\(X\)가 \(\mathbb{F}\) 위에서 정의된 벡터공간일 때, \(X\)로부터 \(\mathbb{F}\)로의 선형변환들의 모임은 벡터공간이다. 특히 \(X\)가 노름공간일 때 \(X\)로부터 \(\mathbb{F}\)로의 연속선형범함수의 모임을 \(X\)의 쌍대공간이라고 부르고 \(X ' \)으로 나타낸다. \(X ' \)에는 연산자노름이 주어져 있으며, 이러한 관점에서 \(X ' \)은 노름공간이다.
\(X\)가 노름공간일 때 \(X\)의 쌍대공간의 쌍대공간 \( (X ' ) ' \)을 생각할 수 있다. 이 공간을 \( X ' '\)으로 나타낸다. 이 글에서 별다른 언급이 없으면 \(X\)는 노름벡터공간을 나타내는 것으로 약속한다.
정의 1. (제 2 쌍대공간)
\(X\)가 노름벡터공간일 때, 공간 \(X''\)을 \(X\)의 제 2 쌍대공간(second dual)이라고 부른다.
이제 각 \(x \in X\)에 대해 \(X''\)의 원소를 다음과 같이 대응시킬 수 있다.
보조정리 2.
\(x \in X\)라고 하자. 이때 \(F_x : X' \rightarrow \mathbb{F}\)를 각 \(f \in X'\)에 대하여 다음과 같이 정의하자. \[F_x(f) = f(x).\] 그러면 \(F_x \in X''\)이고 \(\lVert F_x \rVert = \lVert x \rVert\)이다.
증명
\(\alpha, \,\beta \in \mathbb{F}\)이고 \(f,\, g \in X'\)이라고 하자. \(F_x\)의 정의에 의해 \[\begin{aligned} F_x(\alpha f + \beta g) &= \alpha f(x) + \beta g(x) \\[6pt] &= \alpha F_x(f) + \beta F_x(g) \end{aligned}\] 이므로 \(F_x\)는 선형이다. 더욱이 \[|F_x(f)| = |f(x)| \leq \lVert f \rVert \lVert x \rVert\] 이므로 \(F_x \in X''\)이고, \(\lVert F_x \rVert \leq \lVert x \rVert\)이다. 또한 \[\lVert x \rVert = \sup_{\lVert f \rVert = 1} |f(x)| = \sup_{\lVert f \rVert = 1} |F_x(f)| = \lVert F_x \rVert\] 이므로 \(\lVert F_x \rVert = \lVert x \rVert\)이다.
위 보조정리를 기반으로 하여 다음과 같은 대응을 정의할 수 있다.
정의 3. (자연대응)
\(X\)가 노름벡터공간일 때, 함수 \(J_X : X \rightarrow X''\)을 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[J_X x = F_x\] 로 정의한다.
\(J_X\)의 정의에 의하면, 임의의 \(x\in X\)와 \(f\in X ' \)에 대하여 \[(J_X x)(f) = f(x)\] 임을 알 수 있다.
보조정리 4. (함수 \(J_X\)의 성질)
함수 \(J_X : X \rightarrow X''\)는 선형이며 등거리사상이다. 즉 다음이 성립한다.
- \(X\)는 \(X''\)의 부분집합과 등거리동형이다.
- \(X\)는 바나흐공간의 조밀한 부분집합과 등거리동형이다.
증명
보조정리 2에 의하여 \(J\)가 선형이고 등거리사상이라는 결과를 얻는다. 이 사실로부터 (a)를 얻는다. 또한 (a)와 \(X''\)이 바나흐 공간이라는 사실로부터 (b)를 얻는다. 즉 \(J_X(X)\)의 폐포는 바나흐 공간이다.
\(X\)가 바나흐 공간이 아닌 노름벡터공간이면 \(J_X(X) \neq X''\)인데, 이 경우 \(J_X(X)\)는 바나흐 공간이 아닌 반면 \(X''\)는 바나흐 공간이기 때문이다. \(X\)가 바나흐 공간이더라도 \(J_X(X) \neq X''\)일 수 있다. 그러므로 다음과 같은 정의를 도입한다.
