\(X\)가 \(\mathbb{F}\) 위에서 정의된 벡터공간이고 \(W\)가 \(X\)의 부분공간이라고 하자. \(W\) 위에서 정의된 선형범함수 \(f_W : W \rightarrow \mathbb{F}\)를 다루다 보면 종종 이 함수의 정의역을 \(X\) 전체로 확장해야 하는 경우가 있다.
정의 1. (선형범함수의 확장)
\(X\)가 벡터공간이고 \(W\)가 \(X\)의 부분벡터공간이며 \(f_W\)가 \(W\) 위에서 정의된 선형범함수라고 하자. 만약 \(f_X\)가 \(X\)에서의 선형범함수이고, 모든 \(w \in W\)에 대해 \(f_X(w) = f_W(w)\)를 만족시키면, \(f_X\)를 \(f_W\)의 확장함수라고 부른다.
일반적으로 범함수의 “크기”를 증가시키지 않는 확장함수를 구성할 수 있다면 매우 유용할 것이다. 즉 \(X\)가 노름공간이고 \(f_W\)가 유계인 경우, 확장함수 \(f_X\)도 유계이고 \(\lVert f_W \rVert = \lVert f_X \rVert\)이면 유용할 것이다. 이러한 확장 과정의 두 가지 간단한 예는 다음과 같다.
- \(\overline{W} = X\)이고 \(f_W \in W'\)이면, \(f_W\)를 연속성을 유지한 채로 \(X\) 위로 확장할 수 있다.
- \(M\)이 힐베르트 공간 \(\mathcal{H}\)의 닫힌 부분벡터공간이고 \(f_M \in M'\)이면, \(f_M\)을 \(\mathcal{H}\)로 확장할 수 있다.
각각의 경우에서 확장된 범함수는 원래 범함수와 동일한 노름을 가진다. 확장함수가 연속이 아닐 수도 있다는 점을 고려하면, 이 같이 원래 범함수와 동일한 노름을 갖는 확장함수를 구하는 것은 대단히 중요한 일이다. 이제 범함수의 “크기”를 설명하기 위해 몇 가지 개념을 도입한다.
정의 2. (부분선형범함수)
\(X\)를 실벡터공간이라고 하자. 만약 함수 \(p : X \rightarrow \mathbb{R}\)가 다음 두 조건을 모두 만족시키면, \(p\)를 부분선형범함수라고 부른다.
- 임의의 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \(p(x + y) \leq p(x) + p(y)\)이다.
- 임의의 \(x\in X\)와 \(\alpha \ge 0\)에 대하여 \(p(\alpha x) = \alpha p(x)\)이다.
보기 3. (부분선형범함수의 예)
다음은 부분선형함수의 몇 가지 예이다.
- \(f\)가 \(X\)에서의 선형범함수라면 그것은 부분선형이다.
- \(f\)가 \(X\)에서 \(0\)이 아닌 선형범함수라면, 범함수 \(p(x) = |f(x)|\)는 선형이 아니지만 부분선형이다.
- \(X\)가 노름공간이면 \(p(x) = \lVert x \rVert\)는 부분선형이다.
- \(X = \mathbb{R}^2\)이고 \(p(x_1,\,x_2) = |x_1| + x_2\)라고 정의하자. 그러면 \(p\)는 부분선형이다.
\(p\)가 \(X\) 위에서 정의된 부분선형범함수라면 \(p(0) = 0\)이고, 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(-p(-x) \leq p(x)\)이며, 임의의 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \[-p(y - x) \leq p(x) - p(y) \leq p(x - y)\] 이다. 모든 \(x \in X\)에 대해 \(p(x) \geq 0\)일 필요는 없다. 하지만 만약 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(p(-x) = p(x)\)가 성립한다면 \(p(x) \geq 0\)이므로, 위 부등식은 다음과 같이 된다. \[|p(x) - p(y)| \leq p(x - y) .\]
복소벡터공간의 경우, 부분선형범함수를 유용하게 사용하기 위해서는 추가적인 조건이 필요하다.
정의 4. (반노름)
\(X\)가 실벡터공간이거나 복소벡터공간이라고 하자. \(X\)에서의 반노름은 다음 조건을 만족하는 실수값 함수 \(p : X \rightarrow \mathbb{R}\)을 뜻한다.
