\(\mathbb{R}\) 또는 \(\mathbb{C}\) 위에서 정의된 유한차원 벡터공간의 부분집합이 컴팩트이기 위한 필요충분조건은 유계이고 닫힌 집합인 것이다. 그러나 무한차원 공간에서는 이러한 필요충분조건이 성립하지 않는다. 이 글에서는 지금까지 사용했던 수렴보다 약한 수렴의 정의를 도입하고, 그와 같은 정의를 바탕으로 집합이 컴팩트이기 위한 조건에 관한 정리가 부분적으로 성립함을 살펴보고자 한다.
이 글에서 별다른 언급이 없는 한 \(X\)는 바나흐 공간을 나타낸다.
보조정리 1.
\(S = \{s_\alpha \,\vert\, \alpha \in A\}\)가 \(X\)의 점으로 이루어진 집합이고 \(\operatorname{Sp} S = X\)라고 하자. 만약 \(\{f_n\}\)이 \(X'\)의 유계 수열이고 모든 \(\alpha \in A\)에 대하여 \(\{f_n(s_\alpha)\}\)가 수렴하면, \(f \in X'\)가 존재하여, 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = f(x)\] 를 만족시킨다.
증명
\(x \in X\)를 임의로 택하자. \(\{f_n\}\)이 유계이므로 모든 \(n\)에 대하여 \(\lVert f_n \rVert \leq C\)인 \(C > 0\)가 존재한다. 이제 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대하여 \(\lVert x - s \rVert < \varepsilon/(3C)\)인 \(s \in \operatorname{Sp} S\)가 존재하며, 임의의 \(m, n \in \mathbb{N}\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} |f_n(x) - f_m(x)| &\leq |f_n(x) - f_n(s)| + |f_n(s) - f_m(s)| + |f_m(s) - f_m(x)| \\[6pt] & < \frac{2\varepsilon}{3} + |f_n(s) - f_m(s)| \end{aligned}\] \(s\)는 \(S\)의 원소들의 유한 일차결합이므로, 보조정리의 가정에 의하여 \(m,\) \(n\)이 충분히 크면 \(|f_n(s) - f_m(s)| < \varepsilon/3\)이다. 따라서 임의의 \(x \in X\)에 대하여 \(\{f_n(x)\}\)는 코시 수열이고, 수렴한다.
이제 \(x\in X\)에 대하여 \[f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)\]라고 정의하면 \(f \in X'\)이다.
이제 약수렴과 범약수렴을 정의하기 위해 동기가 되는 보조정리를 살펴보자.
\(X\)가 가분공간이고 \(\{s_k\}\)가 \(X\)에서 조밀한 수열이며, 임의의 \(k \geq 1\)에 대하여 \(s_k \neq 0\)이라고 하자. 그리고 함수 \(d_w : X' \times X' \rightarrow \mathbb{R}\)을 임의의 \(f,\,g\in X ' \)에 대하여 다음과 같이 정의하자. \[d_w(f, g) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} \frac{|f(s_k) - g(s_k)|}{\lVert s_k \rVert} .\] 이 함수는 잘 정의되어 있으며 \(X'\)에서의 거리함수이다.
보조정리 2.
\(\{f_n\}\)이 \(X'\)의 수열이고 \(f \in X'\)일 때, 다음 조건은 서로 동치이다.
- 임의의 \(n\)에 대하여 \(\lVert f_n \rVert \leq C\)를 만족시키는 \(C > 0\)이 존재하고, \(d_w(f_n, \, f) \rightarrow 0\)이다.
- 임의의 \(x \in X\)에 대하여 \(f_n(x) \rightarrow f(x)\)이다.
증명
(a)가 성립한다고 가정하자. 그러면 명백히 임의의 \(k \geq 1\)에 대하여 \(f_n(s_k) \rightarrow f(s_k)\)이다. 따라서 보조정리 1의 증명 과정에 의하여 임의의 \(x \in X\)에 대하여 \(f_n(x) \rightarrow f(x)\)이다.
