앞의 글에서 연산자의 노름과 관련된 예를 살펴보았으므로, 노름공간 \(X\)와 \(Y\) 사이의 연속선형연산자의 모임으로 이루어진 공간 \(B(X,\,Y)\)의 구조를 더 자세히 살펴보자. 노름공간이 완비일 때 더 유용한 성질을 가지므로, \(B(X,\,Y)\)가 언제 바나흐 공간이 되는지 살피는 것이 자연스럽다.
정리 1. (\(B(X,\,Y)\)의 완비성)
\(X\)가 노름공간이고 \(Y\)가 바나흐 공간이면 \(B(X,\,Y)\)는 바나흐 공간이다.
증명
\(B(X,\,Y)\)가 완비거리공간임을 보여야 한다. \(\{T_n\}\)을 \(B(X,\,Y)\)에서의 코시수열이라 하자. 모든 거리공간에서 코시수열은 유계이므로, \(M > 0\)이 존재하여, 임의의 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(\|T_n\| \leq M\)을 만족시킨다. \(x \in X\)라 하자. \[\|T_n x - T_m x\| = \|(T_n - T_m)(x)\| \leq \|T_n - T_m\| \|x\|\] 이고, \(\{T_n\}\)이 코시수열이므로, \(\{T_n x\}\)는 \(Y\)에서 코시수열이다. \(Y\)가 완비이므로 \(\{T_n x\}\)는 수렴한다. 그 극한값을 \(T(x)\)라고 하자. 즉 함수 \(T: X \rightarrow Y\)를 \[T(x) = \lim_{n \to \infty} T_n x\] 와 같이 정의할 수 있다.
이제 \(T \in B(X,\,Y)\)이고 \(T\)가 \(B(X,\,Y)\)에서 요구되는 극한 함수임을 보이자.
\(T\)가 선형이라는 사실을 다음 두 식으로부터 알 수 있다. \[\begin{aligned} T(x+y) &= \lim_{n \to \infty} T_n(x+y) \\[6pt] &= \lim_{n \to \infty}(T_n x + T_n y) \\[6pt] &= \lim_{n \to \infty} T_n x + \lim_{n \to \infty} T_n y = T(x) + T(y), \\[10pt] T(\alpha x) &= \lim_{n \to \infty} T_n(\alpha x) \\[6pt] &= \lim_{n \to \infty} \alpha T_n x \\[6pt] &= \alpha \lim_{n \to \infty} T_n x = \alpha T(x). \end{aligned}\] 다음으로, \[\|T x\| = \lim_{n \to \infty} \|T_n x\| \leq M \|x\|\]이므로 \(T\)는 유계이고, 따라서 \(T \in B(X,\,Y)\)이다.
마지막으로, \(\lim_{n \to \infty} T_n = T\)임을 보여야 한다. \(\epsilon > 0\)이라 하자. \(N \in \mathbb{N}\)이 존재하여, \(m,\,n \geq N\)일 때 \[\|T_n - T_m\| < \frac{\epsilon}{2}\] 을 만족시킨다. 그러면 \(\|x\| \leq 1\)인 임의의 \(x\)와 \(m,\,n \geq N\)에 대하여 \[\|T_n x - T_m x\| \leq \|T_n - T_m\| \|x\| < \frac{\epsilon}{2}\] 이다. \(T(x) = \lim_{n \to \infty} T_n(x)\)이므로, \(N_1 \in \mathbb{N}\)이 존재하여, \(m \geq N_1\)일 때 \[\|T x - T_m x\| < \frac{\epsilon}{2}\] 을 만족시킨다. 그러면 \(n \geq N\)이고 \(m \geq N_1\)일 때 \[\begin{aligned} \|T x - T_n x\| &\leq \|T x - T_m x\| + \|T_m x - T_n x\| \\[6pt] &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} \|x\| \leq \epsilon. \end{aligned}\] 이다. 따라서 \(n \geq N\)일 때 \(\|T - T_n\| \leq \epsilon\)이므로 \(\lim_{n \to \infty} T_n = T\)이다.
그러므로 \(B(X,\,Y)\)는 바나흐 공간이다.
\(Y = \mathbb{F}\)인 경우 공간 \(B(X,\,Y)\)가 자주 사용되므로, 다음과 같이 별도의 표기법을 사용하여 나타낸다.
정의 2. (쌍대공간)
\(X\)를 노름공간이라 하자. \(X\)에서 \(\mathbb{F}\)로의 선형변환을 선형범함수(linear functional)라고 부른다. 공간 \(B(X,\,\mathbb{F})\)를 \(X\)의 쌍대공간(dual space)이라고 부르고, \(X'\)으로 나타낸다.
쌍대공간을 \(X^*\)와 같이 나타내기도 한다. 그러나 이 표기법은 수반연산자와 혼동되므로, 우리는 프라임 기호를 사용하여 쌍대공간을 나타내기로 하자.
따름정리 3. (쌍대공간의 완비성)
\(X\)가 노름공간이면 \(X'\)은 바나흐 공간이다.
증명
공간 \(\mathbb{F}\)가 완비이므로 정리 1에 의해 \(X'\)은 바나흐 공간이다.
이제 일반적인 공간 \(Y\)에 대한 \(B(X,\,Y)\)의 대수적 구조를 살펴보자.
보조정리 4. (연속연산자의 합성)
\(X\), \(Y\), \(Z\)가 노름공간이고 \(T \in B(X,\,Y)\)이며 \(S \in B(Y,\,Z)\)이라 하자. 그러면 \(S \circ T \in B(X,\,Z)\)이고 \[\|S \circ T\| \leq \|S\| \|T\|\] 이다.
