정사영과 여공간

by LY4I
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힐베르트 공간 \(\mathcal{H}\)의 닫힌 부분벡터공간 \(Y\)이 있을 때 \(Y\)의 직교여공간 \(Y^{\perp}\)을 정의할 수 있다. 또한 임의의 \(x \in \mathcal{H}\)에 대하여 \(x = y + z\)인 \(y \in Y\)와 \(z \in Y^{\perp}\)가 각각 유일하게 존재한다. 이러한 분해 형태는 여공간의 개념이 얼마나 유용한지 보여주는 예이다.

이 글에서는 여공간의 개념을 더 자세히 살펴보고, 특히 노름공간에서의 “위상적” 여공간의 개념을 살펴본다. 또한 여공간과 “정사영” 연산자에 대해서도 살펴본다. 이 글에서 별다른 언급이 없으면 \(X\)는 벡터공간을 나타낸다.

정의 1. (여공간과 위상적 여공간)

\(X\)의 부분공간 \(U,\) \(V\)가 \(X\)에서 여공간이란 \(X = U \oplus V\)인 것을 의미한다. 또는 이와 동치인 조건으로서, 임의의 \(x \in X\)가 다음 형태의 유일한 분해를 가지는 경우를 말한다. \[x = u_x + v_x, \quad u_x \in U, v_x \in V. \tag{1}\]

\(X\)가 노름공간이고 \(X\)애서 정의된 대응 \(x \mapsto u_x\), \(x \mapsto v_x\)가 연속일 때, \(U\)와 \(V\)를 위상적 여공간이라고 부른다.

Zorn의 보조정리를 사용하면, 임의의 부분공간 \(U \subset X\)는 여공간 \(V\)를 가짐을 보일 수 있다. 그러나 일반적으로 이러한 부분공간이 위상적 여공간이 되는 것은 아니다. 함수해석학에서 여공간의 성질을 사용하여 해결하는 문제는 대부분 위상적 여공간을 필요로 한다. 위상적 여공간의 존재 여부는 더 자세히 논의할 필요가 있지만, 이를 논의하기 전에 먼저 “정사영” 연산자와 여공간 사이의 관계를 살펴보자.

정의 2. (정사영)

\(X\)에서의 정사영은 \(P^2 = P\)를 만족하는 선형연산자 \(P : X \rightarrow X\)이다.

보조정리 3.

\(P\)가 \(X\)에서의 정사영이라고 하자. 그러면 \(x \in \operatorname{Im} P\)이기 위한 필요충분조건은 \(Px = x\)인 것이다. 또한, 연산자 \(I - P\)는 정사영이고, 두 조건 \[\operatorname{Im} P = \operatorname{Ker} (I - P), \quad \operatorname{Ker} P = \operatorname{Im} (I - P)\] 를 만족시킨다.

증명

\(x \in \operatorname{Im} P\)라고 하자. 그러면 적당한 \(y \in X\)에 대하여 \(x = Py\)이므로, 정사영의 정의에 의해 \[Px = P^2y = Py = x\] 이다. 또한 이 명제의 역은 자명하다.

다음으로 정사영의 정의에 의해 \[(I - P)^2 = I - 2P + P^2 = I - P\] 이므로 \(I - P\)는 정사영이다. 이제 \(y \in \operatorname{Im} (I - P)\)라고 하자. 즉, 적당한 \(x \in X\)에 대해 \(y = (I - P)x\)라고 하자. 그러면 \[Py = Px - P^2x = 0\]이므로 \[\operatorname{Im} (I - P) \subset \operatorname{Ker} (P)\]이다. 이제 \(y \in \operatorname{Ker} (P)\)라고 가정하자. 그러면 \[y = (I - P)y \in \operatorname{Im} (I - P)\]이므로, \(\operatorname{Im} (I - P) = \operatorname{Ker} (P)\)이다.

\(P\)와 \(I - P\) 사이의 대칭성을 사용하면 두 번째 등식도 유사한 방법으로 증명된다.

정사영과 여공간 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

보조정리 4.

  1. \(U\)와 \(V\)가 \(X\)에서 여공간이라고 하고, 연산자 \(P_U : X \rightarrow U\)와 \(P_V : X \rightarrow V\)를 임의의 \(x\in X\)에 대하여 다음과 같이 정의하자. \[P_U x = u_x, \quad P_V x = v_x .\] 여기서 \(u_x\)와 \(v_x\)는 (1)에서 정의한 것과 같다. 그러면 \(P_U\)와 \(P_V\)는 \(X\)에서의 정사영이고, \(P_U + P_V = I\)이다.
  2. \(P\)가 \(X\)에서의 정사영이라고 하자. 그러면 부분공간 \(\operatorname{Im} P\)와 \(\operatorname{Im} (I - P)\)는 여공간이다.

증명

  1. \(P_U\)의 정의에 의하여, 임의의 \(\alpha,\, \beta \in \mathbb{F}\)와 \(x,\, y \in X\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} P_U(\alpha x + \beta y) &= P_U((\alpha u_x + \beta u_y) + (\alpha v_x + \beta v_y)) \\[6pt] &= \alpha u_x + \beta u_y = \alpha P_U x + \beta P_U y . \end{aligned}\] 즉 \(P_U\)가 선형이다. 또한 다음이 성립한다. \[P^2_U x = P_U u_x = u_x = P_U x .\] 그러므로 \(P_U\)는 정사영이다. 다음으로, (1)과 \(P_U,\) \(P_V\)의 정의로부터 모든 \(x \in X\)에 대해 \(x = P_U x + P_V x\)이므로, \(I = P_U + P_V\)이고, 따라서 \(P_V\)도 정사영이다.
  2. 임의의 \(x \in X\)가 주어졌다고 하고, \[u_x = Px \in \operatorname{Im} P, \quad v_x = (I - P)x \in \operatorname{Im} (I - P)\] 라고 하자. 명백히 \(x\)는 \(x = u_x + v_x\)의 꼴로 분해된다. 이제 \[x = u'_x + v'_x , \quad u'_x \in \operatorname{Im} P, \quad v'_x \in \operatorname{Im} (I - P)\] 라고 가정하자. 그러면 \(u_x - u'_x = v'_x - v_x\)이다. 이 등식에 \(P\)를 취하면 \(u_x - u'_x = 0\)이다. 같은 방법으로 \(v'_x - v_x = 0\)이므로, \(x\)의 분해 형태는 유일하다. 따라서 (1)에 의하여 바라는 결론을 얻는다.