역을 증명하기 위해 (b)가 성립한다고 가정하자. 그러면 \(\lVert f_n \rVert\)이 유계임은 쉽게 증명된다. 다음으로 증명을 단순하게 하기 위하여 \(f = 0\)이라고 가정하자. 그러면 임의의 \(x \in X\)에 대하여 \(f_n(x) \rightarrow 0\)이다. \(\varepsilon > 0\)이 임의로 주어졌다고 하자. 명백히 \[\sum_{k=K}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} \frac{|f(s_k)|}{\lVert s_k \rVert} < \frac{\varepsilon}{2}\]을 만족시키는 \(K \geq 1\)이 존재한다. 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(f_n(x) \rightarrow 0\)이므로, 자연수 \(N\)이 존재하여 \(n\ge N\)일 때마다 각 \(k = 1,\, \ldots, \,K\)에 대하여 \(|f_n(s_k)| < \varepsilon/K\)을 만족시킨다. 따라서 \(n \geq N\)이면 \(d_w(f_n, 0) < \varepsilon\)이다. 즉 \(d_w(f_n, 0) \rightarrow 0\)이다.
보조정리 2의 거리함수 \(d_w\)는 몇 가지 독특한 성질을 가지고 있다. 예를 들어, 이 함수는 조밀한 수열 \(\{s_n\}\)을 선택해야 정의할 수 있으며, \(\{s_n\}\)이 무엇인지에 따라 \(d_w\)의 값을 계산하기 어려울 수도 있다. 또한 \(d_w\)를 정의하기 위해서는 \(X\)가 가분공간이어야 한다. 반면에 위 보조정리의 (b) 부분에서 수렴 조건은 훨씬 단순하며, 가분성이라는 가정이 필요하지 않다. 따라서 다음과 같은 정의를 도입한다.
정의 3. (약수렴과 범약수렴)
\(X\)가 바나흐 공간이고 \(\{x_n\} ,\) \(\{f_n\}\)이 각각 \(X\)와 \(X'\)의 수열이라고 하자.
- \(\{x_n\}\)이 \(x \in X\)로 약수렴(weak-convergence)한다는 것은 임의의 \(f \in X'\)에 대하여 \[\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = f(x)\]가 성립함을 의미한다.
- \(\{f_n\}\)이 \(f \in X'\)로 범약수렴(weak*-convergence)한다는 것은 임의의 \(x \in X\)에 대하여 \[\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = f(x)\]가 성립함을 의미한다.
약수렴과 범약수렴을 각각 기호로 다음과 같이 나타낸다. \[x_n \rightharpoonup x ,\quad f_n \overset{*}{\rightharpoonup} f .\]
\(X\)가 가분공간일 때, 보조정리 2는 \(X ' \)에서 노름이 유계인 수열 \(\left\{ f_n \right\}\)에 대하여, 거리함수 \(d_w\)에 관한 수렴은 범약수렴과 동치임을 의미한다. 사실 보조정리 2의 조건 (a)에서 노름이 유계라는 가정은 완화될 수 없다. 그러므로 \(X\)가 가분공간일 때 \(d_w\)에 관한 수렴과 범약수렴 사이에 완전한 동치성은 없다. 더 일반적으로, \(X\)나 \(X'\)이 가분공간이라는 가정 없이, 약수렴과 범약수렴은 거리함수로 정의될 수 없다. 그러나 약수렴과 범약수렴은 범약위상에 관한 수렴으로 기술될 수 있다. 이 글에서 이와 관련된 더 깊은 내용을 살펴보지는 않을 것이다. 하지만 이 글에서 살펴볼 컴팩트성 정리만으로도 약수렴 및 범약수렴과 관련된 다양한 이론에 응용할 수 있다.
지금부터는 정의 3을 약수렴의 정의로 간주하고, 거리함수 \(d_w\)에 관한 개념은 별다른 언급이 없는 한 더 이상 사용하지 않기로 한다. 특히 “유계”라는 표현은 노름에 관한 유계를 나타내는 것으로 약속하자. 또한 명시하지 않는 한 \(X\)나 \(X ' \)은 가분공간일 필요가 없다.
우리는 제 2 쌍대공간 \(X ' ' \)을 정의하였으므로, \(X''\)에서의 함수를 사용하면 \(X'\)에서도 약수렴의 개념을 사용할 수 있다. 그러나 범약수렴이 본래의 공간 \(X\)에 의존하므로 \(X'\)에서의 약수렴보다 범약수렴을 다루는 것이 일반적으로 더 쉽다. \(X\)가 반사적이면 약수렴과 범약수렴이 일치한다. 하지만 일반적으로 \(X'\)에서의 약수렴이 범약수렴을 함의하고, 그 역은 성립하지 않는다.
