연산자의 스펙트럼

풀이

\(\tau \in \mathbb{C}\)이면, \(\tau I\)가 가역이 아닌 것은 \(\tau = 0\)일 때 뿐이다. 그러므로 \(\sigma ( \mu I )\)를 구하면 다음과 같다. \[\begin{aligned} \sigma(\mu I) &= \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, \mu I - \lambda I\text{ is not invertible.}\} \\[6pt] &= \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, (\mu - \lambda)I\text{ is not invertible.}\} \\[6pt] &= \{\mu\}. \end{aligned}\]

증명

\(Tx = \lambda x\)를 만족시키는 영벡터가 아닌 벡터 \(x \in \mathcal{H}\)가 존재하므로, \(x \in \operatorname{Ker}(T - \lambda I)\)이다. 따라서 \(T - \lambda I\)는 가역이 아니다.

풀이

\(\lambda\)가 \(S\)의 고윳값이라고 가정하고, \(\lambda\)에 대응하고 영벡터가 아닌 벡터를 \(x = \{x_n\}\)이라고 하자. 그러면 \[(0,\, x_1,\, x_2,\, x_3,\, \ldots) = (\lambda x_1,\, \lambda x_2,\, \lambda x_3,\, \ldots)\] 이다.

만약 \(\lambda = 0\)이면, 이 방정식의 우변은 영벡터이므로 \[0 = x_1 = x_2 = x_3 = \ldots = 0\]이며, 이는 \(x = 0\)이라는 사실에 모순이다. 만약 \(\lambda \neq 0\)이면, \(\lambda x_1 = 0\)이므로 \(x_1 = 0\)이다. 그러므로 \(\lambda x_2 = x_1 = 0\)에서 \(x_2 = 0\)이다. 이와 같이 계속하면, 다시 \[x_1 = x_2 = x_3 = \ldots = 0\]이라는 결과를 얻는데, 이는 모순이다. 따라서 \(S\)는 고윳값을 갖지 않는다.

증명

1. 만약 \(|\lambda| > \lVert T \rVert\)이면 \(\lVert \lambda^{-1}T \rVert < 1\)이므로 \(I - \lambda^{-1}T\)가 가역이다. 따라서 \(\lambda I - T\)는 가역이고 \(\lambda \notin \sigma(T)\)이다.
2. \(F: \mathbb{C} \rightarrow B(\mathcal{H})\)를 \(F(\lambda) = \lambda I - T\)라고 정의하자. 그러면 \[\lVert F(\mu) - F(\lambda) \rVert = \lVert \mu I - T - (\lambda I - T) \rVert = |\mu - \lambda|\] 이므로, \(F\)는 연속이다. 가역인 원소의 모임이 열린 집합이므로, 비가역인 원소의 모임은 닫힌 집합이다. 비가역인 원소의 모임을 \(\mathcal{C}\)라고 하면 \[\sigma(T) = \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, F(\lambda) \in \mathcal{C}\}\] 이므로, \(\sigma(T)\)는 닫힌 집합이다.

증명

만약 \(\lambda \notin \sigma(T)\)이면 \(T - \lambda I\)는 가역이고 따라서 \[(T - \lambda I)^* = T^* - \overline{\lambda}I\]는 가역이다. 그러므로 \(\overline{\lambda} \notin \sigma(T^*)\)이다. \(T^*\) 대신 \(T\)를 사용하여 같은 논증을 적용하면, \(\overline{\lambda} \notin \sigma(T^*)\)일 때 \(\lambda \notin \sigma(T)\)를 얻는다. 따라서 \[\sigma(T^*) = \{\overline{\lambda} \,\vert\, \lambda \in \sigma(T)\}\]이다.