- 임의의 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \(p(x + y) \leq p(x) + p(y)\)이다.
- 임의의 \(x\in X\)와 \(\alpha\in\mathbb{F}\)에 대하여 \(p(\alpha x) = |\alpha|p(x)\)이다.
정의 2와 4를 비교하면, 반노름과 부분선형범함수의 차이는 성질 (b)에 있다. 또한 \(p\)가 반노름이면, \[p(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0\] 을 만족시켜야만 노름이 된다. \(X\)가 실벡터공간인 경우 반노름 \(p\)는 부분선형범함수이지만, 그 역은 성립하지 않을 수 있다.
보기 5. (복소벡터공간에서 반노름이 되지 않는 예)
보기 3의 (b)와 (c)는 복소벡터공간에서도 반노름이다. 보기 3의 (a)와 (d)는 반노름이 아니다. (단, (a)에서 \(f\)가 \(0\)이 아니라고 가정하였다.)
\(p\)가 \(X\)에서의 반노름이라면 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[p(0) = 0, \quad p(-x) = p(x), \quad p(x) \geq 0\] 이고, 임의의 \(x,\,y\in X\)에 대하여 \[|p(x) - p(y)| \leq p(x - y)\] 이다. 이러한 성질들은 부분선형범함수에 대해서는 성립하지 않을 수 있다.
이제 선형범함수를 확장하는 과정을 살펴보자. 확장 과정은 실벡터공간과 복소벡터공간의 경우에서 약간 다르다. 먼저 실벡터공간의 경우에 대한 일반적인 결과를 기술한다. 이 정리의 증명은 별도의 글에서 살펴보겠다.
정리 6. (한-바나흐 정리)
\(X\)가 실벡터공간이고, \(X\)에 정의된 부분선형범함수 \(p\)가 있다고 하자. \(W\)가 \(X\)의 부분벡터공간이고 \(f_W\)가 \(W\)에서의 선형범함수로서 임의의 \(w\in W\)에 대하여 다음을 만족시킨다고 가정하자. \[f_W(w) \leq p(w) .\tag{1}\] 그러면 \(f_W\)는 \(X\)에서의 확장함수 \(f_X\)를 가지며, 임의의 \(x\in X\)에 대하여 다음을 만족시킨다. \[f_X(x) \leq p(x) .\tag{2}\]
보기 7. (한-바나흐 정리의 따름정리)
위 정리의 (2)에 의하여, 임의의 \(x\in X\)에 대하여 다음이 성립함을 알 수 있다. \[-p(-x) \leq -f_X(-x) = f_X(x) \leq p(x). \tag{3}\]
이제 정리 6에서 다룬 실벡터공간의 경우로부터 복벡터공간의 경우에 대한 한-바나흐 정리 형태를 끌어내자. 이를 위해 먼저 임의의 복소벡터공간 \(V\)는 스칼라 곱셈을 실수로 제한함으로써 실벡터공간으로 간주될 수 있음을 상기하자. 이 같은 실벡터공간을 \(V_R\)이라고 나타낼 것이다. 여기서 \(V\)와 \(V_R\)의 원소가 동일하다는 점을 염두에 두어야 한다. 두 공간의 차이는 단순히 \(V_R\)에서는 실수로만 곱셈을 허용한다는 것이다. 또한, \(V\)가 노름공간이면 \(V_R\)도 \(V\)와 동일한 노름을 갖는 노름공간이 된다는 사실을 기억하자.
보조정리 8.
\(g\)가 \(V\)에서의 선형범함수이면, 임의으 \(v\in V\)에 대하여 \[g(v) = g_R(v) - ig_R(iv)\tag{4}\] 를 만족시키는 유일한 실선형범함수 \(g_R\)이 \(V_R\)에 존재한다.
역으로, \(g_R\)이 \(V_R\)에서의 실수값 선형범함수이고 \(g\)가 (4)와 같이 정의되면, \(g\)는 \(V\)에서의 복소선형범함수이다.
또한 \(V\)가 노름공간이면 \(g \in V'\)이기 위한 필요충분조건은 \(g_R \in V_R'\)이고, 이 경우 \(\lVert g \rVert = \lVert g_R \rVert\)이다.