정의 5. (반사적 공간)
\(J_X(X) = X''\)일 때 \(X\)를 반사적 공간(reflexive space)이라고 부른다.
지금까지 살펴본 정의를 결합하면 \(X\)가 반사적 공간이기 위한 필요충분조건은 임의의 \(\psi \in X''\)에 대해 \(\psi = J_X x_\psi\)인 \(x_\psi \in X\)가 존재하는 것이다. 즉, 임의의 \(f\in X ' \)에 대하여 다음을 만족시키는 것이다. \[\psi(f) = (J_X x_\psi)(f) = f(x_\psi) .\] \(X\)가 반사적이기 위해서는 함수 \(J_X\)가 \(X\)로부터 \(X''\)로의 등거리동형사상이어야 한다. \(X\)가 단순히 \(X''\)와 등거리동형인 것으로는 충분하지 않다. 실제로 \(X''\)와 등거리동형이지만 반사적이지 않은 바나흐 공간 \(X\)의 예가 알려져 있다.
앞의 설명에 따르면, 반사적일 수 있는 유일한 노름벡터공간은 바나흐 공간이다. 그러나 모든 바나흐 공간이 반사적인 것은 아니다. 이제 앞의 글에서 살펴본 쌍대공간을 가진 노름공간이 반사적인지 확인해 보자.
보기 6. (유한차원 노름공간의 반사적 성질)
\(X\)가 유한차원 노름벡터공간이면 \(X\)는 반사적이다.
풀이
\(X\)의 차원을 \(n\)이라고 하면 \[\dim X = \dim X' = \dim X'' = n\]이다. 따라서, \(J_X(X)\)는 \(n\)차원 벡터공간 \(X''\)의 \(n\)차원 부분공간이므로, \(J_X(X) = X''\)이고, 따라서 \(X\)는 반사적이다.
보기 7. (힐베르트 공간의 반사적 성질)
\(\mathcal{H}\)가 힐베르트 공간이면 \(\mathcal{H}\)는 반사적이다.
풀이
\(\mathcal{H}'\)이 힐베르트 공간이므로, \(T_{\mathcal{H}'} : \mathcal{H}' \rightarrow \mathcal{H}''\)이 잘 정의되며, 이 함수는 일대일대응이다. 특히 임의의 \(f \in \mathcal{H}'\)와 \(\psi \in \mathcal{H}''\)은 고유한 \(x, \,y \in \mathcal{H}\)에 대해 \(f = T_{\mathcal{H}}x\)와 \(\psi = T_{\mathcal{H}'}(T_{\mathcal{H}}y)\) 형태로 표현된다. 이제 \[\begin{aligned} J_{\mathcal{H}}(y)(f) &= f(y) = \langle y, \,x\rangle_{\mathcal{H}} \\[6pt] &= \langle T_{\mathcal{H}}x,\, T_{\mathcal{H}}y \rangle_{\mathcal{H}'} \\[6pt] &= \langle f,\, T_{\mathcal{H}}y \rangle_{\mathcal{H}'} \\[6pt] &= T_{\mathcal{H}'}(T_{\mathcal{H}}y)(f) = \psi(f) \end{aligned}\] 이므로 \(\psi = J_{\mathcal{H}}(y)\)이다. 그러므로 \(J_{\mathcal{H}}\)는 위로의 함수이고, 따라서 \(\mathcal{H}\)는 반사적 공간이다.
다음 예는 힐베르트 공간이 아닌 반사적인 무한차원 바나흐 공간이 존재함을 보여준다. 공간 \(\ell^p\)는 \(p = 2\)일 때만 힐베르트 공간임을 염두에 두자.
보기 8. (\(\ell ^p\)의 반사적 성질)
\(1 < p < \infty\)일 때 \(\ell^p\)는 반사적 공간이다.
보기 9. (\(L^p\)의 반사적 성질)
\(1 < p < \infty\)일 때, 공간 \(L^p(\mathbb{R})\)도 반사적이다.
이제 두 공간 \(\ell^1\)과 \(\ell^{\infty}\)가 반사적이지 않음을 살펴보자. 그 전에 반사성과 관련된 몇 가지 성질을 더 살펴보자.