풀이

1. \(\lambda \in \mathbb{C}\)이고 \(|\lambda| < 1\)이라고 하자. \[S^*(\{x_n\}) = \lambda\{x_n\}\]을 만족시키고 영벡터가 아닌 벡터 \(\{x_n\} \in \ell^2\)를 찾아야 한다. \[S^*(x_1, x_2, x_3, \ldots) = (x_2, x_3, x_4, \ldots)\] 이므로 \[(x_2,\, x_3,\, x_4,\, \ldots) = (\lambda x_1,\, \lambda x_2,\, \lambda x_3,\, \ldots)\] 이다. 즉 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(x_{n+1} = \lambda x_n\)을 만족시키고 영벡터가 아닌 \(\{x_n\} \in \ell^2\)를 찾아야 한다.
   이 방정식의 한 해는 \(\{x_n\} = \{\lambda^{n-1}\}\)이며 이는 영벡터가 아니다. 더욱이 \(|\lambda| < 1\)이므로 \[\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2 = \sum_{n=0}^{\infty}|\lambda|^{2n} < \infty\] 이고, 따라서 \(\{x_n\} \in \ell^2\)이다. 그러므로 \(S^*(\{x_n\}) = \lambda\{x_n\}\)이고, \(\lambda\)는 고유벡터 \(\{x_n\}\)를 가진 \(S^*\)의 고윳값이다.
2. (a)와 보조정리 3에 의해 \[\{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| < 1\} \subseteq \sigma(S^*)\] 이다. 그러므로 보조정리 6에 의해 \[\{\overline{\lambda} \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| < 1\} \subseteq \sigma(S)\] 이다. 그러나 복소평면 위에서의 평면도형의 성질에 의하여 \[\{\overline{\lambda} \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| < 1\} = \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| < 1\}\] 이므로 \[\{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| < 1\} \subseteq \sigma(S)\] 이다. 정리 5에 의하여 \(\sigma(S)\)가 닫힌 집합이므로 \[\{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| \leq 1\} \subseteq \sigma(S)\] 이다. 한편, 만약 \(|\lambda| > 1\)이면 \(\lVert S \rVert = 1\)이므로 정리 5에 의해 \(\lambda \notin \sigma(S)\)이다. 따라서 \[\sigma(S) = \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| \leq 1\}\]이다.

증명

1. \(\lambda \in \mathbb{C}\)이고 \(q(z) = \lambda - p(z)\)라고 하자. 그러면 \(q\)도 다항식이므로 \[q(z) = c(z - \mu_1)(z - \mu_2)\ldots(z - \mu_n)\] 형태로 인수분해할 수 있다. 여기서 \(c,\, \mu_1,\, \mu_2,\, \ldots,\, \mu_n \in \mathbb{C}\)이고 \(c \neq 0\)이다. 그러므로 다음과 같은 필요충분조건을 얻는다. \[\begin{aligned} \lambda \notin \sigma(p(T)) \,\,\, &\Leftrightarrow \quad \lambda I - p(T)\text{ is invertible.} \\[6pt] &\Leftrightarrow \quad q(T)\text{ is invertible.} \\[6pt] &\Leftrightarrow \quad c(T - \mu_1 I)(T - \mu_2 I)\ldots(T - \mu_n I)\text{ is invertible.} \\[6pt] &\Leftrightarrow \quad (T - \mu_j I)\text{ is invertible for all } 1 \leq j \leq n . \\[6pt] &\Leftrightarrow \quad \text{no zero of } q \text{ is in }\sigma(T). \\[6pt] &\Leftrightarrow \quad q(\mu) \neq 0 \text{ for all } \mu \in \sigma(T) .\\[6pt] &\Leftrightarrow \quad \lambda \neq p(\mu) \text{ for all } \mu \in \sigma(T) . \end{aligned}\] 따라서 \(\sigma(p(T)) = \{p(\mu) \,\vert\, \mu \in \sigma(T)\}\)이다.
2. \(T\)가 가역이므로, \(0 \notin \sigma(T)\)이다. 따라서 \(\sigma(T^{-1})\)의 모든 원소는 적당한 \(\mu \in \mathbb{C}\)에 대하여 \(\mu^{-1}\)로 쓸 수 있다. 또한 \[\mu^{-1}I - T^{-1} = -T^{-1}\mu^{-1}(\mu I - T)\] 이고 \(-T^{-1}\mu^{-1}\)가 가역이므로, 다음과 같은 필요충분조건을 얻는다. \[\begin{aligned} \mu^{-1} \in \sigma(T^{-1}) \,\,\,&\Leftrightarrow\quad \mu^{-1}I - T^{-1}\text{ is not invertible.} \\[6pt] &\Leftrightarrow\quad -T^{-1}\mu^{-1}(\mu I - T)\text{ is not invertible.} \\[6pt] &\Leftrightarrow\quad \mu I - T\text{ is not invertible.} \\[6pt] &\Leftrightarrow\quad \mu \in \sigma(T) . \end{aligned}\] 따라서 \(\sigma(T^{-1}) = \{\mu^{-1} \,\vert\, \mu \in \sigma(T)\}\)이다.