증명
임의의 \(v \in V\)에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다. \[g(v) = g_R(v) + ig_I(v).\] 여기서 \(g_R(v) ,\) \(g_I(v)\)는 실숫값 함수이다. \(g_R ,\) \(g_I\)가 \(V_R\)에서 실선형범함수임을 쉽게 확인할 수 있다. 또한, 임의의 \(v \in V\)에 대해 \[g(iv) = g_R(iv) + ig_I(iv) = ig(v) = ig_R(v) - g_I(v)\] 이다. 따라서 \(g_R(iv) = -g_I(v)\)이고, 이에 따라 (4)가 성립한다. 역은 쉽게 증명된다.
보조정리 8을 통해 실선형변환의 확장함수로부터 복소선형변환의 확장함수를 구성할 수 있다.
보조정리 9.
\(X\)를 복소벡터공간이라고 하고 \(p\)를 \(X\)에서의 반노름이라고 하자. \(W\)가 \(X\)의 부분벡터공간이고 \(f_W\)가 \(W\)에서의 선형범함수로서 임의의 \(w\in W\)에 대하여 \[|f_W(w)| \leq p(w)\] 를 만족시킨다고 가정하자. 보조정리 8을 \(f_W\)에 적용하여 얻은 실선형범함수 \(f_{W,R}\)이 \(X_R\)에서의 확장함수 \(f_{X,R}\)을 가지고, 이 확장함수가 임의의 \(x\in X_R\)에 대하여 \[|f_{X,R}(x)| \leq p(x)\] 를 만족시킨다고 가정하자. 그러면 \(f_W\)는 \(X\)에서의 확장함수 \(f_X\)를 가지며, 임의의 \(x\in X\)에 대하여 다음을 만족시킨다. \[|f_X(x)| \leq p(x), \quad x \in X. \tag{5}\]
증명
보조정리 8에 의해 \(X\)에서 대응되는 복소선형범함수 \(f_X\)가 존재하며, 이는 명확히 \(f_W\)의 확장함수이다. \(f_X\)가 (5)를 만족시킴을 보이기 위해, \(x \in X\)이고 \(f_X(x) \neq 0\)이라고 가정하고, \(|f_X(x)| = \alpha f_X(x)\)를 만족하는 \(\alpha \in \mathbb{C}\)를 선택하자. 그러면 \(|\alpha| = 1\)이고, \(p\)가 반노름이므로 \[|f_X(x)| = f_X(\alpha x) = f_{X,R}(\alpha x) \leq p(\alpha x) = p(x)\] 이다.
정리 6과 보조정리 8을 결합하면 실벡터공간에서의 한-바나흐 정리를 일반화한 다음 결과를 얻는다.
정리 10. (한-바나흐 정리)
\(X\)가 실벡터공간 또는 복소벡터공간이라고 하고 \(p\)를 \(X\)에서의 반노름이라고 하자. \(W\)가 \(X\)의 부분벡터공간이고 \(f_W\)가 \(W\)에서의 선형범함수로서 임의의 \(w\in W\)에 대하여 \[|f_W(w)| \leq p(w)\] 를 만족시킨다고 하자. 그러면 \(f_W\)는 \(X\)에서의 확장함수 \(f_X\)를 가지며, 임의의 \(x\in X\)에 대하여 다음을 만족시킨다. \[|f_X(x)| \leq p(x) .\]
증명
\(X\)가 실노름공간이라면 정리 6과 \(p\)가 반노름이라는 사실로부터 바라는 결과를 얻는다. 따라서 \(X\)가 복소노름공간이라고 가정하자. 보조정리 8을 \(f_W\)에 적용하여 얻은 실선형범함수를 \(f_{W,R}\)이라고 하자. (4)에 의하여 임의의 \(w\in W\)에 대하여 \[f_{W,R}(w) \leq |f_{W,R}(w)| \leq |f_W(w)| \leq p(w)\] 이다. 따라서 정리 6에 의하여 \(f_{W,R}\)은 다음을 만족하는 \(X_R\)에서의 확장함수 \(f_{X,R}\)을 가진다. \[|f_{X,R}(x)| \leq p(x), \quad x \in X_R.\] 그러므로 보조정리 9에 의하여 바라는 결과를 얻는다.