정리 10. (\(X\)와 \(X'\)의 반사성 관계)
바나흐 공간 \(X\)가 반사적이기 위한 필요충분조건은 \(X'\)이 반사적인 것이다.
증명
\(X\)가 반사적이라고 가정하자. \(\rho \in X'''\)라 하자. 그러면 \(\rho \circ J_X \in X'\)이다. 왜냐하면 \(\rho\circ J_X\)가 유계선형연산자의 합성이기 때문이다. \(f = \rho \circ J_X\)라고 하고, \(\psi \in X''\)이라고 하자. \(X\)가 반사적이므로, \(\psi = J_X(x)\)인 \(x \in X\)가 존재하고, 따라서 \[\begin{aligned} (J_{X'}(f))(\psi) &= \psi(f) = f(x) \\[6pt] &= \rho \circ J_X(x) = \rho(\psi) \end{aligned}\] 이다. 즉 \(\rho = J_{X'}(f)\)이므로, \(X'\)은 반사적이다.
역을 증명하자. \(X'\)이 반사적이지만 \(\omega \in X'' \setminus J(X)\)인 \(\omega\)가 존재한다고 가정하자. \(J_X(X)\)가 닫혀있으므로, \(\omega(g) = 0\)이지만 모든 \(x \in X\)에 대해 \(\kappa(J_X x) = 0\)인 \(\kappa \in X'''\)이 존재한다. \(X'\)이 반사적이므로 \(\kappa = J_{X'}(g)\)인 \(g \in X'\)이 존재한다. 따라서 \[g(x) = (J_X x)(g) = \kappa(J_X x) = 0, \quad x \in X\] 이므로 \(g = 0\)이다. \(\omega(g) = \kappa(\omega) = 0\)이므로, 이는 모순이다. 그러므로 \(X\)는 반사적이다.
정리 11. (부분공간의 반사적 성질)
\(X\)가 반사적 공간이고 \(Y\)가 \(X\)의 닫힌부분공간이면, \(Y\)는 반사적 공간이다.
증명
\(f \in X'\)에 대해, \(f|_Y \in Y'\)를 \(f\)의 정의역을 \(Y\)로 제한한 함수라고 하자. \(Y'\)의 임의의 원소는 어떤 \(f \in X'\)에 대해 \(f|_Y\) 형태로 나타난다. 따라서, 반사성의 정의에 의해, 임의의 \(g_Y \in Y''\)에 대해 다음을 만족하는 \(y_g \in Y\)가 존재함을 보여야 한다. \[g_Y(f|_Y) = f(y_g), \quad f \in X'. \tag{1}\] \(y_g\)를 구성하기 위해, 먼저 \(g_X : X' \rightarrow \mathbb{F}\)를 임의의 \(f\in X '\)에 대하여 다음과 같이 정의한다. \[g_X(f) = g_Y(f|_Y).\] 그러면 임의의 \(f\in X ' \)에 대하여 \[|g_X(f)| \leq \lVert g_Y \rVert \lVert f|_Y \rVert \leq \lVert g_Y \rVert \lVert f \rVert\] 이므로 \(g_X \in X''\)이다. \(X\)가 반사적이므로, \(y_g \in X\)가 존재하여 임의의 \(f\in X ' \)에 대하여 다음을 만족시킨다. \[g_X(f) = f(y_g) .\] 이제 위의 등식에 의해 \(y_g \in Y\)임을 보이는 것으로 충분하다.
\(y_g \not\in Y\)라고 가정하자. 그러면 \(f_g(y_g) = 1\)이고 모든 \(y \in Y\)에 대해 \(f_g(y) = 0\)인 \(f_g \in X'\)이 존재한다. 즉, \(f_g|_Y = 0\)이다. 하지만, 위의 등식에 의해 \[1 = f_g(y_g) = g_X(f_g) = g_Y(f_g|_Y) = 0\] 이므로 모수닝다. 즉 \(y_g \in Y\)이므로 바라는 결과를 얻는다.
