)가 노름 \(\|\cdot\|\)을 가진 체 \(\mathbb{F}\) 위의 벡터공간이라 하자. \(\{x_n\}\)과 \(\{y_n\}\)이 각각 \(X\)에서 \(x\)와 \(y\)로 수렴하는 수열이고, \(\{\alpha_n\}\)이 \(\mathbb{F}\)에서 \(\alpha\)로 수렴하는 수열이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

\(|\|x\| - \|y\|| \leq \|x - y\|\)
\(\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|\)
\(\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = x + y\)
\(\lim_{n \to \infty} \alpha_n x_n = \alpha x\)

증명

삼각부등식에 의해, \[\|x\| = \|(x - y) + y\| \leq \|x - y\| + \|y\|\] 이므로 \[\|x\| - \|y\| \leq \|x - y\|\] 이다. \(x\)와 \(y\)를 바꾸면 \[\|y\| - \|x\| \leq \|y - x\|\] 를 얻는다. 그러나 \[\|x - y\| = \|(-1)(y - x)\| = \|y - x\|\] 이므로 \[-\|x - y\| \leq \|x\| - \|y\| \leq \|x - y\|\] 이다. 따라서 \[|\|x\| - \|y\|| \leq \|x - y\|\]이다.
\(\lim_{n \to \infty} x_n = x\)이고 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \[|\|x\| - \|x_n\|| \leq \|x - x_n\|\] 이므로, \(\lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|\)이다.
\(\lim_{n \to \infty} x_n = x\), \(\lim_{n \to \infty} y_n = y\)이고, 임의의 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \[\begin{aligned} \|(x_n + y_n) - (x + y)\| &= \|(x_n - x) + (y_n - y)\| \\[6pt] &\leq \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \end{aligned}\] 이므로, \[\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = x + y\] 이다.
\(\{\alpha_n\}\)이 수렴하므로, 이 수열은 유계이다. 즉 “모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(|\alpha_n| \leq K\)”인 양수 \(K\)가 존재한다. 또한, 임의의 \(n \in \mathbb{N}\)에 대하여 \[\begin{aligned} \|\alpha_n x_n - \alpha x\| &= \|\alpha_n (x_n - x) + (\alpha_n - \alpha)x\|\\[6pt] &\leq |\alpha_n|\|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha|\|x\| \\[6pt] &\leq K\|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha|\|x\| \end{aligned}\] 가 성립한다. 따라서 \[\lim_{n \to \infty} \alpha_n x_n = \alpha x\] 이다.

위 정리의 (b), (c), (d)는 노름, 덧셈, 스칼라곱이 연속함수임을 의미한다.

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