ROSÉ

자연수의 연산

by Ariel Daley
written by Ariel Daley

이 글에서는 자연수의 덧셈, 곱셈, 거듭제곱을 정의하고 이 연산의 기본 성질을 살펴본다.

덧셈, 곱셈, 거듭제곱의 정의

정리 1.  자연수의 연산의 정의.

(1) 다음 두 조건을 모두 만족시키는 함수 \(+:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)이 유일하게 존재한다.

  1. 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(n+0 = n\),
  2. 임의의 자연수 \(n,\) \(m\)에 대하여 \(n+m^+ = (n+m)^+ .\)

(2) 다음 두 조건을 모두 만족시키는 함수 \(\cdot:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)이 유일하게 존재한다.

  1. 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(n\cdot 0 = 0\),
  2. 임의의 자연수 \(n,\) \(m\)에 대하여 \(n\cdot m^+ = n\cdot m + n .\)

(3) 다음 두 조건을 모두 만족시키는 함수 \(^\wedge:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)이 유일하게 존재한다.

  1. 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 \(n^\wedge 0 = 1\),
  2. 임의의 자연수 \(n,\) \(m\)에 대하여 \(n^\wedge m^+ = (n^\wedge m)\cdot n .\)

증명

\(A = X = \mathbb{N}\)이라고 하고 귀납적으로 정의된 함수의 따름정리 2를 사용하자.

  1. \(h(n) = n\)이라고 두고 \(g(n,\,m)=m^+\)라고 하면, \(f\)는 정리 1(1)의 함수와 일치한다.
  2. \(h(n) = 0\)이라고 두고 \(g(n,\,m)=m+n\)이라고 하면, \(f\)는 정리 1(2)의 함수와 일치한다.
  3. \(h(n) = 1\)이라고 두고 \(g(n,\,n)=m\cdot n\)이라고 하면, \(f\)는 정리 1(3)의 함수와 일치한다.

정의 2. 정리 1에서 함수 \(+\)를 덧셈이라고 부른다. 정리 1에서 함수 \(\cdot\)를 곱셈이라고 부른다. 정리 1에서 함수 \(^\wedge\)를 거듭제곱이라고 부른다. 편의상 \(m^\wedge n\)을 \(m^n\)으로 나타낸다.

자연수 연산의 성질

익숙하게 사용하던 자연수의 연산의 성질은 모두 수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다.

정리 3. 자연수 \(n,\) \(m,\) \(k\)에 대하여 다음이 성립한다.

  1. \((n+m)+k = n+(m+k)\)
  2. \(n+k^+ = n^+ + k\)
  3. \(k+0 = 0+k\)
  4. \(n+1 = n^+\)
  5. \(n+k = k+n\)
  6. \(n\cdot 1 = n\)
  7. \(n\cdot (m+k) = n\cdot m + n\cdot k\)
  8. \((n\cdot m)\cdot k = n\cdot (m\cdot k)\)
  9. \(0\cdot k = 0\)
  10. \(1\cdot k = k\)
  11. \((1+n)\cdot k = 1\cdot k + n\cdot k\)
  12. \(n\cdot k = k\cdot n\)
  13. \((m+k)\cdot n = m\cdot n + k\cdot n\)
  14. \(m^{n+k} = m^n \cdot m^k\)
  15. \(m^{n\cdot k} = (m^n )^k \)

증명

(4), (6), (13)을 제외한 모든 명제는 \(k\)에 대한 수학적 귀납법을 사용하여 증명된다. 여기서는 \(k=0\)일 때의 증명과 \(k\)일 때 성립함을 가정한 후 \(k^+\)일 때 성립함을 증명하는 과정의 개요를 살펴본다.