지금까지의 예를 통해 모든 바나흐 공간이 반사적일 것이라고 추측할 수 있지만, 일반적으로는 그렇지 않다. 그러나 바나흐 공간이 반사적이지 않음을 보이는 것은 보통 어렵다. 우리는 \(\ell^{\infty}\)와 \(\ell^1\)이 반사적이지 않음을 보일 것이다. 이를 수행하는 방법은 여러 가지가 있다. 그 중 하나는 집합의 ‘소멸자(annihilator)’를 사용하는 것이다. 이들은 힐베르트 공간의 부분집합의 직교여공간과 유사하다. 그러나 직교여공간과 달리, 집합의 소멸자는 원래 공간에 쌍대인 공간에서 정의된다. 따라서 원래 부분집합이 노름공간에 있는지 아니면 노름공간의 쌍대에 있는지에 따라 두 가지 다른 유형의 소멸자가 있다.
정의 12. (소멸자)
\(X\)가 노름공간이고, \(W\)가 \(X\)의 공집합 아닌 부분집합이며, \(Z\)가 \(X'\)의 공집합 아닌 부분집합이라고 하자. \(W\)와 \(Z\)의 소멸자(annihilator)를 각각 다음과 같이 정의한다. \[\begin{aligned} W^\circ &= \{f \in X' \,\vert\, f(x) = 0 \text{ for all } x \in W\}, \\[6pt] ^\circ Z &= \{x \in X \,\vert\, f(x) = 0 \text{ for all } f \in Z\} . \end{aligned}\]
소멸자의 성질 중 일부는 직교여공간의 성질과 유사하다.
보조정리 13. (소멸자의 속성)
\(X\)가 노름공간이고, \(W_1\)과 \(W_2\)가 \(X\)의 공집합 아닌 부분집합이며, \(Z_1\)가 \(Z_2\)가 \(X'\)의 공집합 아닌 부분집합이라고 하자. 또한 \(W_1 \subseteq W_2\)이고 \(Z_1 \subseteq Z_2\)라고 가정하자.
- \(W_2^\circ \subseteq W_1^\circ\)이고 \(^\circ Z_2 \subseteq \, ^\circ Z_1\)이다.
- \(W_1 \subseteq \,^\circ(W_1^\circ)\)이고 \(Z_1 \subseteq (^\circ Z_1)^\circ\)이다.
- \(W_1^\circ\)와 \(^\circ Z_1\)은 닫힌 부분벡터공간이다.
지금까지 살펴본 정리를 고려할 때, \(W =\, ^\circ\!(W^\circ)\) 또는 \(Z = (^\circ Z)^\circ\)인지 묻는 것이 자연스럽다. 소멸자가 닫힌 부분벡터공간임을 고려할 때, 닫힌 부분공간만이 이러한 등식을 만족시킬 수 있다. 다음 결과는 이 질문에 대한 답이 반사성과 관련이 있음을 보여준다.
정리 14.
\(X\)가 노름선형공간이고 \(W\)가 \(X\)의 닫힌 부분벡터공간이며 \(Z\)가 \(X'\)의 닫힌 부분벡터공간이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.
- \(W =\, ^\circ(W^\circ) .\)
- \(X\)가 반사적이면 \(Z = (^\circ Z)^\circ\)이다.
증명
- 보조정리 13에 의해 \(W \subseteq\, ^\circ(W^\circ)\)이다. \(p \in\, ^\circ(W^\circ) \setminus W\)라고 가정하자. 한-바나흐 정리에 의해 모든 \(w \in W\)에 대해 \(f(w) = 0\)이지만 \(f(p) \neq 0\)인 \(f \in X'\)이 존재한다. 따라서 \(f \in W^\circ\)이고 \(p \not\in\, ^\circ(W^\circ)\)인데, 이는 모순이다. 따라서 \(W =\, ^\circ(W^\circ)\)이다.
- 보조정리 13에 의해 \(Z \subseteq (^\circ Z)^\circ\)이다. \(g \in (^\circ Z)^\circ \setminus Z\)라고 가정하자. 그러면 \(f \in Z\)에 대해 \(\psi(f) = 0\)이지만 \(\psi(g) \neq 0\)인 \(\psi \in X''\)이 존재한다. \(X\)가 반사적이므로 \(\psi = J_X(q)\)인 \(q \in X\)가 존재한다. 따라서 모든 \(f \in Z\)에 대해 \(f(q) = 0\)이지만 \(g(q) \neq 0\)이다. 그러므로 \(q \in ^\circ Z\)이고 \(g \not\in (^\circ Z)^\circ\)인데, 이것은 모순이다. 따라서 \(Z = (^\circ Z)^\circ\)이다.