임의의 힐베르트 공간 \(\mathcal{H}\)가 반사적이며, Riesz-Frechet 정리에 의하여 \(\mathcal{H}\)는 그 쌍대공간 \(\mathcal{H}'\)와 동일시될 수 있다. 그러므로 \(\mathcal{H}\)에서 약수렴과 범약수렴은 일치한다. 실제로 다음 보기는 힐베르트 공간에서의 약수렴의 조건을 제공하며, 노름에 관해 수렴하지 않지만 약수렴하는 수열의 예를 제시한다
보기 4.
\(\mathcal{H}\)를 힐베르트 공간이라고 하자.
- \(x_n \rightharpoonup x\)이면 \(y \in H\)에 대하여 \(\langle x_n, \, y \rangle \rightarrow \langle x, \, y \rangle\)이다.
- \(\mathcal{H}\)가 무한차원이고 \(\{e_n\}\)이 \(H\)에서 정규직교수열이면 \(e_n \rightharpoonup 0\)이다.
이제 약수렴과 범약수렴의 몇 가지 기본 성질을 살펴보자. 거리함수에 바탕을 두지 않는 수렴을 사용하는 것의 단점 중 하나는 거리공간에서 성립한다고 증명한 결과를 다시 증명해야 한다는 것이다. 예를 들어, 약수렴과 범약수렴 극한이 유일함을 증명해야 한다.
보조정리 5.
- 약수렴하는 수열과 범약수렴하는 수열의 극한은 유일하다.
- 약수렴하는 수열과 범약수렴하는 수열은 유계이다.
- \(x_n \rightarrow x\)이면 \(x_n \rightharpoonup x\)이다. 또한 \(f_n \rightarrow f\)이면 \(f_n \overset{*}{\rightharpoonup} f\)이다. 특히 \(X\)가 유한차원일 때, 이들 각각은 서로 필요충분조건이다.
- \(M \subset X\)가 볼록한 닫힌 집합이라고 하자. 만약 \(\{x_n\}\)이 \(M\)에서의 수열이고 \(x_n \rightharpoonup x\)이면 \(x \in M\)이다.
증명
약수렴에 대한 증명만 살펴보자.
- \(x_n \rightharpoonup x\)이고 \(x_n \rightharpoonup y\)라고 가정하자. 그러면 \(f \in X'\)가 존재하여 \[f(x - y) = \lVert x - y \rVert\]를 만족시킨다. 그러나 약수렴의 정의에 의하여 \[\lVert x - y \rVert = f(x) - f(y) = \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) - \lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = 0\] 이다. 그러므로 유일성이 성립한다.
- \(\left\{ x_a \,\vert\, a\in A \right\}\)가 \(X\)의 부분집합이라고 하자. 그리고 \[\operatorname{sup} \left\{ \lvert f(x_a ) \rvert \,\vert\, a\in A \right\} < \infty\] 라고 하자. 그러면 균등유계 원리에 의하여, 임의의 \(f\in X '\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\operatorname{sup} \left\{ \lVert x_a \rVert \,\vert\, a\in A \right\} < \infty .\] 이 사실을 증명하자. 각 \(a\in A\)에 대하여, \(J_X (x_a ) \in X ' '\)이면 \(J_X ( x_a ) (f) = f(x_a )\)이다. 그러므로 \(\lVert J_X (x_a ) \rVert = \lVert x_a \rVert\)이며, 각 \( f\in X ' \)에 대하여 \[\operatorname{sup} \left\{ \lvert J_X (x_a ) (f) \rvert \,\vert\, a\in A \right\} < \infty\] 이다. \(X ' ' \)이 바나흐 공간이므로, 균등유계 원리에 의하여 \[\operatorname{sup} \left\{ \lVert x_a \rVert \,\vert\, a\in A \right\} = \operatorname{sup} \left\{ \lVert J_X (x_a ) \rVert \,\vert\, a\in A \right\} < \infty \] 이다.