  1. \((n+m)+0 = n+m = n+(m+0)\)이므로 \(k=0\)일 때 성립한다. 또한 \(k\)일 때 등식을 가정하면\[\begin{aligned}(n+m)+k^+ &= ((n+m)+k)^+ \\[6pt]&= (n+(m+k))^+\\[6pt] &= n+(m+k)^+ \\[6pt]&= n+(m+k^+ )\end{aligned}\]가 성립한다.
  2. \(n+0^+ = (n+0)^+ = n^+ = n^+ +0\)이므로 \(k=0\)일 때 성립한다. 또한 \(k\)일 때 등식을 가정하면\[\begin{aligned}n+k^{++} &= (n+k^+ )^+ \\[6pt] &= (n^+ +k)^+ \\[6pt] &= n^+ +k^+\end{aligned}\]가 성립한다.
  3. \(0+0 = 0+0\)이므로 \(k=0\)일 때 성립한다. 또한 \(k\)일 때 등식을 가정하면\[\begin{aligned} k^+ +0 &= k+0^+ \\[6pt] &= (k+0)^+ \\[6pt] &=(0+k)^+ \\[6pt] &= 0+k^+ \end{aligned}\]가 성립한다.
  4. \(n+1 = n+0^+ = (n+0)^+ = n^+ .\)
  5. (3)에 의하여 \(k=0\)일 때 성립한다. 또한 \(k\)일 때 등식을 가정하고 (2)를 사용하면\[\begin{aligned} n+k^+ &= n^+ k \\[6pt]&= k+n^+\\[6pt] &= k^+ +n \end{aligned}\]이 성립한다.
  6. \(n\cdot 1 = n\cdot 0^+ = n\cdot 0 + n = 0+n = n.\)
  7. \(n\cdot (m+0) = n\cdot m = n\cdot m+0 = n\cdot m+n\cdot 0\)이므로 \(k=0\)일 때 성립한다. 또한 \(k\)일 때 등식을 가정하면\[\begin{aligned} n\cdot (m+k^+ ) &= n\cdot (m^+ +k) = n\cdot m^+ +n\cdot k \\[6pt] &= (n\cdot m +n) + n\cdot k \\[6pt] &= n\cdot m + (n+n\cdot k) \\[6pt] &= n\cdot m + (n\cdot k +n) \\[6pt] &= n\cdot m + n\cdot k^+ \end{aligned}\]가 성립한다.
  8. \((n\cdot m)\cdot 0 = 0 = n\cdot 0 = n\cdot (m\cdot 0)\)이므로 \(k=0\)일 때 성립한다. 또한 \(k\)일 때 등식을 가정하면\[\begin{aligned} (n\cdot m)\cdot k^+ &= (n\cdot m)\cdot k + n\cdot m\\[6pt]&= n\cdot (m\cdot k) + n\cdot m \\[6pt]&= n\cdot (m\cdot k + m) \\[6pt]&= n\cdot (m\cdot k^+) \end{aligned}\]가 성립한다.
  9. \(0\cdot 0=0 \)이므로 \(k=0\)일 때 성립한다. 또한 \(k\)일 때 등식을 가정하면\[0\cdot (k^+) = 0\cdot k + 0 = 0+0 = 0\]이 성립한다.
  10. \(1\cdot 0 = 0\)이므로 \(k=0\)일 때 성립한다. 또한 \(k\)일 때 등식을 가정하면\[1\cdot (k^+) = 1\cdot k +1 = k+1 = k^+\]가 성립한다.
  11. \((1+n)\cdot 0 = 0 = 0+0 = 1\cdot 0 + n\cdot 0\)이므로 \(k=0\)일 때 성립한다. 또한 \(k\)일 때 등식을 가정하면\[\begin{aligned} (1+n)\cdot k^+ &= (1+n)\cdot k + (1+n) \\[6pt] &= (1\cdot k + n\cdot k) + (1+n) \\[6pt] &= (1\cdot k +1 ) + (n \cdot k +n ) \\[6pt] &= 1\cdot k^+ + n\cdot k^+ \end{aligned}\]가 성립한다.
  12. \(n\cdot 0 = 0 = 0\cdot n\)이므로 \(k=0\)일 때 성립한다. 또한 \(k\)일 때 등식을 가정하면\[\begin{aligned} n\cdot (k^+) &= n\cdot k +n \\[6pt] &= k\cdot n + n\\[6pt] &= n+k\cdot n \\[6pt] &= 1\cdot n +k\cdot n \\[6pt] &= (1+k)\cdot n \\[6pt]&= k^+ \cdot n \end{aligned}\]이 성립한다.
  13. (7)과 (12)를 결합하면 결과를 얻는다.
  14. \(m^{n+0} = m^n = m^n \cdot 1 = m^n \cdot m^0\)이므로 \(k=0\)일 때 성립한다. 또한 \(k\)일 때 등식을 가정하면\[\begin{aligned} m^{n+k^+} &= m^{(n+k)^+} \\[6pt] &= m^{n+k}\cdot m \\[6pt]&= (m^n \cdot m^k )\cdot m \\[6pt] &= m^n \cdot (m^k \cdot m) \\[6pt] &= m^n \cdot m^{k^+} \end{aligned}\]이 성립한다.
  15. \(m^{n\cdot 0} = m^0 = 1 = (m^n )^0\)이므로 \(k=0\)일 때 성립한다. 또한 \(k\)일 때 등식을 가정하면\[\begin{aligned} m^{n\cdot k^+} &= m^{n\cdot (k+1)} \\[6pt] &= m^{(n\cdot k)+n} \\[6pt] &= m^{n\cdot k} \cdot m^n \\[6pt] &= (m^n )^k \cdot m^n \\[6pt] &= (m^n )^{k^+} \end{aligned}\]이 성립한다.

