Functional Analysis

\(A\)가 k차 정사각행렬이고 \(x\in\mathbb{F}^k\)일 때, 연립방정식 \(Ax = y\)를 푸는 방법 중 하나는 역행렬 \(A^{-1}\)를 찾고 해를 \(x = A^{-1}y\)로 구하는 것이다. 이것은 \(A\)의 역행렬이 존재할 때 가능하다. 이 글에서는 이와 같은 상황을 무한차원으로 확장하여 살펴보자.

이 글에서는 노름공간 X와 Y 사이의 연속선형연산자의 모임으로 이루어진 공간 B(X, Y)의 구조를 살펴보자. Y가 완비일 때 B(X, Y)가 완비공간이라는 사실을 밝힌다. 또한 연속선형연산자의 곱을 정의하고 B(X)의 대수적 구조를 밝힌다.

X와 Y가 노름공간일 때 B(X, Y)는 벡터공간이다. 이 글에서는 B(X, Y)에 적절한 연산자노름을 정의하고, B(X, Y)가 노름벡터공간이라는 사실을 살펴보자. 또한 등거리변환 개념을 도입하고, 가분 힐베르트 공간과 등거리동형인 공간을 살펴보자.

노름벡터공간은 노름과 관련된 거리 구조를 가지고 있으므로, 노름벡터공간 사이에서 정의된 함수의 연속성을 생각할 수 있다. 일반적으로 거리공간 사이에서 정의된 함수 중 연속함수가 연속이 아닌 함수보다 더 중요하다. 따라서 노름벡터공간 사이에서 정의된 연속선형변환에 관심을 집중하여 살펴보자.

내적공간의 정규직교수열과 기저에 관한 이론을 바탕으로, 힐베르트 공간에서의 푸리에 급수의 이론적 기초를 전개할 수 있다. 이 글에서는 복소지수함수의 정규직교수열이 내적공간 \(L^2_\mathbb{C}[-\pi,\,\pi]\)의 기저를 형성함을 증명하고, \(L^2\) 공간에서의 다양한 정규직교기저를 살펴보자.

이전 글에서 유한차원 내적공간에서의 직교성 개념과 직교여공간을 살펴보았다. 이 글에서는 유한차원 공간에서 살펴보았던 직교정규기저의 개념을 무한차원 공간으로 확장한 개념을 소개한다.

내적공간에서는 두 벡터의 직교성을 정의할 수 있다. 이 개념을 확장하여 주어진 벡터에 직교하는 벡터의 집합을 생각하거나, 벡터의 집합이 주어졌을 때 그 집합의 모든 벡터와 직교하는 벡터의 집합을 생각할 수 있다.

벡터공간에 내적이 정의되어 있을 때, 내적을 사용하여 노름을 정의하고 ‘벡터의 길이’ 개념을 사용할 수 있다. 그러나 내적공간은 ‘벡터의 길이’ 뿐만 아니라 벡터의 직교성이라는 개념을 추가로 사용할 수 있으며, 이 개념으로부터 풍부한 성질을 끌어낼 수 있다.

벡터공간에 노름(norm)을 정의하면 벡터의 길이를 다룰 수 있게 된다. 그러나 유클리드 공간에서 볼 수 있다시피, 벡터의 기하학적인 특성이 길이만 있는 것은 아니다. 유클리드 공간에서 사용하는 내적은 매우 유용한 개념이기 때문에 이를 더 다양한 공간으로 확장하고자 한다.

유한차원 벡터공간에서 정의되는 노름은 모두 서로 동치이다. 그러나 무한차원 벡터공간 위에서는 동치가 아닌 서로 다른 노름이 존재할 수 있다. 더욱이, 유한차원 노름벡터공간에서 살펴보았던 정리가 무한차원 노름벡터공간으로 자연스럽게 확장되지 않는다.

노름(norm)은 실수계의 절댓값과 비슷한 역할을 하며, 노름이 주어진 공간에서는 원소의 거리를 잴 수 있다. 벡터공간에 노름이 주어진 경우 그 벡터공간을 노름벡터공간(normed vector space) 또는 노름선형공간(normed linear space)이라고 부르며, 노름이 주어진 공간이 벡터공간이 명확할 때는 간단히 노름공간이라고 부른다. 내적을 사용하여 노름을 정의할 수 있으므로 임의의 내적공간은 노름공간이다.

2차원 유클리드 공간과 3차원 유클리드 공간을 통상적인 방법으로 시각화할 때, 우리는 각 벡터의 길이를 생각할 수 있다. 벡터의 ‘길이’를 생각함으로써 벡터공간에서 극한을 다룰 수 있다. 차원이 무한인 경우를 포함하는 일반적인 벡터공간에서도 벡터의 길이와 같은 개념을 도입하면 더욱 다양한 벡터의 성질을 기하학적으로 추론할 수 있고, 그와 같은 벡터공간에서 극한을 다룰 수 …