정리 14의 (b)에서 \(X\)가 반사적이지 않은 경우 \(Z\)가 \((^\circ Z)^\circ\)의 진부분집합일 수 있다. 다음 예를 보자.
보기 15.
집합 \(V\)와 \(Z\)를 각각 \[\begin{aligned} V &= \left\{\{a_n\} \in \ell^1 \,\Bigg\vert\, \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n = 0 \right\} ,\\[6pt] Z &= T_{c_0}(V) \subset c_0' \end{aligned}\] 이라고 하자. 여기서 \(T_{c_0} \,\vert\, \ell^1 \rightarrow c_0'\)는 임의의 \(a\in \ell^1\)에 대하여 \[T_{c_0} (a) = f_a\] 라고 정의된 동형사상이며, \(f_a\)는 임의의 \(x\in \ell^1\)에 대하여 \[f_a (x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x_n \] 이라고 정의된 함수이다. 그러면 \(V\)와 \(Z\)는 각각 \(\ell^1\)과 \(c_0'\)의 진부분집합이며 닫힌 부분벡터공간이다. 또한 \((^\circ Z)^\circ = c_0'\)이다.
풀이
\(z = \{(-1)^n\} \in \ell^{\infty}\)라고 하고, \(f_z \in (\ell^1)'\)이 보기에서 정의된 함수라고 하자. 명백히 \(V = \operatorname{ker} f_z\)이므로, \(V\)는 닫힌 부분벡터공간이고, \(f_z\)가 영함수가 아니므로, \(V \neq \ell^1\)이다. \(T_{c_0}\)이 동형사상이므로, \(Z\)는 \(c_0'\)의 진부분집합이며 닫힌부분벡터공간이다.
이제 \(p = \{p_n\} \in ^\circ Z \subset c_0\)이라고 가정하자. 각 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(v_n = e_n + e_{n+1}\)이라고 하자. 그러면 \(v_n \in V\)이므로 정의에 의해 \(T_{c_0} v_n \in Z\)이고, 따라서 \(n \in \mathbb{N}\)에 대하여 \[0 = (T_{c_0} v_n)(p) = f_{v_n}(p) = p_n + p_{n+1}\] 이다. 여기서 \[\lim_{n \rightarrow \infty} p_n = 0\] 이므로, 모든 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(p_n = 0\)이고, 따라서 \(^\circ Z = \{0\}\)이다. 그러므로, \((^\circ Z)^\circ = c_0'\)이다.
따름정리 16.
공간 \(c_0\)과 \(\ell^{\infty}\)는 반사적이지 않다.
증명
정리 14의 (b)와 보기 15에 의해 \(c_0\)은 반사적이지 않다. 또한 \(c_0\)은 \(\ell^{\infty}\)의 닫힌 부분공간이므로, 정리 11에 의하여 \(\ell^{\infty}\)는 반사적이지 않다.
이제 선형연산자의 쌍대연산자와 이중쌍대연산자를 살펴보자.
정리 17.
\(X\)와 \(Y\)가 노름벡터공간이고 \(T \in B(X, Y)\)라고 하자. 그러면 임의의 \(x\in X\)와 \(f\in Y ' \)에 대하여 \[T'(f)(x) = f(Tx) \] 를 만족시키는 연산자 \(T' \in B(Y', X')\)가 유일하게 존재한다.
증명
임의의 \(f \in Y'\)에 대하여 \(T'(f) = f \circ T\)라고 정의하자. \(T\)와 \(f\)가 유계선형연산자이므로 \(T'(f) \in X'\)이다. \(T'\)은 \(Y'\)으로부터 \(X'\)으로의 함수이며, 모든 \(x \in X\)와 \(f \in Y'\)에 대하여 \(T'(f)(x) = f(T(x))\)를 만족시킨다. 또한, 임의의 \(x \in X\)와 \(f \in Y'\)에 대해 \(S(f)(x) = f(T(x))\)를 만족시키는 \(S \in B(Y',\, X')\)이 있다면, 모든 \(f \in Y'\)에 대해 \(S(f) = T'(f)\)이므로, \(S = T'\)이다. 따라서 \(T'\)은 유일하다.
