직교기저와 직교정규기저
내적공간에서 벡터들 사이에 내적이 0인 경우, 두 벡터는 서로 직교한다고 한다. 이러한 성질을 활용하여 내적공간의 기저를 구성하면, 각 기저 벡터들이 서로 직교하는 성질을 지니게 되어 계산이 단순해지고, 기하학적 해석이 용이해진다. 만약 각 기저 벡터의 노름이 1로 정규화되어 있다면, 이를 정규직교(orthonormal) 기저라고 하며, 이는 특히 선형변환의 행렬 표현이나 함수 근사 등 여러 분야에서 중요한 역할을 한다.
정의 1. (직교기저)
내적공간 \(V\)에서, 벡터들의 집합 \(B = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\}\)가 \(V\)의 기저를 이루면서, 임의의 \(i \neq j\)에 대해 \[ \langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = 0 \] 을 만족하면, \(B\)를 직교기저라고 한다.
정의 2. (정규직교기저)
\(V\)의 직교기저 \(B = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\}\)에 대해, 각 벡터의 노름이 \[ \|\mathbf{v}_i\| = 1 \quad (i=1,\dots,n) \] 인 경우, \(B\)를 정규직교기저라고 한다. 즉, 정규직교기저는 서로 직교할 뿐 아니라 각 벡터가 단위 벡터인 기저이다.
정리 1. (내적공간의 정규직교기저 존재 정리)
모든 유한차원 내적공간 \(V\)는 정규직교기저를 가진다. 이는 임의의 기저로부터 그람–슈미트 과정을 통해 정규직교기저를 구성할 수 있음을 의미한다.
보기 1.
\(\mathbb{R}^2\)에서, 임의의 두 벡터 \(\mathbf{u} = (3,4)\)와 \(\mathbf{v} = (-4,3)\)를 고려하자. 이들 사이의 내적은 \[\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0\] 이므로, \(\mathbf{u}\)와 \(\mathbf{v}\)는 서로 직교한다.
이들을 각각 노름으로 정규화하면, \[\|\mathbf{u}\| = \sqrt{3^2+4^2} = 5, \quad \|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-4)^2+3^2} = 5\] 이므로, 정규직교기저 원소는 다음과 같다. \[ \mathbf{e}_1 = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right), \quad \mathbf{e}_2 = \left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right). \] 즉 \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}\)는 \(\mathbb{R}^2\)의 정규직교기저가 된다.
보기 2.
\(\mathbb{R}^3\)에서, 임의의 기저가 \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}\)로 주어졌다고 하자. 이 기저에 대해 내적이 정의된 상태에서, 그람–슈미트 과정을 적용하는 과정은 다음과 같다.
- 먼저 \(\mathbf{v}_1\)은 그대로 두고,
- \(\mathbf{v}_2\)에서 \(\mathbf{v}_1\)에 대한 정사영을 빼서 \(\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1\rangle}{\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle}\mathbf{v}_1\)를 얻는다.
- 그 후, \(\mathbf{v}_3\)에 대해서도 \(\mathbf{v}_1\)와 \(\mathbf{u}_2\)에 대한 정사영을 빼면, \(\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3 - \frac{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_1\rangle}{\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle}\mathbf{v}_1 - \frac{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2\rangle}{\langle \mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle}\mathbf{u}_2\)를 얻는다.
이때 \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\}\)는 서로 직교하는 벡터 집합이 되며, 각각을 노름으로 정규화하면 \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}\)라는 정규직교기저가 완성된다.
이와 같이, 내적공간에서는 임의의 기저로부터 그람–슈미트 과정을 이용하여 직교기저 및 정규직교기저를 구성할 수 있으며, 이는 벡터의 분해와 선형변환의 단순화에 큰 도움을 준다.