- \(x_n \rightarrow x\)이고, \(f \in X'\)가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[|f(x_n) - f(x)| \leq \lVert f \rVert \lVert x - x_n \rVert \rightarrow 0 .\] 이제 \(X\)가 유한차원이고 \(x_n \rightharpoonup x\)이지만 \(x_n \rightarrow x\)가 아니라고 가정하자. (b)에 의하여 수열 \(\{x_n\}\)이 유계이므로, 컴팩트성에 의하여 \(x_n\)의 부분수열이 존재하여 \(x_n \rightarrow y \neq x\)를 만족시킨다. (부분수열을 본래의 수열과 같이 나타냈다.) 그러나 이는 (a)에 모순이다.
- \(x \not\in M\)이라고 가정하자. 분리 정리에서 \(A = \{x\}\)와 \(B = M\)으로 두면 \(x_n \rightharpoonup x\)라는 가정에 모순이다.
보기 4와 보조정리 5의 (c)를 결합하면 무한차원에서 약수렴이 \(X\)의 노름에 관한 일반적인 수렴보다 약하다는 것을 알 수 있다. 즉, 수렴은 약수렴을 함의하지만 그 역은 성립하지 않을 수 있다. 또한, 보기 4의 정규직교수열 \(\{e_n\}\)은 \(\mathcal{H}\)의 단위 구면에 있고(닫혀 있지만 볼록하지 않다), 약수렴 극한은 그 안에 있지 않다. 즉, 닫힌 집합 \(M\)에서 약수렴하는 수열의 약수렴 극한이 \(M\)에 속할 필요는 없으며, \(M\)이 볼록하지 않은 경우 보조정리 5의 (d)가 성립하지 않을 수 있다. 또한 볼록성과 약수렴 극한 사이의 관계는 본질적으로 분리 정리에서 볼록성 가정에 의하여 나타난다.
이제 약수렴과 범약수렴의 개념을 도입하는 또 다른 이유를 설명하는 정리를 살펴보자.
정리 6. (범약 점열컴팩트성)
\(X\)가 가분공간이고 \(\{f_n\}\)이 \(X'\)에서 유계인 수열이면, \(\{f_n\}\)은 범약수렴하는 부분수열을 가진다.
증명
\(X\)에서 조밀한 수열 \(\{s_k\}\)를 택하자. \(\{f_n(s_1)\}\)은 \(\mathbb{F}\)에서 유계인 수열이므로, 수렴하는 부분수열 \(\{f_{n_1(m)}(s_1)\}\)이 존재한다. (여기서 \(m\)은 수열의 첨자를 나타낸다.) 마찬가지로, 수열 \(\{f_{n_1(m)}(s_2)\}\)는 수렴하는 부분수열 \(\{f_{n_2(m)}(s_2)\}\)를 가진다. 이 과정을 반복하면 대각선 부분수열 \(\{f_{n_m(m)}\}\)은 \(X'\)에서 유계이고, 임의의 \(k \in \mathbb{N}\)에 대하여 \(\{f_{n_m(m)}(s_k)\}\)가 수렴하므로, 보조정리 1에 의하여 \(\{f_{n_m(m)}\}\)은 범약수렴한다.
따름정리 7.
\(X\)가 가분공간이고 \(B = \{f \in X' \,\vert\, \lVert f \rVert \leq 1\}\)이라고 하자. 그러면 \(B\)의 임의의 수열은 \(B\)의 원소로 범약수렴하는 부분수열을 가진다. 또한, 이것은 \(B\)가 거리함수 \(d_w\)에 관해 컴팩트라는 조건과 필요충분조건이다. (\(X\)가 가분공간이므로 \(d_w\)가 존재한다.)
증명
\(B\)에서의 수열 \(\{f_n\}\)을 생각하자. 정리 6에 의하여 \(f \in X'\)가 존재하여 \(f_n \overset{*}{\rightharpoonup} f\)를 만족시킨다. 그러면 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[|f(x)| = \lim_{n\rightarrow\infty} |f_n(x)| \leq \lVert x \rVert\] 이므로 \(f \in B\)이다. 또한 보조정리 2에 의하여 \(d_w(f_n, f) \rightarrow 0\)이다.
