Linear Algebra

노름의 정의 내적공간이나 더 일반적인 벡터공간에서, 벡터의 ‘길이’를 정의하기 위해 노름(norm)이라는 연산을 사용한다. 노름은 공간에 기하학적 구조(거리, 각도 등)를 부여하는 핵심적인 개념이다. 이 절에서는 노름의 공리적 정의와, 그로부터 유도되는 가장 중요한 성질인 삼각부등식을 살펴본다. 정의 1. (노름, Norm) 체 \(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) (또는 \(\mathbb{C}\)) 위의 벡터공간 \(V\)에서 함수 \(\|\cdot\|: V \to \mathbb{R}\)가 …

내적공간의 정의 벡터공간에서 길이(length)와 각도(angle)에 대한 개념을 더 풍부하게 다루기 위해서는, 벡터들 사이에 내적(inner product)이라는 연산을 정의할 수 있어야 한다. 내적을 통해 벡터공간의 원소들이 서로 얼마나 “가깝거나 멀리” 위치하는지, 혹은 서로 “직교(orthogonal)하는지”를 수량화할 수 있다. 이 절에서는 내적이 만족해야 하는 기본 공리들을 살펴보고, 이를 바탕으로 한 내적공간의 정의를 제시한다. 정의 …

제 1 분해 정리 선형연산자의 불변부분공간(invariant subspace) 개념을 바탕으로, 복잡한 선형변환이나 행렬을 더 단순한 구성요소들로 쪼개어 표현하는 방식이 여러 분해 정리에 의해 가능하다. 제 1 분해 정리는 이러한 아이디어를 실현하는 대표적 결과로, 선형변환이 만드는 불변부분공간을 차례로 찾아가는 기법을 제시한다. 이를 통해 행렬(선형연산자)의 작용이 여러 부분 공간에서 어떻게 분리되어 해석될 수 …

복소 고윳값을 갖는 행렬 지금까지는 실수 범위에서 고윳값(eigenvalue)이 잘 나오거나, 복소수를 언급하더라도 그 해석이 크게 다르지 않은 상황을 주로 살펴보았다. 그러나 실제로는 실수 행렬이 복소수 범위로 확장했을 때만 고윳값을 전부 갖는 경우가 많으며, 그 고윳값들이 실수가 아니더라도 Jordan 표준형을 정의할 수 있다. 이 섹션에서는 “복소 고윳값을 갖는 실수 행렬”을 예로 …

Jordan 형태로의 구체적 알고리즘 이전까지 살펴본 Jordan 표준형의 존재 정리와 이론적 배경은, “임의의 복소행렬을 유사변환을 통해 Jordan 블록들의 대각 형태(상삼각)로 만들 수 있다”는 것을 알려준다. 이번 섹션에서는 실제 계산 관점에서, “어떻게 Jordan 표준형을 찾아가는가?”를 단계적으로 정리해 본다. 이는 Jordan 형태로의 변환 과정 혹은 Jordan 정규형 알고리즘이라 부를 수 있다. Jordan …

Jordan 블록 행렬이 대각화 가능하지 않을 때, 그 대안으로 Jordan 표준형(Jordan normal form)이 등장한다. 이는 행렬을 대각행렬에 ‘가장 근접한’ 형태로 만들어 주는 일반적 방법이다. 그 핵심 구성요소가 Jordan 블록(Jordan block)이다. Jordan 블록은 “중복도가 2 이상인 고윳값을 갖지만, 고유벡터가 생성하는 공간이 충분히 크지 않은” 상황을 처리하기 위한 특별한 상삼각행렬로 이해할 수 …

케일리-해밀턴 정리 케일리-해밀턴 정리는 행렬의 고윳값과 특성다항식이 밀접하게 연관되어 있음을 강력하게 보여 주는 결과로, “어떤 행렬의 특성다항식이 행렬 자체에 대해서도 성립한다”는 내용을 담고 있다. 이를 통해 행렬에 대한 고차 다항식 분석, 최소다항식(minimal polynomial) 연구, Jordan 표준형 등의 이론이 깔끔하게 전개될 수 있다. 행렬다항식의 개념 행렬다항식(matrix polynomial)이란, 스칼라 변수 \(\lambda\) 대신 …

선형시스템 해석 고윳값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)의 개념은 다양한 선형시스템을 해석하는 데 핵심적인 도구가 된다. 예를 들어, 연립일차방정식, 선형미분방정식, 선형동역학 등에서 ‘행렬과 그 고윳값’을 분석하여 시스템의 거동(steady state, 안정성, 주기성 등)을 손쉽게 파악할 수 있다. 이 섹션에서는 그러한 선형시스템 해석에서 고윳값이 어떻게 쓰이는지 대표적으로 살펴본다. 1. 연립일차방정식의 해석 가장 간단한 예로, 연립방정식 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)가 …

고윳값의 중복도와 대각화 앞서 “행렬이 대각화 가능하려면 고유벡터들이 충분히 많아야 한다”는 사실을 다루었다. 그 관점에서, 가장 중요한 이슈는 “중복된 고윳값”을 어떻게 다룰 것이냐”이다. 왜냐하면, 하나의 고윳값이 여러 번(대수적 중복도) 나타나도, 고유벡터 공간(기하적 중복도)이 충분한 차원을 확보하지 못하면 대각화에 실패하기 때문이다. 이 섹션에서는 고윳값 중복도(algebraic multiplicity)와 고유벡터 공간의 차원(기하적 중복도; geometric …

대각화 가능한 행렬의 조건 행렬의 고윳값을 구하는 중요한 이유 중 하나는, 그 행렬을 가능한 한 ‘단순한 형태’로 바꿔서 해석하고 계산하는 데 있다. 특히, 행렬이 대각화(diagonalization) 가능한 경우라면, 복잡한 변환도 대각 행렬로 표현함으로써 연산을 훨씬 쉽게 처리할 수 있다. 이 섹션에서는 “행렬이 대각화된다는 것”이 구체적으로 무엇을 의미하는지, 그리고 어떤 조건에서 가능한지 …

특성다항식의 정의와 계산 고윳값(eigenvalue)을 찾는 과정에서 핵심이 되는 것이 바로 특성다항식(characteristic polynomial)이다. 행렬 \(A\)의 특성다항식이란 방정식 \(\det(A – \lambda I) = 0\)의 좌변을 전개하면 생기는 \(\lambda\)에 관한 다항식을 가리키는데, 이 방정식의 근(roots)이 곧 행렬의 고윳값이 된다. 특성다항식의 성질을 잘 파악하면 고윳값 계산이나 대각화 과정이 한결 체계적으로 이뤄진다. 정의 1. (특성다항식) …

선형변환 관점에서의 의미 벡터공간에서 선형변환을 살펴볼 때, 특정 방향의 벡터가 변환 과정을 통해 오직 “길이(크기)”만 바뀌고 방향은 그대로 유지된다면, 그 벡터를 고유벡터(eigenvector)라고 부르고, 그때의 크기 변경 비율(스칼라배)을 고윳값(eigenvalue)이라 한다. 이 개념은 2차원, 3차원뿐 아니라 고차원 공간에서도 마찬가지로 적용되며, 선형대수학의 전반적인 이론·응용에서 핵심적인 역할을 수행한다. 정의 1. (선형변환의 고유벡터와 고윳값) 선형변환 …