이제 \(T' \in B(Y', X')\)임을 보이는 것만 남았다. \(f,\, g \in Y'\)이고 \(\lambda,\, \mu \in \mathbb{C}\)라고 하자. 그러면 \[(\lambda f + \mu g) \circ T = \lambda(f \circ T) + \mu(g \circ T)\] 이다. 따라서 \(T'(\lambda f + \mu g) = \lambda T'(f) + \mu T'(g) ,\) 즉, \(T'\)은 선형이다. 또한 \[\lVert T'(f) \rVert = \lVert f \circ T \rVert \leq \lVert f \rVert \lVert T \rVert\] 이므로 \(T'\)은 유계이고 \(\lVert T' \rVert \leq \lVert T \rVert\)이다.
정의 18. (쌍대연산자)
\(X\)와 \(Y\)가 노름공간이고 \(T \in B(X,\, Y)\)라고 하자. 정리 17에서 구성한 연산자 \(T' \in B(Y',\, X')\)를 \(T\)의 쌍대연산자라고 부른다.
\(\mathcal{H}\)와 \(\mathcal{K}\)가 힐베르트 공간이고 \(T \in B(\mathcal{H}, \, \mathcal{K})\)이면, \(T\)에 \(T'\)이 \(B(\mathcal{K},\, \mathcal{H})\)에 존재하는데, 이를 \(T\)의 수반연산자(adjoint)라고 부른다. 수반연산자가 쌍대연산자보다 유용한 성질을 많이 가지고 있다. 하지만 쌍대연산자도 다음과 같이 유용한 성질을 가지고 있다.
보조정리 19. (쌍대연산자의 성질)
\(X\)와 \(Y\)가 노름공간이고 \(T \in B(X,\, Y)\)라고 하자.
- \(\lVert T' \rVert = \lVert T \rVert .\)
- \(\operatorname{ker} T' = (\operatorname{im} T)^\circ .\)
- \(\operatorname{ker} T = \, ^\circ \! (\operatorname{im} T') .\)
증명
- 정리 17의 증명 과정으로부터 \(\lVert T' \rVert \leq \lVert T \rVert\)를 얻는다. \(x \in X\)라고 하자. 그러면 \(f(Tx) = \lVert Tx \rVert\)이고 \(\lVert f \rVert = 1\)을 만족하는 \(f \in Y'\)이 존재한다. 따라서 \[\begin{aligned} \lVert Tx \rVert &= f(Tx) = T'(f)(x) \\[6pt] &\leq \lVert T'(f) \rVert \lVert x \rVert \\[6pt] &\leq \lVert T' \rVert \lVert f \rVert \lVert x \rVert \\[6pt] &= \lVert T' \rVert \lVert x \rVert \end{aligned}\] 이므로 \(\lVert T \rVert \leq \lVert T' \rVert\)이다. 그러므로 \(\lVert T \rVert = \lVert T' \rVert\)이다.
- \(f \in \operatorname{ker} T'\)이고 \(z \in \operatorname{im} T\)라고 하자. \(z \in \operatorname{im} T\)이므로, \(z = T(x)\)인 \(x \in X\)가 존재한다. 따라서
\[f(T(x)) = T'(f)(x) = 0\]
이다. 왜냐하면 \(f \in \operatorname{ker} T'\)이기 때문이다. 따라서 \(f \in (\operatorname{im} T)^\circ\)이며, \(\operatorname{ker} T' \subseteq (\operatorname{im} T)^\circ\)이다.
다음으로 \(f \in (\operatorname{im} T)^\circ\)라고 가정하자. 그러면 모든 \(x \in X\)에 대해 \[T'(f)(x) = f(T(x)) = 0\] 이다. 이것은 \(T(x) \in \operatorname{im} T\)이기 때문이다. 따라서 \(T'(f) = 0\)이며, \(f \in \operatorname{ker} T'\)이다. 그러므로 \((\operatorname{im} T)^\circ \subseteq \operatorname{ker} T'\)이고 \(\operatorname{ker} T' = (\operatorname{im} T)^\circ\)이다. - 앞의 증명과 유사하다.