증명

\(U\)가 유니타리연산자이므로 \(\lVert U \rVert = 1\)이고, 정리 5에 의해 \[\sigma(U) \subseteq \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| \leq 1\}\]이다. 또한, \(U^*\)도 유니타리연산자이므로 \[\sigma(U^*) \subseteq \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| \leq 1\}\]이다. 그런데 \(U^* = U^{-1}\)이므로 정리 8에 의해 \[\sigma(U) = \{\lambda^{-1} \,\vert\, \lambda \in \sigma(U^*)\} \subseteq \{\lambda \in \mathbb{C} \,\vert\, |\lambda| \geq 1\}\] 이다.

증명

\(\lambda \in \sigma(T)\)라고 하자. \(T-\lambda I\)가 정규연산자이므로, \[\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert(T - \lambda I)x_n\rVert = 0\] 을 만족시키고 \(\lVert x_n \rVert = 1\)도 만족시키는 \(\mathcal{H}\)에서의 수열 \(\{x_n\}\)이 존재한다. 그러므로 코시-슈바르츠 부등식에 의해 \[\lim_{n\rightarrow\infty}\langle(T - \lambda I)x_n,\,x_n\rangle = 0\] 이다. 따라서 \[\lim_{n\rightarrow\infty} \left( \langle Tx_n,\,x_n\rangle - \lambda\langle x_n,\,x_n\rangle \right) = 0\] 이다. 그러나 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(\langle x_n,\,x_n\rangle = 1\)이므로 \[\lim_{n\rightarrow\infty}\langle Tx_n,\,x_n\rangle = \lambda\] 이다. 따라서 \(\lambda\)는 \(V(T)\)의 폐포 안에 있다.

