Lecture Notes

컴팩트연산자는 유한차원 선형대수학에서 살펴본 선형변환의 많은 성질을 무한차원에서도 유지하고 있는 유용한 연산자이다. 이 글에서는 컴팩트연산자의 개념과 그 성질을 살펴본다. 별다른 언급이 없으면, 이 글에서 벡터공간은 복소체 위에서 정의된 것으로 약속한다. 정의 1. (컴팩트연산자) \(X\)와 \(Y\)를 노름공간이라고 하자. 선형변환 \(T \in L(X,\, Y)\)가 컴팩트연산자라는 것은, \(X\)에서 임의의 유계수열 \(\{x_n\}\)에 대해, \(Y\)에서의 …

\(\mathcal{H}\)가 복소힐베르트공간이고 \(S \in B(\mathcal{H})\)가 자기수반연산자이면 다음 두 조건은 서로 필요충분조건이다. \(\sigma(S) \subseteq [0, \,\infty)\) 모든 \(x \in \mathcal{H}\)에 대하여 \(\langle Sx,\,x \rangle \geq 0\)이다. 이와 같은 조건을 만족시키는 연산자는 유용한 성질을 가진다. 이 글에서는 위 조건을 만족시키는 연산자의 다양한 성질을 살펴본다. 정의 1. (양연산자와 양행렬) \(\mathcal{H}\)가 복소힐베르트공간이고 \(S \in …

정사각행렬 \(A\)가 주어졌을 때, 이 행렬의 고윳값과 관련하여 고려해야 할 중요한 집합은 다음과 같다. \[\mathcal{A} = \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, A – \lambda I \text{ is not invertible.}\}\] 실제로 집합 \(\mathcal{A}\)는 행렬 \(A\)의 고윳값의 집합이다. 유한차원 벡터공간을 다루는 선형대수학의 많은 부분에서 고윳값이 등장하기 때문에, 고윳값의 집합의 개념을 무한차원 공간으로 확장하면 …

수반연산자는 여러 가지 연산자의 특성을 파악할 수 있게 해주는 개념이다. 특히 수반연산자를 사용하여 정규연산자, 자기수반연산자, 유니타리연산자를 정의할 수 있다. 이들 연산자는 선형대수학과 함수해석학에서 자주 등장한다. 우선 정규연산자를 살펴보자. 정의 1. (정규연산자와 정규행렬) \(\mathcal{H}\)가 복소힐베르트공간이고 \(T \in B(\mathcal{H})\)라고 하자. 이때 \(T\)가 정규연산자라는 것은 \[TT^* = T^*T\] 가 성립함을 의미한다. \(A\)가 정사각행렬이라고 …

힐베르트 공간에서 정의된 연산자의 공간에 특정한 구조를 부여하여 연산자의 가역성 판별과 관련된 유용한 결과를 얻을 수 있다. 이것이 바로 “수반연산자”이다. 이 글에서는 수반연산자의 개념을 살펴보고, 수반연산자를 구하는 몇 가지 예를 살펴본다. 그 뒤 수반연산자의 성질을 살펴보고, 그러한 성질이 연산자의 가역성과 어떠한 관계가 있는지 살펴본다. 그런 다음, 수반연산자 개념을 바탕으로 정규연산자, …

\(\mathbb{R}\) 또는 \(\mathbb{C}\) 위에서 정의된 유한차원 벡터공간의 부분집합이 컴팩트이기 위한 필요충분조건은 유계이고 닫힌 집합인 것이다. 그러나 무한차원 공간에서는 이러한 필요충분조건이 성립하지 않는다. 이 글에서는 지금까지 사용했던 수렴보다 약한 수렴의 정의를 도입하고, 그와 같은 정의를 바탕으로 집합이 컴팩트이기 위한 조건에 관한 정리가 부분적으로 성립함을 살펴보고자 한다. 이 글에서 별다른 언급이 없는 …

힐베르트 공간 \(\mathcal{H}\)의 닫힌 부분벡터공간 \(Y\)이 있을 때 \(Y\)의 직교여공간 \(Y^{\perp}\)을 정의할 수 있다. 또한 임의의 \(x \in \mathcal{H}\)에 대하여 \(x = y + z\)인 \(y \in Y\)와 \(z \in Y^{\perp}\)가 각각 유일하게 존재한다. 이러한 분해 형태는 여공간의 개념이 얼마나 유용한지 보여주는 예이다. 이 글에서는 여공간의 개념을 더 자세히 살펴보고, …

X가 F 위에서 정의된 벡터공간일 때, X로부터 F로의 선형변환들의 모임은 벡터공간이다. 특히 X가 노름공간일 때 X로부터 F로의 연속선형범함수의 모임을 X의 쌍대공간이라고 부르고 X’으로 나타낸다. X가 노름공간일 때 X의 쌍대공간의 쌍대공간 (X’)’을 생각할 수 있다. 이 공간을 X의 제2쌍대공간이라고 부르고 X”으로 나타낸다. 이 글에서는 제2쌍대공간의 성질과 쌍대연산자의 성질을 살펴본다.

이전 글에서 증명 없이 한-바나흐 정리를 소개하였다. 또한 특수한 경우로서 노름벡터공간에서의 한-바나흐 정리의 증명을 소개하였다. 이 글에서는 일반적인 경우에 대한 한-바나흐 정리의 증명을 소개한다.

이 글에서는 노름공간에서의 한-바나흐 정리를 살펴보자. 이미 이전 글에서 복소벡터공간에서의 한-바나흐 정리를 살펴보았고, 이 글에서 살펴보는 정리는 이전 글에서 살펴보는 정리의 특수한 경우이지만, 노름공간에서의 한-바나흐 정리는 다양한 응용 과정에서 자주 사용되므로 별도로 살펴볼 가치가 있다.

\(X\)가 \(\mathbb{F}\) 위에서 정의된 벡터공간이고 \(W\)가 \(X\)의 부분공간이라고 하자. \(W\) 위에서 정의된 선형범함수 \(f_W : W \rightarrow \mathbb{F}\)를 다루다 보면 종종 이 함수의 정의역을 \(X\) 전체로 확장해야 하는 경우가 있다. 이 글에서는 선형범함수의 성질을 유지한 채 정의역을 확장한 확장함수를 살펴보자. 확장함수가 본래 함수의 성질을 보존하는지 살피기 위하여 부분선형의 개념을 도입하며, …

일반적으로 쌍대공간의 원소를 개별적으로 살펴보는 일은 비교적 쉽지만, 쌍대공간 전체의 특징을 식별하는 일은 어렵다. 이 글에서는 우선 유한차원 공간의 쌍대공간의 성질을 살펴본 후, 무한차원 공간의 쌍대공간의 성질을 밝히기 위한 정리를 살펴본다.