내적공간에서 기저 변환
내적공간에서 정규직교 기저(orthonormal basis)를 사용하는 경우, 서로 다른 기저 사이의 변환은 특별한 성질을 갖는다. 구체적으로, 만약 한 내적공간 \(V\)의 두 정규직교 기저 \(B = \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\}\)와 \(B' = \{\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_n\}\)가 주어지면, 이들 사이의 기저 변환 행렬 \(U\)는 아래와 같이 정의된다.
정의 3. (정규직교 행렬 및 유니타리 행렬)
\(V\)가 실수 내적공간인 경우, 두 정규직교 기저 \(B\)와 \(B'\) 사이의 기저 변환 행렬 \(U\)는 \(B\)의 좌표에서 \(B'\)의 좌표로 변환하는 행렬로서, \[[\mathbf{x}]_{B'} = U\,[\mathbf{x}]_B\] 를 만족한다. 여기서 \(U\)는 정규직교 행렬로 \(U^T U = I\)를 만족한다. 만약 \(V\)가 복소 내적공간이면 \(U\)는 유니타리 행렬로 \(U^* U = I\)를 만족한다. (\(U^*\)는 켤레전치를 나타낸다.)
이러한 변환 행렬은 내적공간의 내적을 보존하는 성질을 가지므로, 기저 변환 후에도 벡터의 노름, 내적, 그리고 이에 기초한 거리와 각도가 그대로 유지된다.
정리 2. (내적공간에서의 기저 변환의 보존 성질)
유한차원 내적공간 \(V\)의 두 정규직교 기저 \(B\)와 \(B'\) 사이의 기저 변환 행렬 \(U\)가 정규직교(또는 유니타리) 행렬이면, 임의의 \(\mathbf{x},\mathbf{y} \in V\)에 대하여
\[ \langle [\mathbf{x}]_{B'},\, [\mathbf{y}]_{B'} \rangle = \langle [\mathbf{x}]_{B},\, [\mathbf{y}]_{B} \rangle \]
가 성립한다. 즉, 기저 변환에 의한 좌표 표현이 내적을 보존한다.
보기 3.
\(\mathbb{R}^2\)에서 표준기저 \(B = \{(1,0), (0,1)\}\)와 임의의 정규직교 기저 \(B' = \{(\cos\theta,\sin\theta), (-\sin\theta,\cos\theta)\}\)를 고려한다. 이때 기저 변환 행렬 \(U\)는
\[ U = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}. \]
\(U\)는 정규직교 행렬임이 \(U^T U = I\)를 통해 확인할 수 있으며, 임의의 벡터 \(\mathbf{x}\)의 \(B\)와 \(B'\)에서의 좌표는 \( [\mathbf{x}]_{B'} = U\,[\mathbf{x}]_B \) 관계를 만족한다. 이로써 두 기저에서의 내적 및 노름이 보존됨을 알 수 있다.
보기 4.
\(\mathbb{C}^2\)에서 표준기저 \(B = \{(1,0), (0,1)\}\)와, 새로운 정규직교(유니타리) 기저 \(B' = \left\{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{i}{\sqrt{2}}\right), \left(\frac{-i}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\}\)를 고려한다. 이때 기저 변환 행렬 \(U\)는
\[ U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-i}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}. \]
\(U\)는 유니타리 행렬로 \(U^* U = I\)를 만족하며, 임의의 벡터 \(\mathbf{x} \in \mathbb{C}^2\)에 대해 \( [\mathbf{x}]_{B'} = U\,[\mathbf{x}]_{B} \)가 성립한다. 이로써 복소 내적공간에서도 내적이 보존됨을 확인할 수 있다.
내적공간에서 기저 변환은 정규직교(또는 유니타리) 행렬에 의해 이루어지므로, 벡터의 내적과 노름, 그리고 그에 따른 기하학적 구조가 변환 전후에 동일하게 유지된다. 이는 내적공간의 중요한 특성 중 하나이며, 여러 응용 문제에서 기본적으로 활용된다.