증명

1. \(S\)가 자기수반연산자이므로, 임의의 \(x \in \mathcal{H}\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\langle Sx,\,x\rangle = \langle x,\,Sx\rangle = \overline{\langle Sx,\,x\rangle} .\] 따라서 모든 \(x \in \mathcal{H}\)에 대해 \(\langle Sx,\,x\rangle \in \mathbb{R}\)이다. 그러므로 \(V(S) \subseteq \mathbb{R}\)이다.
2. 보조정리 11에 의하여 \(\sigma(S)\)가 \(V(S)\)의 폐포에 포함되므로, (a)에 의하여 \(\sigma(S)\)는 \(\mathbb{R}\)의 부분집합이다.
3. \(S = 0\)인 경우에는 바라는 결과를 자명하게 얻는다. 그러므로 \(S\ne 0\)이라고 하자. 특히 \(\lVert S \rVert^{-1}S\)를 사용하면, 일반성을 잃지 않고 \(\lVert S \rVert = 1\)이라고 가정할 수 있다. \(S\)의 노름의 정의에 의하여 \[\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert Sx_n \rVert = 1\] 이고 \(\lVert x_n \rVert = 1\)인 수열 \(\{x_n\}\)이 \(\mathcal{H}\)에 존재한다. 그러면 \[\begin{aligned} \lVert(I - S^2)x_n\rVert^2 &= \langle(I - S^2)x_n,\,(I - S^2)x_n\rangle \\[6pt] &= \lVert x_n \rVert^2 + \lVert S^2x_n \rVert^2 - 2\langle S^2x_n,\,x_n\rangle \\[6pt] & \leq 2 - 2\langle Sx_n,\,Sx_n\rangle \\[6pt] &= 2 - 2\lVert Sx_n \rVert^2 \end{aligned}\] 이다. 따라서 \[\lim_{n\rightarrow\infty}\lVert(I - S^2)x_n\rVert^2 = 0\] 이고, 그러므로 \(1 \in \sigma(S^2)\)이다. 정리 8에 의해 \(1 \in (\sigma(S))^2\)이므로, \(1\) 또는 \(-1\)이 \(\sigma(S)\)에 있어야 한다.
4. 보조정리 11과 코시-슈바르츠 부등식에 의해 \[\lVert S \rVert \leq r_\sigma(S) \leq \sup\{|\tau| \,\vert\, \tau \in V(S)\} \leq \lVert S \rVert\] 이다. 따라서 정리의 등식을 얻는다.
5. \(\alpha\)와 \(\beta\)를 각각 다음과 같이 정의하자. \[\begin{aligned} \alpha &= \inf\{\lambda \,\vert\, \lambda \in \sigma(S)\}, \\[6pt] \beta &= \sup\{\lambda \,\vert\, \lambda \in \sigma(S)\} . \end{aligned}\] \(\lambda \in V(S)\)이므로, \(\lVert y \rVert = 1\)이고 \(\lambda = \langle Sy,\,y\rangle\)인 \(y \in \mathcal{H}\)가 존재한다.
   이제 결론과는 반대로 \(\lambda \notin [\alpha, \beta]\)라고 가정하자.
   \(\lambda < \alpha\)라고 가정하자. 그러면 \(\beta I - S\)의 스펙트럼은 \(\beta - \sigma(S)\)이며, 정리 8에 의하여 이 스펙트럼은 \([0, \, \beta - \alpha]\)에 포함된다. 따라서 \(r_\sigma(\beta I - S) \leq \beta - \alpha\)이다. 그런데 \[\langle(\beta I - S)y,\,y\rangle = \beta\langle y,\,y\rangle - \langle Sy,\,y\rangle = \beta - \lambda > \beta - \alpha\] 이므로, (d)에 자기수반연산자 \(\beta I - S\)를 대입한 결과에 모순이다.
   \(\lambda > \beta\)라고 가정하자. 그러면 \(S - \alpha I\)의 스펙트럼은 \(\sigma(S) - \alpha\)이며, 다시 정리 8에 의하여 이 스펙트럼은 \([0,\, \beta - \alpha]\)에 포함된다. 따라서 \(r_\sigma(S - \alpha I) \leq \beta - \alpha\)이다. 그런데 \[\langle(S - \alpha I)y,\,y\rangle = \langle Sy,\,y\rangle - \alpha\langle y,\,y\rangle = \lambda - \alpha > \beta - \alpha\] 이므로, (d)에 자기수반연산자 \(S - \alpha I\)를 대입한 결과에 모순이다.
   따라서 \(\lambda \in [\alpha, \beta]\)이다.

증명

1. \(\sigma(A)\)가 오직 \(A\)의 고윳값으로만 구성되므로, 정리 12에 의해 \[\lVert A \rVert = r_\sigma(A) = \max\{|\lambda_1|, |\lambda_2|, \ldots, |\lambda_n|\}\]이다.
2. 힐베르트공간에서 연속인 선형연산자 \(T\)에 대하여 \(\lVert T^* T \rVert = \lVert T \rVert^2 \)이라는 사실과 \(T^* T\)와 \(TT^*\)가 자기수반연산자라는 사실로부터 결과를 얻는다.