자연수 체계의 확장

지금까지 자연수의 연산을 정의하고 그 성질을 살펴보았다. 자연수 집합을 확장하여 정수 집합 \(\mathbb{Z}\)를 정의할 수 있으며, 이어서 유리수 집합 \(\mathbb{Q},\) 실수 집합 \(\mathbb{R},\) 복소수 집합 \(\mathbb{C}\)를 정의할 수 있다.

집합 \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) 위에서 관계 \(\sim\)을 \[\langle a,\,b\rangle \sim \langle c,\,d \rangle \quad \Longleftrightarrow \quad a+d = b+c\] 로 정의하면 \(\sim\)은 동치관계가 된다. 여기서 \(\langle a ,\,b\rangle\)는 \(a-b\)를 나타내는 것으로 생각할 수 있다. 이러한 동치관계에 의한 동치류를 정수인 것으로 정의하고, 정수의 모임(상집합; quotient set)을 정수 집합 \(\mathbb{Z} = \mathbb{N}\times\mathbb{N} / \sim\)로 정의한다. 또한 \(\mathbb{N}\)에서의 연산과 순서관계를 자연스럽게 \(\mathbb{Z}\)에서의 연산과 순서관계로 확장할 수 있다.

다시 \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^+\)에서 관계 \(\sim\)을 \[\langle a,\,b\rangle \sim \langle c,\,d\rangle \quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc\] 로 정의하면 \(\sim\)은 동치관계가 된다. 여기서 \(\langle a,\,b\rangle\)는 분수 \(a/b\)를 나타내는 것으로 생각할 수 있다. 이러한 동치관계에 의한 동치류를 유리수인 것으로 정의하고, 유리수의 모임을 유리수 집합 \(\mathbb{Q} = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^+ / \sim\)로 정의한다.

\(\mathbb{Q}\)의 부분집합 중 적당한 조건을 만족시키는 것을 Dedekind 절단으로 정의한다. 즉 \(\mathbb{Q}\)의 두 부분집합 \(A,\) \(B\)가 다음 네 조건을 모두 만족시킬 때 \(\langle A ,\,B \rangle\)를 Dedekind 절단이라고 부른다.

  • \(A\)는 공집합이 아니다.
  • \(A \ne \mathbb{Q} \)
  • \(x\)와 \(y\)가 \(\mathbb{Q}\)의 원소이고 \(x < y\)이며 \(y\in A\)이면, \(x\in A\)이다.
  • \(x\in A\)이면 \(y > x\)인 \(y\in A\)가 존재한다.

이때 Dedekind 절단 \(\langle A,\,B\rangle\)의 모임을 실수 집합 \(\mathbb{R}\)로 정의한다.

끝으로 \(x,\) \(y\)가 실수일 때 순서쌍 \(\langle x,\,y\rangle\)를 복소수 \(x+y\mathbf{i}\)와 동일시함으로써 \(\mathbb{C} = \mathbb{R}\times\mathbb{R}\)로 정의할 수 있다.

From abstract numbers to the beauty of language, I explore it all with curiosity and passion. As a math major who loves storytelling, I’m always piecing together the patterns that connect us all.