정리 20. (동형사상의 쌍대연산자)
\(X\)와 \(Y\)가 노름벡터공간이고 \(T \in B(X, \,Y)\)라고 하자.
- \(T\)가 동형사상이면 \(T'\)도 동형사상이고, \((T')^{-1} = (T^{-1})'\)이다.
- \(T\)가 등거리동형사상이면 \(T'\)도 등거리동형사상이다.
증명
- \(S = T^{-1}\)라고 하자. \(S \in B(Y, \, X)\)이므로, 쌍대연산자 \(S' \in B(X', \, Y')\)이 잘 정의된다. 따라서, 임의의 \(f \in X'\)와 \(x \in X\)에 대해
\[\begin{aligned}
T'(S'(f))(x) &= S'(f)(Tx) \\[6pt]
&= f(S(Tx)) \\[6pt]
&= f(x)
\end{aligned}\]
이다. 즉 \(T'(S'f) = f\)이므로 \(T' \circ S' = I_{X'}\)이다.
마찬가지로 \(S' \circ T' = I_{Y'}\)이다. - 비슷한 방법으로 증명한다.
정리 20의 (b)를 다음과 같이 기술할 수 있다.
따름정리 21.
노름벡터공간 \(X\)와 \(Y\)가 서로 동형이면 \(X'\)과 \(Y'\)도 서로 동형이다.
\(X\)와 \(Y\)가 노름벡터공간이고 \(T \in B(X,\, Y)\)일 때 쌍대연산자 \(T' \in B(Y',\, X')\)를 정의했다. 이 과정을 다시 적용하여 이중쌍대연산자 \(T'' \in B(X'', \,Y'')\)을 얻을 수 있다. 연산자 \(T''\)은 등거리사상 \(J_X ,\) \(J_Y\)와 다음과 같은 관계가 있다.
정리 22. (이중쌍대연산자의 성질)
\(X\)와 \(Y\)가 노름벡터공간이고 \(T \in B(X, \,Y)\)라고 하자. 그러면 \[J_Y \circ T = T'' \circ J_X\] 가 성립한다.
증명
\(x \in X\)이고 \(g \in Y'\)라고 하자. \(J_X\)와 \(J_Y\)의 정의에 의하여 \[\begin{aligned} J_Y(Tx)(g) &= g(Tx) \\[6pt] &= (T'g)(x) \\[6pt] &= J_X(x)(T'g) \\[6pt] &= T''(J_X x)(g) \end{aligned}\] 이다. 따라서 \(J_Y(Tx) = T''(J_X x)\)이다.
정리 20의 (b)와 정리 22를 결합하면 다음과 같은 따름정리를 얻는다.
따름정리 23.
노름선형공간 \(X\)와 \(Y\)가 동형이라고 하자. 이때 \(X\)가 반사적이기 위한 필요충분조건은 \(Y\)가 반사적인 것이다.
따름정리 24.
\(\ell^1\)은 반사적이지 않다.
증명
따름정리 16에 의해 \(c_0\)은 반사적이지 않다. 따라서 정리 10에 의해 \(c_0 '\)도 반사적이지 않다. \(\ell^1\)은 \(c_0 '\)과 동형이므로, 따름정리 23에 의해 \(\ell^1\)은 반사적이지 않다.
만약 \(X\)를 \(X''\)의 부분집합으로 생각하면, 정리 22는 \(T''\)이 \(T\)의 확장으로 여겨질 수 있음을 보여준다. (물론 \(X\)는 \(X ''\)의 부분집합이 아니다.) 이것은 \(X\)가 반사적이지 않을 때에만 의미가 있다.
\(Y\)가 스칼라 공간인 경우, 정리 22는 한-바나흐 정리의 특수한 경우에 대항하지만, \(X''\)의 부분벡터공간 \(J_X(X)\)에 대해서만 유효하다. 이러한 관점에서는 정리 22가 한-바나흐 정리보다 약하다고 할 수 있다. 반면에, 정리 22가 스칼라 공간뿐만 아니라 임의의 노름공간으로 대응시키는 선형연산자에 적용된다는 점에서 한-바나흐 정리보다 강하다고도 할 수 있다.