정의 5.

\(X\)에서의 임의의 여공간 \(U,\) \(V\)에 대하여, 보조정리 4에서 구성된 정사영 \(P_U\)를 \(V\)를 따르는 \(U\)로의 정사영이라고 부른다. \(P_V\)에 대해서도 같은 방법으로 정의한다.

보조정리 4는 여공간과 정사영 사이의 관계를 설명했다. 다음 보조정리는 위상적 여공간과 유계 정사영 사이의 관계를 설명한다.

보조정리 6.

\(X\)가 노름공간이고 \(U,\) \(V \subset X\)가 여공간이라고 가정하자.

  1. \(U,\) \(V\)가 위상적 여공간이기 위한 필요충분조건은 보조정리 4에서 구성된 정사영 \(P_U,\) \(P_V\)가 유계인 것이다.
  2. \(U,\) \(V\)가 위상적 여공간이면 \(U,\) \(V\)는 닫혀 있다.

증명

보조정리 4에 의해, \(P_U\)와 \(P_V\)가 선형이므로, 위상적 여공간의 정의에 의하여 (a)를 얻는다.

다음으로, 보조정리 3에 의해 \(U = \operatorname{Im} P_U = \operatorname{Ker} (I - P_U)\)이므로, \(P_U\)가 연속이면 \(U\)는 닫혀 있다. 마찬가지로, \(P_V\)가 연속이면 \(V\)는 닫혀 있다. 그러므로 (b)가 성립한다.

다음 보조정리는 \(X\)가 바나흐 공간일 때 보조정리 6의 (b)의 부분적인 역이 성립함을 설명한다.

보조정리 7.

\(X\)가 바나흐 공간이고, \(U,\) \(V\)가 \(X\)에서의 닫힌 여공간이라고 하자. 그러면 \(U,\) \(V\)는 위상적 여공간이다.

증명

\(P_U\)가 연속임을 증명하자. 그러면 \(P_V\)도 연속이며, 보조정리 6의 (a)에 의해 바라는 결과를 얻기 때문이다. 닫힌 그래프 정리에 의하여, 그래프 \(G(P_U)\)가 닫혀 있음을 보이면 충분하다. 이를 위하여 \(G(P_U)\)에서 \(X \times X\)의 점 \((x,\, y)\)로 수렴하는 임의의 수열 \(\{(x_n,\, P_U x_n)\}\)을 생각하자. 이제 \((x,\, y) \in G(P_U)\) 즉 \(y = P_U x\)임을 보여야 한다.

먼저 \(P_U\)의 정의에 의하여, \(x \in U\)이면 \(P_U x = x\)이고, \(x \in V\)이면 \(P_U x = 0\)이다. 수열 \(\{P_U x_n\}\)이 \(U\)에 있고 \(U\)가 닫혀 있으므로 \(y \in U\)이다. 마찬가지로 \[x - y = \lim_{n \rightarrow \infty}(x_n - P_U x_n) \in V\]이다. 왜냐하면 수열 \(\{(I - P_U) x_n\}\)이 \(V\)에 있기 때문이다. 따라서 보조정리 3에 의하여 \[0 = P_U(x - y) = P_U x - P_U y = P_U x - y\] 이다.

앞에서 말한 바와 같이, 임의의 닫힌 부분공간 \(U\)가 주어졌을 때, \(U,\) \(V\)가 위상적 여공간이 되는 닫힌 부분공간 \(V\)가 존재하는지의 문제는 상당히 흥미롭다. 보조정리 6에 의하면, 이 문제는 다음 질문과 동치이다.

“\(U = \operatorname{Im} P\)를 만족시키는 유계인 정사영 \(P\)가 \(X\)에 존재하는가?”

일반적으로 이 질문에 대한 답은 부정적이다. 심지어 \(X\)가 바나흐 공간일 때도 그렇다. 그러나 힐베르트 공간에서는 긍정적인 답을 얻을 수 있다. 여기에서는 \(U\)가 유한차원인 경우를 살펴보자.

보조정리 8.

\(X\)가 노름공간이고 \(U\)가 \(X\)의 유한차원 부분공간이라고 하자. 그러면 \(\operatorname{Im} P = U\)를 만족시키는 유계인 정사영 \(P\)가 \(X\)에 존재한다.

증명

\(U\)의 기저 \(x_1, \ldots, x_n \in X\)를 취하자. 그러면 함수 \(f_1, \ldots, f_n \in X'\)이 존재하여, \(1\le j \le n ,\) \(1\le k \le n\)인 임의의 정수 \(j,\) \(k\)에 대하여 \(f_j (x_k ) = \delta_{jk}\)를 만족시킨다. 이제 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \[Px = \sum_{i=1}^n f_i(x)x_i\] 라고 정의하면 \(P\)는 \(\operatorname{Im} P = U\)를 만족시키는 연속인 정사영이다.