정리 8. (반사적 공간에서의 약점열컴팩트성)
\(X\)가 반사적이고 \(\{x_n\}\)이 \(X\)에서 유계인 수열이면, \(\{x_n\}\)은 약수렴하는 부분수열을 가진다.
증명
\(Y = \operatorname{Sp}\{x_1, \,x_2, \,\ldots\}\)라고 하자. 그러면 \(Y\)는 가분공간이고 반사적이다. 따라서 \(Y''\)는 가분공간이고, \(Y'\)도 가분공간이다.
\(\{J_Y x_n\}\)이 \(Y'\)에서 유계인 수열이므로, 정리 6에 의하여 (필요하다면 부분수열을 취함으로써) \(\{J_Y x_n\}\)이 적당한 \(J_Y y\)로 범약수렴한다고 가정할 수 있다. (\(Y\)가 반사적이기 때문이다.) 이제 임의의 \(f \in X'\)에 대하여 \(f\)의 정의역을 \(Y\)로 제한한 함수는 \(Y'\)의 원소인 함수 \(f_Y\)이고, 따라서 \(J_Y\)의 정의와 \(Y\)에서의 범약수렴에 의하여, 임의의 \(f\in X ' \)에 대하여 \[\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = \lim_{n\rightarrow\infty} J_Y x_n(f_Y) = J_Y y(f_Y) = f(y)\] 이다. 그러므로 \(x_n \rightharpoonup y\)이다.
따름정리 9.
\(X\)가 반사적이고 \(M \subset X\)가 유계이고 볼록한 닫힌 집합이면, \(M\)의 임의의 수열은 \(M\)의 원소로 약수렴하는 부분수열을 가진다.
증명
\(\{x_n\}\)이 \(M\)에서의 수열이라고 하자. 정리 8에 의하여 \(X\)에 점 \(x\)가 존재하여 \(x_n \rightharpoonup x\)가 성립한다. (경우에 따라서 부분수열을 취함으로써 그와 같은 점 \(x\)를 얻을 수 있다.) \(M\)이 볼록하고 닫힌 집합이므로, 보조정리 5의 (d)에 의하여 \(x \in M\)이다.
정리 6과 8은 선형 함수해석학과 비선형 함수해석학 모두의 다양한 분야에서 활용된다.
보기 10.
\(X\)가 반사적이고 \(M\)이 \(X\)의 부분집합이며, \(M\)이 닫힌 볼록한 집합이라고 하자. 또한 \(y\in X \setminus M\)이라고 하자. 그러면 점 \(y_M \in M\)이 존재하여 다음을 만족시킨다. \[\lVert y - y_M \rVert = \operatorname{inf} \left\{ \lVert y-x \rVert \,\vert\, x\in M \right\} .\] 만약 \(M\)이 볼록하다는 조건이 빠지면, 이 결과가 성립하지 않을 수 있다.
풀이
\(m = \operatorname{inf} \left\{ \lVert y-x \rVert \,\vert\, x\in M \right\}\)이라고 하자. 그리고 \(\lVert y-x_n \rVert \rightarrow m\)인 \(M\)의 수열 \(\left\{ x_n \right\}\)을 택하자. \(\left\{ x_n \right\}\)이 유계이므로 적당한 \(y_M \in M\)에 약수렴하는 부분수열을 가진다. 일반성을 잃지 않고, 그러한 부분수열도 본래의 수열과 마찬가지로 \(\left\{ x_n \right\}\)이라고 나타내자. 이때 \[\lVert y-y_M \rVert \le \lim_{n\rightarrow\infty} \lVert y-x_n \rVert = m \le \lVert y-y_M \rVert\] 이므로, 보기의 등식을 얻는다.
다음으로 \(\mathcal{H}\)가 무한차원 힐베르트 공간이라고 하고, \(\left\{ e_n \right\}\)이 \(\mathcal{H}\)의 정규직교수열이라고 하자. \(y=0\)이라고 하고, \[M = \left\{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) e_n \,\Bigg\vert\, n\in\mathbb{N} \right\}\] 이라고 하자. 그러면 \(M\)은 유계이고 닫힌 집합이며, \(m=1\)이다.
그러나 \(M\)의 원소 중 노름이 \(1\)인 것이 존재하지 않는다.