증명
\(S \circ T \in L(X,\,Z)\)이고 \[\|(S \circ T)(x)\| = \|S(T(x))\| \leq \|S\| \|T(x)\| \leq \|S\| \|T\| \|x\|\] 이므로 \(S \circ T \in B(X,\,Z)\)이고 \(\|S \circ T\| \leq \|S\| \|T\|\)이다.
\(X\), \(Y\), \(Z\)가 기저 \(\mathbf{x}\), \(\mathbf{y}\), \(\mathbf{z}\)를 각각 가진 유한차원 공간이고 \(T \in L(X,\,Y)\)이며 \(S \in L(Y,\,Z)\)이면 \[M_{\mathbf{z}}^{\mathbf{x}}(S \circ T) = M_{\mathbf{z}}^{\mathbf{y}}(S) M_{\mathbf{y}}^{\mathbf{x}}(T)\] 이다. 따라서 연속선형연산자의 곱을 함수 합성으로 정의할 수 있을 것이다.
정의 5. (연속선형연산자의 곱)
\(X\), \(Y\), \(Z\)를 노름공간이라 하고 \(T \in B(X,\,Y)\)이며 \(S \in B(Y,\,Z)\)라 하자. \(S\)와 \(T\)의 합성 \(S \circ T\)를 \(ST\)로 표기하고 \(S\)와 \(T\)의 곱(product)이라고 부른다.
\(X\), \(Y\), \(Z\)가 노름공간이고 \(T \in B(X,\,Y)\)이며 \(S \in B(Y,\,Z)\)라 하자. 공간 \(X\), \(Y\), \(Z\)가 모두 같지 않다면, \(ST\)를 정의할 수 있다고 해서 \(TS\)도 정의할 수 있는 것은 아니다. 그러나 \(X = Y = Z\)이면 \(TS\)와 \(ST\)가 모두 정의된다. 그러나 모든 공간이 유한차원이고 \(X = Y = Z\)라도, 일반적으로 \(TS \neq ST\)임에 유의해야 한다.
\(X = Y = Z\)인 상황이 자주 발생하므로, 이때 사용할 표기법을 정의하자. \(X\)가 노름공간일 때, \(X\)에서 \(X\)로의 모든 연속선형연산자의 집합인 \(B(X,\,X)\)를 \(B(X)\)로 표기한다. \(X\)가 노름공간일 때, \(B(X)\)는 다음과 같은 구조를 가진다.
보조정리 6. (\(B(X)\)의 대수적 구조)
\(X\)를 노름공간이라 하자.
- \(B(X)\)는 항등원을 가진 대수이며, 따라서 항등원을 가진 환이다.
- 만약 \(\{T_n\}\)과 \(\{S_n\}\)이 \(B(X)\)의 수열이고 \[\lim_{n \to \infty} T_n = T ,\quad \lim_{n \to \infty} S_n = S\] 이면 \[\lim_{n \to \infty} S_n T_n = ST\] 이다.
증명
- \(X\)가 벡터공간이고 \(B(X)\)가 \(L(X)\)의 부분공간이므로, \(B(X)\)는 항등원을 가진 대수이며, 항등원을 가진 환이다.
- \(\{T_n\}\)이 수렴하므로 유계이다. 따라서 \(K > 0\)이 존재하여, 임의의 \(n \in \mathbb{N}\)에 대하여 \(\|T_n\| \leq K\)를 만족시킨다. \(\epsilon > 0\)이라 하자. 그러면 \(N_1 \in \mathbb{N}\)이 존재하여, \(n \geq N_1\)일 때
\[\|S_n - S\| < \frac{\epsilon}{2K}\]
를 만족시키며, \(N_2 \in \mathbb{N}\)이 존재하여, \(n \geq N_2\)일 때
\[\|T_n - T\| < \frac{\epsilon}{2(\|S\| + 1)}\]
을 만족시킨다.
\(n \geq \max(N_1,\,N_2)\)이라고 하자. 그러면 \[\begin{aligned} \|S_n T_n - ST\| &\leq \|S_n T_n - ST_n\| + \|ST_n - ST\| \\[6pt] &\leq K\|S_n - S\| + \|S\|\|T_n - T\| \end{aligned}\] 이므로 \[\|S_n T_n - ST\| \leq K\|S_n - S\| + \|S\|\|T_n - T\| < \epsilon\] 이다. 따라서 \(\lim_{n \to \infty} S_n T_n = ST\)이다.
\(X\)가 노름공간이고 \(T \in B(X)\)라고 하자. 이때 다음과 같이 정의한다.
- \(T^2\)은 \(TT\)를, \(T^3\)은 \(TTT\)를 나타내며, 더 일반적으로 \(T^n\)은 \(n\)개의 \(T\)를 곱한 함수를 나타낸다.
- \(a_0,\,a_1,\,\ldots,\,a_n \in \mathbb{F}\)이고 \(p: \mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F}\)가 \[p(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n\]이라고 정의된 다항식이면, \[p(T) = a_0 I + a_1 T + \ldots + a_n T^n\]이라고 정의한다.
\(B(X)\)가 환이므로 위의 표기법은 환에서 사용하는 거듭제곱 표기법과 일치한다. 다음은 정의로부터 바로 얻을 수 있는 정리이다.
정리 7. (연산자 다항식의 성질)
\(X\)가 노름공간이고 \(T \in B(X)\)라 하자. 또한 \(p\)와 \(q\)가 다항식이고 \(\lambda,\,\mu \in \mathbb{C}\)라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- \((\lambda p + \mu q)(T) = \lambda p(T) + \mu q(T) .\)
- \((pq)(T) = p(T)q(T) .\)