거듭제곱집합과 데카르트 곱
ZF6. 거듭제곱집합 공리; Power set axiom.
정의 1.
거듭제곱집합 공리 덕분에 집합의 데카르트 곱을 정의할 수 있다.
정리 2.
증명
거듭제곱집합 공리에 의하여
정리 2의 증명에서
정의 3.
관계와 함수
정의 4.
정의 5.
정의 6.
함수는 순서쌍의 모임이다. 그러므로 두 함수
함수의 정의에 따르면
동등관계와 순서관계
동등관계와 순서관계는 함수와 더불어 수학에서 가장 많이 사용되는 관계이다.
정의 7.
- 임의의
에 대하여 가 성립하면, 를 반사적 관계(reflexive relation)라고 부른다. 의 임의의 원소 에 대하여, 일 때마다 가 성립하면, 를 대칭적 관계(symmetric relation)라고 부른다. 의 임의의 원소 에 대하여, [ 이고 ]일 때마다 가 성립하면, 를 추이적 관계(transitive relation)라고 부른다.
만약
정의 8.
의 임의의 원소 에 대하여, [ 이고 ]일 때마다 가 성립하면, 를 반대칭적 관계(antisymmetric relation)라고 부른다. 가 반사적이고 반대칭적이며 추이적인 관계일 때 를 약한 반순서관계(weak partial order)라고 부른다. 가 약한 반순서관계라고 하자. 만약 의 임의의 두 원소가 비교 가능하면, 즉 의 임의의 원소 에 대하여 또는 가 성립하면, 를 약한 전순서관계(weak total order)라고 부른다.- 임의의
에 대하여 가 성립하면, 를 반반사적 관계(irreflexive relation)라고 부른다. 가 반반사적이고 추이적인 관계라고 하자. 만약 의 임의의 원소 에 대하여, 가 성립하면, 를 강한 반순서관계(strict partial order)라고 부른다. 가 강한 반순서관계라고 하자. 만약 의 서로 다른 임의의 두 원소 에 대하여 또는 가 성립하면, 를 강한 전순서관계(strict total order)라고 부른다.
정리 9.
증명
주어진 관계가 정의 8의 조건을 만족시키는지 점검해 보면 된다.
동등관계를 나타낼 때와 마찬가지로 순서관계를 나타낼 때도
동등관계를 나타낼 때 주로 기호 ‘
부분집합을 나타내는 기호