행렬의 구성요소와 표기법
연립일차방정식을 다룰 때 핵심적으로 등장하는 것이 바로 행렬(matrix)이다. 행렬은 숫자(또는 다른 대상)들을 직사각형 형태로 배열한 것으로, 선형대수학 전반에 걸쳐 널리 활용된다. 예를 들어, 연립일차방정식의 계수행렬이나, 변환을 표현하는 행렬 등을 떠올릴 수 있다. 이 절에서는 행렬의 기본 정의와 표기법을 간단히 정리한다.
정의 1. (행렬)
행렬이란, 체(field) \(\mathbb{F}\)의 원소인 스칼라들을 직사각형 형태로 나열한 이차원 배열을 말한다. 예를 들어, \(m\)개의 행(row)과 \(n\)개의 열(column)을 갖는 행렬 \(A\)는 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}. \]
여기서 각 \(a_{ij}\)는 \(i\)번째 행과 \(j\)번째 열이 교차하는 위치에 놓인 행렬의 성분(entry)이다. (‘성분’을 ‘원소’라고 표현하기도 한다.) \(m\)개의 행과 \(n\)개의 열을 가지고 있고 모든 성분이 \(\mathbb{F}\)에 속하는 행렬의 모임을 \(\mathrm{M}_{m\times n}(\mathbb{F})\) 또는 \(\mathrm{Mat}_{m\times n}(\mathbb{F})\)와 같이 표기한다.
두 행렬 \(A\)와 \(B\)가 있을 때, 두 행렬의 행의 개수가 같고, 두 행렬의 열의 개수가 같고, 대응되는 성분이 모두 일치하면, “\(A\)와 \(B\)가 같다”라고 표현하고 기호로 \(A=B\)와 같이 나타낸다.
간단히 말해, 행렬은 2차원 격자 형태로 수(또는 스칼라)를 정렬해 놓은 것이다. 행렬의 크기는 “\(m \times n\)”과 같이 행의 개수 \(m\)과 열의 개수 \(n\)로 결정된다. “행의 개수가 \(m\)이고 열의 개수가 \(n\)인 행렬”을 간단히 “\(m\times n\) 행렬”이라고 표현한다.
보기 1.
다음은 3×4 행렬의 한 예이다. 각 성분은 실수(real number)라고 가정한다.
\[ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 7 \\ 3 & 5 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}. \]
이 행렬 \(B\)는 3개의 행과 4개의 열을 갖는다. 예컨대, 2행 3열의 성분은 1이며, 3행 4열의 성분은 2이다. 보통 “\(b_{ij}\)”로 성분을 나타낼 때, \(b_{23} = 1\), \(b_{34} = 2\)라고 쓴다.
행렬을 표기할 때 소괄호 대신 대괄호를 사용해도 된다. 예를 들어, \[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \] 또는 \[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \] 와 같이 소괄호나 대괄호를 취향에 따라 사용할 수 있다. 수학적으로는 동일한 의미를 지닌다.
행렬을 바라보는 방법에는 몇 가지가 있다. 예를 들어, 행을 기준으로 보거나 열을 기준으로 볼 수 있으며, 이를 통해 행벡터(row vector), 열벡터(column vector)라는 개념이 생긴다. 연립일차방정식에서는 열벡터가 스팬(span)을 이루는가를 확인하거나, 행 연산을 통한 가우스 소거법을 적용하는 등 관점에 따라 다양하게 해석할 수 있다.
행렬 연산의 기본
행렬 연산은 행렬이라는 2차원 배열에 대해 정의되는 기본적인 연산으로, 선형대수학의 다양한 이론과 응용의 토대를 이룬다. 행렬 연산에는 주로 덧셈, 스칼라배, 그리고 곱셈이 포함되며, 이들 연산은 행렬의 각 성분에 대해 일정한 규칙에 따라 수행된다.
우선, 행렬 덧셈과 스칼라배는 동일한 크기의 행렬에 대해 성분별로 이루어진다. 반면, 행렬 곱셈은 두 행렬의 크기에 제약을 받으며, 한 행렬의 행(row)과 다른 행렬의 열(column) 사이의 내적(dot product)을 통해 계산된다.
정의 2. (행렬 덧셈과 스칼라배)
동일한 크기 \(m \times n\)의 두 행렬 \(A = (a_{ij})\)와 \(B = (b_{ij})\)에 대해, 행렬 덧셈은 다음과 같이 정의된다.
\[ (A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}. \] 여기서 좌변 \((A + B)_{ij}\)는 “행렬 \(A+B\)의 \(i\)행 \(j\)열 성분”을 나타낸다.
또한 임의의 스칼라 \(c\)에 대해, 스칼라배는
\[ (cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}, \]
로 정의된다.
정의 3. (행렬 곱셈)
\(A\)가 \(m \times n\) 행렬, \(B\)가 \(n \times p\) 행렬일 때, 행렬의 곱 \(AB\)는 \(m \times p\) 행렬로 정의되며, 그 \(ij\)-성분는
\[ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}. \]
로 계산된다.
위 두 정의에서 보다시피, 행렬을 정의할 때는 행렬의 크기(행의 개수와 열의 개수)와 각 위치의 성분을 정의하면 된다.
행렬 연산은 여러 가지 중요한 성질을 지닌다. 덧셈과 스칼라배에 대해서는 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙이 모두 성립하지만, 행렬 곱셈의 경우 일반적으로 결합법칙과 분배법칙은 성립하나, 교환법칙은 성립하지 않는다. 즉, \(AB\)와 \(BA\)는 대체로 서로 다르다.
보기 2.
두 2×2 행렬 \(A\)와 \(B\)가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}. \]
이때, 행렬 덧셈과 스칼라배는 아래와 같이 계산된다.
\[ A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}, \]
\[ 2A = \begin{pmatrix} 2\cdot1 & 2\cdot2 \\ 2\cdot3 & 2\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}. \]
또한, 행렬 곱셈의 경우 다음과 같이 계산된다.
\[ AB = \begin{pmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}. \]
보기 3.
행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는 이항연산의 좋은 예이다. 앞의 보기에서 살펴본 두 행렬 \(A\)와 \(B\)에 대해
\[ BA = \begin{pmatrix} 5\cdot1 + 6\cdot3 & 5\cdot2 + 6\cdot4 \\ 7\cdot1 + 8\cdot3 & 7\cdot2 + 8\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix} \]
이며, \(AB \neq BA\)임을 확인할 수 있다.
